2015年高考试题——数学理（湖北卷）原卷版 6页

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位， 607i 的共轭复数．．．．为（ ）. A．i B． i C．1 D． 1 2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）. A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石 3．已知 (1 )nx 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）.[来源:学|科|网 Z|X|X|K] A． 122 B． 112 C． 102 D． 92 4．设 2 11( , )XN， 2 22( , )YN，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）. A． 21( ) ( )P Y P Y   B． 21( ) ( )P X P X   C．对任意正数t ， ( ) ( )P X t P Y t   D．对任意正数t ， ( ) ( )P X t P Y t   5．设 12, , , na a a R， 3n  . 若 p： 12, , , na a a 成等比数列； q： 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1( )( ) ( )n n n na a a a a a a a a a a a          ，则（ ）. A．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C．p 是 q 的充分必要条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 6．已知符号函数 1, 0, sgn 0, 0, 1, 0. x xx x    ()fx是 R 上的增函数， ( ) ( ) ( ) ( 1)g x f x f ax a   ，则 A．sgn[ ( )] sgng x x B．sgn[ ( )] sgng x x C．sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x D．sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x 7．在区间[0, 1] 上随机取两个数 ,xy，记 1p 为事件“ 1 2xy”的概率， 2p 为事件“ 1||2xy”的概率， 3p 为事件“ 1 2xy  ”的概率，则 （ ）.[来源:学科网 ZXXK] A． 1 2 3p p p B． 2 3 1p p p C． 3 1 2p p p D． 3 2 1p p p 8. 将离心率为 1e 的双曲线 1C 的实半轴长 a 和虚半轴长 ()b a b 同时增加 ( 0)mm 个单位 长度，得到离 心率为 2e 的双曲线 2C ，则（ ）. A．对任意的 ,ab， 12ee B．当 ab 时， 12ee ；当 ab 时， 12ee C．对任意的 ,ab， 12ee D．当 ab 时， 12ee ；当 ab 时， 12ee 9．已知集合 22{( , ) 1, , }A x y x y x y   Z ， {( , ) | | 2 , | | 2, , }B x y x y x y   Z ，定义集合 1 2 1 2 1 1 2 2{( , ) ( , ) , ( , ) }A B x x y y x y A x y B      ，则 AB 中元素的个数为（ ）. A．77 B．49 C．45 D．30 10. 设 xR ，[]x 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[ ] 1t  ， 2[ ] 2t  ，…，[]ntn 同时成立．．．．， 则正整数 n 的最大值是（ ）. A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题：本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请将答案填在答． 题卡对应题号．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14 题） 11．已知向量OA AB ，| | 3OA  ，则OA OB ． 12．函数 2 π( ) 4cos cos( ) 2sin | ln( 1)|22 xf x x x x     的零点个数为 ． 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30 的方向 上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度 CD  m. 14．如图，圆C 与 x 轴相切于点 (1, 0)T ，与 y 轴正半轴交于两点 ,AB（B 在 A 的上方），且 2AB  ． （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点 A 任作一条直线与圆 22:1O x y相交于 ,MN两点，下列三个结论： ① NA MA NB MB ； ② 2NB MA NA MB； ③ 22NB MA NA MB． 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号） （二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的 方框用 2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第 15 题作答结果计分．） 15．（选修 4-1：几何证明选讲） 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线， 且 3BC PB ，则 AB AC  . 16．（选修 4-4：坐标系与参数方程）[来源:学科网 ZXXK] 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 的极坐标方程为 (sin 3cos ) 0  ，曲线 C 的参数方程为 1, 1 xtt ytt     ( t 为参数) ，l 与 C 相交于 A, B 两点，则 ||AB  . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 11 分） 某同学用“五点法”画函数 π( ) sin( ) ( 0, | | )2f x A x       在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 π 2 π 3π 2 2π x [来源:学科网] π 3 5π 6 sin( )Ax 0 5 5 [来源:Z§xx§k.Com] 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数 ()fx的解析式； （Ⅱ）将 ()y f x 图象上所有点向左平行移动 ( 0)  个单位长度，得到 ()y g x 的图象. 若 ()y g x 图 象的一个对称中心为 5π( , 0)12 ，求 的最小值. 18．（本小题满分 12 分） 设等差数列{}na 的公差为 d，前 n 项和为 nS ，等比数列{}nb 的公比为 q．已知 11ba ， 2 2b  ， qd ， 10 100S  ． （Ⅰ）求数列{}na ，{}nb 的通项公式； （Ⅱ）当 1d  时，记 n n n ac b ，求数列{}nc 的前 n 项和 nT ． 19．（本小题满分 12 分） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马 P ABCD 中，侧棱 PD  底面 ABCD ，且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EF PB 交 PB 于点 F ，连接 , , , .DE DF BD BE （Ⅰ）证明： PB DEF 平面 ．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由； （Ⅱ）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π 3 ，求 DC BC 的值． 20．（本小题满分 12 分） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 ,AB两种奶制品．生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时， 获利 1000 元；生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元．要求每天 B 产品 的产量不超过 A 产品产量的 2 倍，设备每天生产 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获 取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 Z （单位：元）是一 个随机变量． （Ⅰ）求 Z 的分布列和均值； （Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率． 21．（本小题满分 14 分） 一种作图工具如图 1 所示． O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连 接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 1DN ON， 3MN  ．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时， 带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为原点， AB 所在的 直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设动直线l 与两定直线 1 : 2 0l x y和 2 : 2 0l x y分别交于 ,PQ两点．若直线 l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 图 1 图 2 22．（本小题满分 14 分） 已知数列{}na 的各项均为正数， 1(1 ) ( )n nnb n a nn   N ，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数 ( ) 1 exf x x   的单调区间，并比较 1(1 )n n 与 e 的大小； （Ⅱ）计算 1 1 b a ， 12 12 bb aa ， 1 2 3 1 2 3 b b b a a a ，由此推测计算 12 12 n n b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令 1 12()n nnc a a a ，数列 ，{}nc 的前 n 项和分别记为 nS , nT , 证明： ennTS . x D O M N y