高考数学复习练习第1部分 专题三 第二讲 预测演练提能 5页

‎1．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ 解：(1)设{an}的公差为d.由题意a＝a‎1a13，‎ 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，‎ 于是d(‎2a1＋25d)＝0.‎ 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.‎ 故an＝－2n＋27.‎ ‎(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．‎ 从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)∵Sn＝nan－n(n－1)，‎ 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1－(n－1)(n－2)，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1‎ ‎＝nan－n(n－1)－(n－1)an－1＋(n－1)(n－2)，‎ 即an－an－1＝2.‎ ‎∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，‎ 故an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)知 bn＝＝＝－，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝1－＝.‎ ‎3．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)，数列{bn}满足bn＝bn－1－(n≥2)，且b1＝3.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{cn}满足cn＝an·log2(bn＋1)，其前n项和为Tn，求Tn.‎ 解：(1)对于数列{an}有Sn＝(an－1)，①‎ Sn－1＝(an－1－1)(n≥2)，②‎ 由①－②得an＝(an－an－1)，即an＝3an－1，‎ n＝1时，由S1＝(a1－1)，得a1＝3，‎ 则an＝a1·qn－1＝3·3n－1＝3n.‎ 对于数列{bn}有bn＝bn－1－(n≥2)，‎ 可得bn＋1＝bn－1＋，即＝.‎ bn＋1＝(b1＋1)n－1＝4×n－1＝42－n，‎ 即bn＝42－n－1.‎ ‎(2)由(1)可知 cn＝an·log2(bn＋1)＝3n·log242－n＝3n·log224－2n＝3n(4－2n)．‎ Tn＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n)·3n，③‎ ‎3Tn＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n)·3n＋(4－2n)·3n＋1，④‎ 由③－④得 ‎－2Tn＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n－(4－2n)·3n＋1‎ ‎＝6＋(－2)(32＋33＋…＋3n)－(4－2n)·3n＋1.‎ 则Tn＝－3＋＋(2－n)·3n＋1‎ ‎＝－＋·3n＋1.‎ ‎4．(2013·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＋3＝3an(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求证：Tn<(n∈N*)．‎ 解：(1)当n＝1时，2S1＋3＝‎3a1⇒a1＝3; ‎ 当n≥2时，2Sn＋3＝3an,2Sn－1＋3＝3an－1，‎ ‎∴2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1，即an＝3an－1.‎ ‎∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝3n.‎ ‎(2)证明：由(1)得bn＝＝(4n＋1)n，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝5×1＋9×2＋…＋(4n－3)×n－1＋(4n＋1)n，①‎ ‎∴Tn＝5×2＋9×3＋…＋(4n－3)×n＋(4n＋1)n＋1，②‎ 由①－②得 Tn＝5×1＋4－(4n＋1)×n＋1‎ ‎＝＋4－(4n＋1)×n＋1‎ ‎＝＋4·－(4n＋1)×n＋1‎ ‎＝＋2－(4n＋1)×n＋1.‎ ‎∴2Tn＝7－(4n＋7)×n.‎ ‎∴Tn＝－(4n＋7)×n<.‎ ‎5．已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a＝anan＋2＋k(k为常数)．‎ ‎(1)若k＝(a2－a1)2，求证：a1，a2，a3成等差数列；‎ ‎(2)若k＝0，且a2，a4，a5成等差数列，求的值；‎ ‎(3)已知a1＝a，a2＝b(a，b为常数)，是否存在常数λ，使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)证明：当k＝(a2－a1)2时，在a＝anan＋2＋k中，令n＝1，得a＝a‎1a3＋(a2－a1)2，‎ 即a‎1a3－‎2a1a2＋a＝0.‎ 因为a1>0，所以a3－‎2a2＋a1＝0，‎ 即a2－a1＝a3－a2，‎ 故a1，a2，a3成等差数列．‎ ‎(2)当k＝0时，a＝anan＋2.‎ 因为数列{an}的各项都为正数，所以数列{an}是等比数列．‎ 设公比为q(q>0)．‎ 因为a2，a4，a5成等差数列，所以a2＋a5＝‎2a4，‎ 即a1q＋a1q4＝‎2a1q3.‎ 因为a1>0，q>0，所以q3－2q2＋1＝0，‎ 解得q＝1或q＝或(舍去负值)．‎ 所以＝q＝1或＝q＝.‎ ‎(3)存在常数λ＝，使an＋an＋2＝λan＋1.‎ 证明如下：‎ 因为a＝anan＋2＋k，‎ 所以a＝an－1an＋1＋k，n≥2，n∈N*，‎ 所以a－a＝anan＋2－an－1an＋1，‎ 即a＋an－1an＋1＝anan＋2＋a.‎ 由于an>0，此等式两边同除以anan＋1，‎ 得＝，‎ 所以＝＝…＝，‎ 即当n∈N*时，都有an＋an＋2＝an＋1.‎ 因为a1＝a，a2＝b，a＝anan＋2＋k，‎ 所以a3＝，‎ 所以＝＝，‎ 所以对任意n∈N*，都有an＋an＋2＝λan＋1，‎ 此时λ＝.‎ ‎6．设an是函数f(x)＝x3＋n2x－1(n∈N*)的零点．‎ ‎(1)证明：00，且f(x)在R上的图像是一条连续曲线，‎ 所以函数f(x)在(0,1)内有零点．‎ 因为f′(x)＝3x2＋n2>0，‎ 所以函数f(x)在R上单调递增．‎ 所以函数f(x)在R上只有一个零点，且零点在区间(0,1)内．‎ 而an是函数f(x)的零点，所以0.‎ 因为an>≥＝－，‎ 所以a1＋a2＋…＋an>＋＋＋…＋＝1－＝.‎ 再证明右边的不等式：‎ 当n＝1时，f(x)＝x3＋x－1.‎ 由于f＝3＋－1＝－<0，f＝3＋－1＝>0，所以