高考数学专题复习练习：8-5 专项基础训练 9页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)‎ A．AB∥m　　　　　　　　　　　B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β ‎【解析】 如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.‎ ‎【答案】 D ‎2．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是(　　)‎ A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ B．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m C．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥n D．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β ‎【解析】 对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；‎ 对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；‎ 对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；‎ 对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题．综上所述，选D.‎ ‎【答案】 D ‎3．(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥DABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②④ B．①②③‎ C．②③④ D．①③④‎ ‎【解析】 由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.‎ ‎【答案】 B ‎4．(2015·福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 m垂直于平面α，当l⊂α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立．故选B.‎ ‎【答案】 B ‎5．(2017·青岛质检)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　　)‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β ‎【解析】 对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎6．(2017·吉林实验中学)设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是(　　)‎ A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c ‎【解析】 A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c，‎ 故C正确；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．‎ ‎【答案】 B ‎7．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎【解析】 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.‎ ‎∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，‎ ‎∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，‎ ‎∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.‎ 故①②③正确．‎ ‎【答案】 ①②③‎ ‎8．(2017·福建四地六校月考)点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：‎ ‎①三棱锥AD1PC的体积不变；‎ ‎②A1P∥平面ACD1；‎ ‎③DP⊥BC1；‎ ‎④平面PDB1⊥平面ACD1.‎ 其中正确的命题序号是________．‎ ‎【解析】 由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1⊂平面AD1C，直线BC1⊄平面AD1C，‎ 所以直线BC1∥平面AD1C.‎ 所以点P到平面AD1C的距离不变，‎ VAD1PC＝VPAD1C，‎ 所以体积不变．故①正确；‎ 连接A1C1，A1B，‎ 可得平面AD1C∥平面A1C1B.‎ 又因为A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；‎ 当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，‎ 所以DP不垂直于BC1.‎ 故③不正确；‎ 因为直线AC⊥平面DB1，DB1⊂平面DB1.‎ 所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.‎ 所以可得DB1⊥平面AD1C.‎ 又因为DB1⊂平面PDB1.‎ 所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.‎ 故④正确．‎ 综上，正确的序号为①②④.‎ ‎【答案】 ①②④‎ ‎9．(2017·郑州模拟)如图，已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面AA′C′C；‎ ‎(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．‎ ‎【解析】 (1)证明 如图，取A′B′的中点E，连接ME，NE.‎ 因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.‎ 又A′C′⊂平面AA′C′C，A′A⊂平面AA′C′C，‎ 所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，‎ 所以平面MNE∥平面AA′C′C，‎ 因为MN⊂平面MNE，‎ 所以MN∥平面AA′C′C.‎ ‎(2)连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，‎ 由题意知BC＝λa，CN＝BN＝，‎ 因为三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，‎ 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，‎ 因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，‎ 所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，‎ 要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，‎ 所以CN2＋BN2＝BC2，即2＝2λ2a2，‎ 解得λ＝，故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.‎ ‎10．(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎【证明】 (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.‎ 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.‎ 又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ 所以直线DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.‎ 又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，‎ A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，‎ 所以A1C1⊥平面ABB1A1.‎ 因为B1D⊂平面ABB1A1，‎ 所以A1C1⊥B1D.‎ 又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，‎ 所以B1D⊥平面A1C1F.‎ 因为直线B1D⊂平面B1DE，‎ 所以平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2017·贵州模拟)如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点．若∠PDA＝45°，则EF与平面ABCD所成角的大小是(　　)‎ A．90° B．60°‎ C．45° D．30°‎ ‎【解析】 取PD的中点G，连接AG，FG.∵E，F分别为AB，PC的中点，∴AE＝AB，GF∥DC且GF＝DC.又在矩形ABCD中AB∥CD且AB＝CD，∴AE∥GF且AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF，∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角．过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角．∵∠PDA＝45°，G为PD的中点，‎ ‎∴∠GAH＝45°，即EF与平面ABCD所成的角为45°，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎12．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，‎ 写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．‎ ‎【解析】 逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．‎ ‎【答案】 ①③④⇒②(或②③④⇒①)‎ ‎13．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．‎ ‎【解析】 若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．‎ ‎【答案】 2‎ ‎14．(2017·浙江温州一模)如图，在三棱锥DABC中，DA＝DB＝DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于点F.‎ ‎(1)求证：平面ABD⊥平面DEF；‎ ‎(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值．‎ ‎【解析】 (1)证明 由题意知DE⊥平面ABC，‎ ‎∴AB⊥DE.‎ 又AB⊥DF，DE∩DF＝D，‎ ‎∴AB⊥平面DEF.‎ ‎∵AB⊂平面ABD, ∴平面ABD⊥平面DEF.‎ ‎(2) 如图，由DA＝DB＝DC知EA＝EB＝EC，∴E是△ABC的外心．‎ 又∵AB⊥BC，∴E为AC的中点，过E作EH⊥DF于点H，连接BH，则由(1)知EH⊥平面DAB，∴∠EBH即为BE与平面DAB所成的角．‎ 由AC＝4，AD⊥DC，∠BAC＝60°，得DE＝2，EF＝，‎ ‎∴DF＝，EH＝，‎ ‎∴sin∠EBH＝＝.‎ 故直线BE与平面DAB所成角的正弦值为.‎ ‎15．(2017·深圳模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD.‎ ‎(1)若AC＝6，BD＝8，PB＝3，求三棱锥APBC的体积；‎ ‎(2)若点E是DP的中点，证明：BD⊥平面ACE.‎ ‎【解析】 (1)∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴BD与AC相互垂直平分，‎ ‎∴底面ABCD的面积S菱形ABCD＝×6×8＝24，‎ ‎∴S△ABC＝S菱形ABCD＝12.‎ 又PB⊥平面ABCD，且PB＝3，‎ ‎∴三棱锥APBC的体积VAPBC＝VPABC＝×PB×S△ABC＝12.‎ ‎(2)证明 如图，设BD与AC相交于点O，连接OE，‎ ‎∵O为BD的中点，E是DP的中点，‎ ‎∴OE∥PB.‎ 又PB⊥平面ABCD，‎ ‎∴OE⊥平面ABCD.‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴OE⊥BD，‎ 由(1)知AC⊥BD，‎ 又AC∩OE＝O，‎ ‎∴BD⊥平面ACE.‎