人教a版数学【选修1-1】作业：2-3-1抛物线及其标准方程（含答案） 5页

§2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程 课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标 及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程． 1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离________的点的轨迹叫做抛物 线，点 F 叫做抛物线的________，直线 l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程 (1)方程 y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程． (2)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向 ________． (3)抛物线 y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方 向________． (4)抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向 ________． (5)抛物线 x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向 ________． 一、选择题 1．抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a| 4 B.|a| 2 C．|a| D．－a 2 2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线x2 4 －y2 2 ＝1 上，则抛物线方 程为( ) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝±8x 3．抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a>p 2)，则点 M 的横坐标是( ) A．a＋p 2 B．a－p 2 C．a＋p D．a－p 4．过点 M(2,4)作与抛物线 y2＝8x 只有一个公共点的直线 l 有( ) A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条 5．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线 段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 6．设抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，过点 M( 3，0)的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与 抛物线的准线相交于点 C，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S△BCF S△ACF 等于( ) A．4 5 B．2 3 C．4 7 D．1 2 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7．抛物线 x2＋12y＝0 的准线方程是__________． 8．若动点 P 在 y＝2x2＋1 上，则点 P 与点 Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________． 9．已知抛物线 x2＝y＋1 上一定点 A(－1,0)和两动点 P，Q，当 PA⊥PQ 时，点 Q 的横 坐标的取值范围是______________． 三、解答题 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M(－3，m)到焦点的距离 等于 5，求抛物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 11．求焦点在 x 轴上且截直线 2x－y＋1＝0 所得弦长为 15的抛物线的标准方程． 能力提升 12．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16 相切，则 p 的值为( ) A．1 2 B．1 C．2 D．4 13．求与圆(x－3)2＋y2＝9 外切，且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程． 1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数 的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴 的负方向． 2．焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x2＝2py 通常又可以写成 y＝ax2，这与以前学习 的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程 y＝ax2 来求其焦点和准线时， 必须先化成标准形式． §2.3 抛物线 2．3.1 抛物线及其标准方程 答案 知识梳理 1．相等 焦点 准线 2．(1)标准 (2)(p 2 ，0) x＝－p 2 向右 (3)(－p 2 ，0) x＝p 2 向左 (4)(0，p 2) y＝－p 2 向上 (5)(0，－p 2) y＝p 2 向下 作业设计 1．B [因为 y2＝ax，所以 p＝|a| 2 ，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a| 2 ，故选 B.] 2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线x2 4 －y2 2 ＝1 的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛 物线的方程为 y2＝8x 或 y2＝－8x.] 3．B [由抛物线的定义知：点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x＝－p 2 的 距离，所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a－p 2.] 4．C [容易发现点 M(2,4)在抛物线 y2＝8x 上，这样 l 过 M 点且与 x 轴平行时，或者 l 在 M 点处与抛物线相切时，l 与抛物线有一个公共点，故选 C.] 5．B [∵y2＝2px 的焦点坐标为(p 2 ，0)， ∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y＝x－p 2 ，即 x＝y＋p 2 ，将其代入 y2＝2px 得 y2＝2py＋p2，即 y2－2py－p2＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2p，∴y1＋y2 2 ＝p＝ 2，∴抛物线的方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1.] 6．A [如图所示，设过点 M( 3，0)的直线方程为 y＝k(x－ 3)，代入 y2＝2x 并整理， 得 k2x2－(2 3k2＋2)x＋3k2＝0， 则 x1＋x2＝2 3k2＋2 k2 . 因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2. 不妨设 x2＝2－1 2 ＝3 2 是方程的一个根， 可得 k2＝ 3 3 2 － 3 2 ， 所以 x1＝2. S△BCF S△ACF ＝ 1 2|BC|·d 1 2|AC|·d ＝|BC| |AC| ＝|BB′| |AA′| ＝ 2 2＋1 2 ＝4 5.] 7．y＝3 解析 抛物线 x2＋12y＝0，即 x2＝－12y，故其准线方程是 y＝3. 8．y＝4x2 9．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意知，设 P(x1，x21－1)，Q(x2，x22－1)， 又 A(－1,0)，PA⊥PQ，－*6]＝(－x，－2－y)，PB→·PQ→ ＝0， 即(－1－x1,1－x21)·(x2－x1，x22－x21)＝0， 也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x21)·(x22－x21)＝0. ∵x1≠x2，且 x1≠－1，∴上式化简得 x2＝ 1 1－x1 －x1＝ 1 1－x1 ＋(1－x1)－1， 由基本不等式可得 x2≥1 或 x2≤－3. 10．解 设抛物线方程为 y2＝－2px (p>0)， 则焦点 F －p 2 ，0 ，由题意， 得 m2＝6p， m2＋ 3－p 2 2＝5， 解得 p＝4， m＝2 6， 或 p＝4， m＝－2 6. 故所求的抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为 x＝2. 11．解 设所求抛物线方程为 y2＝ax (a≠0)． ① 直线方程变形为 y＝2x＋1， ② 设抛物线截直线所得弦为 AB. ②代入①，整理得 4x2＋(4－a)x＋1＝0， 则|AB|＝ 1＋22 a－4 4 2－4×1 4 ＝ 15. 解得 a＝12 或 a＝－4. ∴所求抛物线方程为 y2＝12x 或 y2＝－4x. 12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系． 方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为 x＝－p 2. ∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16， ∴3＋p 2 ＝4，∴p＝2. 方法二 作图可知，抛物线 y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16 相切于点(－1,0)， 所以－p 2 ＝－1，p＝2.] 13．解 设定圆圆心 M(3,0)，半径 r＝3，动圆圆心 P(x，y)，半径为 R，则由已知得下 列等式 |PM|＝R＋3 |x|＝R ， ∴|PM|＝|x|＋3. 当 x>0 时，上式几何意义为点 P 到定点 M 的距离与它到直线 x＝－3 的距离相等， ∴点 P 轨迹为抛物线，焦点 M(3,0)，准线 x＝－3， ∴p＝6，抛物线方程为 y2＝12x. 当 x<0 时，|PM|＝3－x， 动点 P 到定点 M 的距离等于动点 P 到直线 x＝3 的距离，点 P 轨迹为 x 轴负半轴， 当 x＝0 时，不符合题意，舍去． ∴所求轨迹方程为 y2＝12x (x>0)或 y＝0 (x<0)．