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- 2021-06-10 发布
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[基础题组练]
1.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则 ( )
A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1
C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3
解析:选D.由于三种抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是相等的,因此p1=p2=p3.
2.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从A,B,C三所中学抽取60名教师进行调查,已知A,B,C三所学校中分别有180,270,90名教师,则从C学校中应抽取的人数为( )
A.10 B.12
C.18 D.24
解析:选A.根据分层抽样的特征,从C学校中应抽取的人数为×60=10.
3.现用系统抽样方法从已编号(1~60)的60枚新型导弹中,随机抽取6枚进行试验,则所选取的6枚导弹的编号可能是( )
A.5,10,15,20,25,30 B.2,4,8,16,32,48
C.5,15,25,35,45,55 D.1,12,34,47,51,60
解析:选C.从60枚新型导弹中随机抽取6枚,采用系统抽样间隔应为=10,只有C选项中导弹的编号间隔为10.
4.某班对八校联考成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号,然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是( )
(注:下表为随机数表的第8行和第9行)
第8行
第9行
A.07 B.25
C.42 D.52
解析:选D.依题意得,依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52,…,因此选出的第6个个体是52,选D.
5.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:选B.35÷7=5,因此可将编号为1~35的35个数据分成7组,每组有5个数据,在区间[139,151]上共有20个数据,分在4个小组中,每组取一人,共取4人.
6.为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采取系统抽样,则分段的间隔k为________.
解析:在系统抽样中,确定分段间隔k,对编号进行分段,k=(N为总体的容量,n为样本的容量),所以k===40.
答案:40
7.某高校有教授120人,副教授100人,讲师80人,助教60人,现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n的样本.已知从讲师中抽取的人数为16,那么n=________.
解析:依题意得,=,由此解得n=72.
答案:72
8.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆,则z的值为________.
解析:设该厂这个月共生产轿车n辆,
由题意得=,所以n=2 000,
则z=2 000-100-300-150-450-600=400.
答案:400
9.最新高考改革方案已在上海和浙江实施,某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法,对某市部分学校500名师生进行调查,统计结果如下:
赞成改革
不赞成改革
无所谓
教师
120
y
40
学生
x
z
130
在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3,且z=2y.
(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查,则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少?
(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中,随机选出3人进行座谈,求至少有1名教师被选出的概率.
解:(1)由题意知=0.3,所以x=150,
所以y+z=60.
因为z=2y,所以y=20,z=40.
则应抽取“不赞成改革”的教师人数为×20=2,
应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40=4.
(2)至少有1名教师被选出的概率
P===.
10.某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:
学历
35岁以下
35~50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人学历为研究生的概率;
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取1人,此人的年龄为50岁以上的概率为,求x,y的值.
解:(1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m,所以=,解得m=3.
抽取的样本中有研究生2人,本科生3人,分别记作S1,S2;B1,B2,B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,
B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2).
所以从中任取2人,至少有1人学历为研究生的概率为.
(2)由题意,得=,解得N=78.
所以35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20,
所以==,
解得x=40,y=5.
即x,y的值分别为40,5.
[综合题组练]
1.某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人.用分层抽样的方法从中抽取40人,则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为( )
A.8,14,18 B.9,13,18
C.10,14,16 D.9,14,17
解析:选C.因为25+35+40=100,
用分层抽样的方法从中抽取40人,
所以每个个体被抽到的概率是P===0.4,
所以体育特长生25人应抽25×0.4=10(人),
美术特长生35人应抽35×0.4=14(人),
音乐特长生40人应抽40×0.4=16(人).
2.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,…,10.现抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组中随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则在第7组中抽取的号码是( )
A.63 B.64
C.65 D.66
解析:选A.由题设知,若m=6,则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同,而第7组中数字编号依次为60,61,62,63,…,69,故在第7组中抽取的号码是63.故选A.
3.北京某校三个年级共有18个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到18,现用系统抽样方法,抽取6个班进行调查.若抽到的编号之和为57,则抽到的最小编号为________.
解析:系统抽样的间隔为=3.设抽到的最小编号为x,
则x+(3+x)+(6+x)+(9+x)+(12+x)+(15+x)=57.解得x=2.
答案:2
4.经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出5位“喜欢”摄影的同学,1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多________人.
解析:设班里“喜欢”摄影的同学有y人,“一般”的有x人,“不喜欢”的有(x-12)人,则解得所以全班共有30+18+6=54(人),又30-=3(人).所以“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人.
答案:3
5.为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式,调查小组设计了“阅读”“锻炼”“看电视”和“其他”四个选项,用随机抽样的方法调查了该市部分市民,并根据调查结果绘制成统计图如图所示.
根据统计图所提供的信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了________名市民;
(2)补全条形统计图;
(3)该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数.
解:(1)本次共调查的市民人数为800÷40%=2 000.故填2 000.
(2)晚饭后选择“其他”的人数为2 000×28%=560,晚饭后选择“锻炼”的人数为2 000-800-240-560=400.
将条形统计图补充完整,如图所示.
(3)晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例为400÷2 000=20%,
故该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为480×20%=96(万).
6.据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3 600人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表:
态度
调查人群
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生
2 100人
120人
y人
社会人士
600人
x人
z人
已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.
解:(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,
所以=0.05,解得x=60.
所以持“无所谓”态度的人数共有3 600-2 100-120-600-60=720,所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×=72(人).
(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人,
所以在所抽取的6人中,在校学生为×6=4(人),社会人士为×6=2(人),于是第一组在校学生人数ξ=1,2,3,
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以Eξ=1×+2×+3×=2.
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