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  • 2021-06-10 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第十一章 第1讲 随机抽样

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‎[基础题组练]‎ ‎1.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则 (  )‎ A.p1=p2<p3      B.p2=p3<p1‎ C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3‎ 解析:选D.由于三种抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是相等的,因此p1=p2=p3.‎ ‎2.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从A,B,C三所中学抽取60名教师进行调查,已知A,B,C三所学校中分别有180,270,90名教师,则从C学校中应抽取的人数为(  )‎ A.10 B.12‎ C.18 D.24‎ 解析:选A.根据分层抽样的特征,从C学校中应抽取的人数为×60=10.‎ ‎3.现用系统抽样方法从已编号(1~60)的60枚新型导弹中,随机抽取6枚进行试验,则所选取的6枚导弹的编号可能是(  )‎ A.5,10,15,20,25,30 B.2,4,8,16,32,48‎ C.5,15,25,35,45,55 D.1,12,34,47,51,60‎ 解析:选C.从60枚新型导弹中随机抽取6枚,采用系统抽样间隔应为=10,只有C选项中导弹的编号间隔为10.‎ ‎4.某班对八校联考成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号,然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是(  )‎ ‎(注:下表为随机数表的第8行和第9行)‎ 第8行 第9行 A.07 B.25‎ C.42 D.52‎ 解析:选D.依题意得,依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52,…,因此选出的第6个个体是52,选D.‎ ‎5.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(  )‎ A.3 B.4‎ C.5 D.6‎ 解析:选B.35÷7=5,因此可将编号为1~35的35个数据分成7组,每组有5个数据,在区间[139,151]上共有20个数据,分在4个小组中,每组取一人,共取4人.‎ ‎6.为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采取系统抽样,则分段的间隔k为________.‎ 解析:在系统抽样中,确定分段间隔k,对编号进行分段,k=(N为总体的容量,n为样本的容量),所以k===40.‎ 答案:40‎ ‎7.某高校有教授120人,副教授100人,讲师80人,助教60人,现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n的样本.已知从讲师中抽取的人数为16,那么n=________.‎ 解析:依题意得,=,由此解得n=72.‎ 答案:72‎ ‎8.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆,则z的值为________.‎ 解析:设该厂这个月共生产轿车n辆,‎ 由题意得=,所以n=2 000,‎ 则z=2 000-100-300-150-450-600=400.‎ 答案:400‎ ‎9.最新高考改革方案已在上海和浙江实施,某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法,对某市部分学校500名师生进行调查,统计结果如下:‎ 赞成改革 不赞成改革 无所谓 教师 ‎120‎ y ‎40‎ 学生 x z ‎130‎ 在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3,且z=2y.‎ ‎(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查,则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少?‎ ‎(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中,随机选出3人进行座谈,求至少有1名教师被选出的概率.‎ 解:(1)由题意知=0.3,所以x=150,‎ 所以y+z=60.‎ 因为z=2y,所以y=20,z=40.‎ 则应抽取“不赞成改革”的教师人数为×20=2,‎ 应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40=4.‎ ‎(2)至少有1名教师被选出的概率 P===.‎ ‎10.某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:‎ 学历 ‎35岁以下 ‎35~50岁 ‎50岁以上 本科 ‎80‎ ‎30‎ ‎20‎ 研究生 x ‎20‎ y ‎(1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人学历为研究生的概率;‎ ‎(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取1人,此人的年龄为50岁以上的概率为,求x,y的值.‎ 解:(1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m,所以=,解得m=3.‎ 抽取的样本中有研究生2人,本科生3人,分别记作S1,S2;B1,B2,B3.‎ 从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,‎ B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).‎ 其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2).‎ 所以从中任取2人,至少有1人学历为研究生的概率为.‎ ‎(2)由题意,得=,解得N=78.‎ 所以35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20,‎ 所以==,‎ 解得x=40,y=5.‎ 即x,y的值分别为40,5.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人.用分层抽样的方法从中抽取40人,则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为(  )‎ A.8,14,18 B.9,13,18‎ C.10,14,16 D.9,14,17‎ 解析:选C.因为25+35+40=100,‎ 用分层抽样的方法从中抽取40人,‎ 所以每个个体被抽到的概率是P===0.4,‎ 所以体育特长生25人应抽25×0.4=10(人),‎ 美术特长生35人应抽35×0.4=14(人),‎ 音乐特长生40人应抽40×0.4=16(人).‎ ‎2.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,…,10.现抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组中随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则在第7组中抽取的号码是(  )‎ A.63 B.64‎ C.65 D.66‎ 解析:选A.由题设知,若m=6,则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同,而第7组中数字编号依次为60,61,62,63,…,69,故在第7组中抽取的号码是63.故选A.‎ ‎3.北京某校三个年级共有18个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到18,现用系统抽样方法,抽取6个班进行调查.若抽到的编号之和为57,则抽到的最小编号为________.‎ 解析:系统抽样的间隔为=3.设抽到的最小编号为x,‎ 则x+(3+x)+(6+x)+(9+x)+(12+x)+(15+x)=57.解得x=2.‎ 答案:2‎ ‎4.经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出5位“喜欢”摄影的同学,1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多________人.‎ 解析:设班里“喜欢”摄影的同学有y人,“一般”的有x人,“不喜欢”的有(x-12)人,则解得所以全班共有30+18+6=54(人),又30-=3(人).所以“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人.‎ 答案:3‎ ‎5.为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式,调查小组设计了“阅读”“锻炼”“看电视”和“其他”四个选项,用随机抽样的方法调查了该市部分市民,并根据调查结果绘制成统计图如图所示.‎ 根据统计图所提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)本次共调查了________名市民;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)该市共有480万市民,估计该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数.‎ 解:(1)本次共调查的市民人数为800÷40%=2 000.故填2 000.‎ ‎(2)晚饭后选择“其他”的人数为2 000×28%=560,晚饭后选择“锻炼”的人数为2 000-800-240-560=400.‎ 将条形统计图补充完整,如图所示.‎ ‎(3)晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例为400÷2 000=20%,‎ 故该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为480×20%=96(万).‎ ‎6.据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3 600人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表:‎ 态度 调查人群 应该取消 应该保留 无所谓 在校学生 ‎2 100人 ‎120人 y人 社会人士 ‎600人 x人 z人 已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.‎ ‎(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?‎ ‎(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.‎ 解:(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,‎ 所以=0.05,解得x=60.‎ 所以持“无所谓”态度的人数共有3 600-2 100-120-600-60=720,所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×=72(人).‎ ‎(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人,‎ 所以在所抽取的6人中,在校学生为×6=4(人),社会人士为×6=2(人),于是第一组在校学生人数ξ=1,2,3,‎ P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,‎ ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以Eξ=1×+2×+3×=2.‎