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  • 2021-06-11 发布

2015年高考试题——数学理(湖北卷)原卷版

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一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位, 607i 的共轭复数....为( ). A.i B. i C.1 D. 1 2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( ). A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 3.已知 (1 )nx 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ).[来源:学|科|网 Z|X|X|K] A. 122 B. 112 C. 102 D. 92 4.设 2 11( , )XN, 2 22( , )YN,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( ). A. 21( ) ( )P Y P Y   B. 21( ) ( )P X P X   C.对任意正数t , ( ) ( )P X t P Y t   D.对任意正数t , ( ) ( )P X t P Y t   5.设 12, , , na a a R, 3n  . 若 p: 12, , , na a a 成等比数列; q: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1( )( ) ( )n n n na a a a a a a a a a a a          ,则( ). A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 6.已知符号函数 1, 0, sgn 0, 0, 1, 0. x xx x    ()fx是 R 上的增函数, ( ) ( ) ( ) ( 1)g x f x f ax a   ,则 A.sgn[ ( )] sgng x x B.sgn[ ( )] sgng x x C.sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x D.sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x 7.在区间[0, 1] 上随机取两个数 ,xy,记 1p 为事件“ 1 2xy”的概率, 2p 为事件“ 1||2xy”的概率, 3p 为事件“ 1 2xy  ”的概率,则 ( ).[来源:学科网 ZXXK] A. 1 2 3p p p B. 2 3 1p p p C. 3 1 2p p p D. 3 2 1p p p 8. 将离心率为 1e 的双曲线 1C 的实半轴长 a 和虚半轴长 ()b a b 同时增加 ( 0)mm 个单位 长度,得到离 心率为 2e 的双曲线 2C ,则( ). A.对任意的 ,ab, 12ee B.当 ab 时, 12ee ;当 ab 时, 12ee C.对任意的 ,ab, 12ee D.当 ab 时, 12ee ;当 ab 时, 12ee 9.已知集合 22{( , ) 1, , }A x y x y x y   Z , {( , ) | | 2 , | | 2, , }B x y x y x y   Z ,定义集合 1 2 1 2 1 1 2 2{( , ) ( , ) , ( , ) }A B x x y y x y A x y B      ,则 AB 中元素的个数为( ). A.77 B.49 C.45 D.30 10. 设 xR ,[]x 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[ ] 1t  , 2[ ] 2t  ,…,[]ntn 同时成立...., 则正整数 n 的最大值是( ). A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题:本大题共 6 小题,考生需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答. 题卡对应题号......的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.已知向量OA AB ,| | 3OA  ,则OA OB . 12.函数 2 π( ) 4cos cos( ) 2sin | ln( 1)|22 xf x x x x     的零点个数为 . 13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30 的方向 上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此山的高度 CD  m. 14.如图,圆C 与 x 轴相切于点 (1, 0)T ,与 y 轴正半轴交于两点 ,AB(B 在 A 的上方),且 2AB  . (Ⅰ)圆C 的标准..方程为 ; (Ⅱ)过点 A 任作一条直线与圆 22:1O x y相交于 ,MN两点,下列三个结论: ① NA MA NB MB ; ② 2NB MA NA MB; ③ 22NB MA NA MB. 其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的 方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线, 且 3BC PB ,则 AB AC  . 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)[来源:学科网 ZXXK] 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 的极坐标方程为 (sin 3cos ) 0  ,曲线 C 的参数方程为 1, 1 xtt ytt     ( t 为参数) ,l 与 C 相交于 A, B 两点,则 ||AB  . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 11 分) 某同学用“五点法”画函数 π( ) sin( ) ( 0, | | )2f x A x       在某一个周期内的图象 时,列表并填入了部分数据,如下表: x 0 π 2 π 3π 2 2π x [来源:学科网] π 3 5π 6 sin( )Ax 0 5 5 [来源:Z§xx§k.Com] 0 (Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数 ()fx的解析式; (Ⅱ)将 ()y f x 图象上所有点向左平行移动 ( 0)  个单位长度,得到 ()y g x 的图象. 若 ()y g x 图 象的一个对称中心为 5π( , 0)12 ,求 的最小值. 18.(本小题满分 12 分) 设等差数列{}na 的公差为 d,前 n 项和为 nS ,等比数列{}nb 的公比为 q.已知 11ba , 2 2b  , qd , 10 100S  . (Ⅰ)求数列{}na ,{}nb 的通项公式; (Ⅱ)当 1d  时,记 n n n ac b ,求数列{}nc 的前 n 项和 nT . 19.(本小题满分 12 分) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角 三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马 P ABCD 中,侧棱 PD  底面 ABCD ,且 PD CD ,过棱 PC 的中点 E ,作 EF PB 交 PB 于点 F ,连接 , , , .DE DF BD BE (Ⅰ)证明: PB DEF 平面 .试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写 出结论);若不是,说明理由; (Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π 3 ,求 DC BC 的值. 20.(本小题满分 12 分) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 ,AB两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时, 获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备 1.5 小时,获利 1200 元.要求每天 B 产品 的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获 取的鲜牛奶数量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单位:元)是一 个随机变量. (Ⅰ)求 Z 的分布列和均值; (Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率. 21.(本小题满分 14 分) 一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连 接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 1DN ON, 3MN  .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时, 带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点, AB 所在的 直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线l 与两定直线 1 : 2 0l x y和 2 : 2 0l x y分别交于 ,PQ两点.若直线 l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由. 图 1 图 2 22.(本小题满分 14 分) 已知数列{}na 的各项均为正数, 1(1 ) ( )n nnb n a nn   N ,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数 ( ) 1 exf x x   的单调区间,并比较 1(1 )n n 与 e 的大小; (Ⅱ)计算 1 1 b a , 12 12 bb aa , 1 2 3 1 2 3 b b b a a a ,由此推测计算 12 12 n n b b b a a a 的公式,并给出证明; (Ⅲ)令 1 12()n nnc a a a ,数列 ,{}nc 的前 n 项和分别记为 nS , nT , 证明: ennTS . x D O M N y