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- 2021-06-11 发布
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长阳一中2018-2019学年度第二学期第一次月考
高一数学试卷
考试时间：120分钟 试卷总分150分
一、选择题（60分）
1．在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
2.在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若c＝2，sinA＝2sinC，cosB＝，则△ABC的面积S＝（ ）
A．1 B．2 C． D．
4 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，则角A的大小为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知sin2α=，则cos2(α+)=（ ）
（A） （B） （C） （D）
6.已知数列为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于( )
A． B． C． D．
7.已知等比数列公比为q，其前n项和为，若成等差数列，则等于（ ）
A. B.1 C.或1 D.
8. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为，且满足，则 （ ）
A. B. C. D.
9．设函数，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，4） D．（3，4）
10在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，仍日增十三里，不久，二马相逢．问：几日相逢？（ ）
A．9日 B．8日 C．16日 D．12日
11.要在如下表所示的5×5正方形的25个空格中填入自然数，使得每一行，每一列的数都成等差数列，则填入标有※的空格的数是（ ）
A．309 B．142 C．222 D．372
※
74
2y
186
y
103
0
x
2x
12.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（20分）
13 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.
14在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为__________
15. 等于________
16.数列满足，且（），则数列的前10项和为
三、解答题（70分）
17 （10分）已知函数．
(Ⅰ) 求的最小正周期；
(Ⅱ) 求在区间上的最小值．
18（12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知cos2A﹣3cos（B+C）＝1．
（1）求角A的值；
（2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围．
19. (12分)已知向量＝（cosx，sinx），＝（cosx，），x∈R，设函数
f（x）＝+．
（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）设a，b，c别为△ABC内角A，B，C的对边，若f（A）＝2，b+c＝2，
△ABC的面积为，求a的值．
20．(12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n，n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
21.（12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
22（12分）在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+2n+1．
（1）求证：数列{an﹣2n}为等差数列；
（2）若数列{bn}满足bn＝log2（an+1﹣n），求证：．
2018—2019学年高一下学期第一次月考试题答案
1——12：BBCBA CAADA BC
13：8 14： 15 16
17（1）
(2分）
（4分）
的最小正周期为； （6分）
(2)， （8分）
当时，取得最小值为： （10分）
18解：（1）△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）＝1，
（2cos2A﹣1）﹣3•（﹣cosA）＝1，
2cos2A+3cosA﹣2＝0， （2分）
解得cosA＝或cosA＝﹣2（不合题意，舍去）， （3分）
∴cosA＝，A＝； （4分）
（2）a＝2，A＝，
由正弦定理可得＝＝＝＝；
∴b＝sinB，c＝sinC， （6分）
∴a+b+c＝2+（sinB+sinC）
＝2+[sin（﹣C）+sinC]
＝2+（cosC+sinC）
＝2+4sin（C+）， （9分）
∵0＜C＜，
∴＜C+＜， （10分）
∴＜sin（C+）≤1，
2＜4sin（C+）≤4， （11分）
则4＜2+4sin（C+）≤6，
即4＜a+b+c≤6，
∴△ABC的周长的取值范围是（4，6]．
（12分）
19. 解：（1）由题意可得函数f（x）＝+＝cos2x+sinxcosx+＝+sin2x+ (1分）
＝sin（2x+）+1， （2分）
令，k∈Z，解得；，k∈Z；
所以函数f（x）的单调递増区间为， k∈Z． （4分）
（2）△ABC中，∵，f（A）＝2，∴＝1．
∵0＜A＜π，∴，∴，即． （7分）
由得bc＝2． （8分）
又∵， （9分）
∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc（1+cosA），
解得． （12分）
20 (1)由Sn=2n2+n,可得
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1, （2分）
当n=1时，a1=3符合上式，所以an=4n-1(n∈N*). （4分）
由an=4log2bn+3，可得4n-1=4log2bn+3,
解得bn=2n-1(n∈N*). （6分）
(2)anbn=(4n-1)·2n-1,
∴Tn=3+7×21+11×22+15×23+…+(4n-1)×2n-1， ①
2Tn=3×21+7×22+11×23+15×24+…+(4n-1)×2n， ② （8分）
①-②可得
-Tn=3+4[21+22+23+24+…+2n-1]-(4n-1)×2n
=3+4×-(4n-1)×2n
=-5+(5-4n)×2n, （10分）
∴Tn=5+(4n-5)×2n. （12分）
21.由题意知海里，
（2分）
在中，由正弦定理得 （3分）
=（海里）， （6分）
又海里，（7分）
在中，由余弦定理得
= （10分）
30（海里），则需要的时间（小时）。
答：救援船到达D点需要1小时。 （12分）
22证明：（1）∵．
∴， （2分）
又∵a1＝2，∴a1﹣2＝0，
∴数列为首项为0，公差为1的等差数列． （4分）
（2）由（1）知：，∴
∴ （6分）
＝
＝＝， (10分）
∵n∈N*
∴，
∴，
∴． （12分）
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