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  • 2021-06-11 发布

2019-2020学年湖南省衡阳市第一中学高一下学期入学考试数学试题

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衡阳市第一中学2020年上学期高一入学考试(数学)试题 ‎ ‎ 一、 选择题(以下各题只有一个答案正确,每题5分,共60分).‎ ‎1.若全集,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下列函数中,既在定义域上是增函数又是奇函数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.函数的零点所在的区间是( )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎4.已知直线与直线平行,则实数m的取值为( )‎ A. B. C.2 D.-2‎ ‎5. 已知向量,,,则( )‎ A. B. C.-2 D.2‎ ‎6.圆的圆心和半径分别为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.函数的部分图像大致为( )‎ ‎9.有以下四种变换方式:‎ ‎①向左平移,再将横坐标变为原来的;②将横坐标变为原来的,再向左平移;‎ ‎③将横坐标变为原来的,在向左平移;④向左平移,再将横坐标变为原来的.‎ 其中,能将正弦函数的图象变为的图象的是( )‎ A. ‎①③ B.②④ C.②③ D.①②‎ ‎10.已知函数的部分图象如图所示.‎ 则函数的解析式为( )‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ ‎11.已知三点都在以为球心的球面上,两两垂直,三棱锥 的体积为,则球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义在上的函数满足:,当 时,有,‎ 则等于( )‎ A. B. C. D.‎ 一、 填空题(每题5分,共20分).‎ ‎13.若函数为偶函数,则= .‎ ‎14.已知,则的值为 .‎ ‎15.在函数① y=|cos2x|,②y=cos|x|,③,④中,最小正周期为的函数有 .‎ ‎16.在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若则实数 .‎ 三、解答题(17题10分,其余各题每题12分,共70分)‎ ‎17.已知 ‎(1)若,求;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎18.已知函数 ‎(1)求函数的单调区间,并指出其增减性;‎ ‎(2)求集合 19. 已知△ABC的三个顶点分别为A(2,1),B(-3,2),C(-2,3),求:‎ ‎(1)AC边所在直线的方程;‎ ‎(2)AC边所在直线关于点B对称的直线的方程.‎ ‎20.如图,已知四棱锥的底面是菱形,平面ABCD,‎ ‎,点为的中点.‎ (1) 证明:PA//平面BDF;‎ (2) 证明:平面平面;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎21.已知向量记函数 ‎(1)求函数的最大值及取的最大值时的取值范围;‎ ‎(2)求函数的单调减区间.‎ ‎22.以原点为圆心,半径为的圆与直线相切.‎ ‎(1)若直线过点且截圆所得弦长为,求直线的方程;‎ ‎(2)设圆与轴的正半轴的交点为,过点作两条斜率分别为的直线 交圆于两点,且,证明:直线恒过一个定点,并求出该定点坐标.‎ ‎ ‎ 参考答案 一.选择题:‎ 1. B; 2.C; 3.C; ‎4A; 5D; 6.A; 7.C; 8.C; 9.D; 10.B; 11.D; 12.B.‎ 二. 填空题:‎ ‎13. 1 ; 14. 2 ;‎ ‎15. ①④ ; 16. ;‎ 三.解答题.‎ ‎17.解:‎ ‎(1)当时,,‎ ‎.‎ ‎(2)①若即时,,满足.‎ ‎②若即时,‎ 只须或,‎ 解得或.‎ 综上所述:的取值范围为.‎ ‎18.解:‎ (1) 已知函数,可画出其图像(如右图所示),‎ 函数的增区间为 函数的减区间为 ‎(2)在同一坐标系中作出的图像,使两函数图像有两个交点,可得:‎ ‎19.解:‎ (1) 由直线方程的两点式可知,设直线AC上任一点(x,y),有 ‎ ‎ 化简可得直线AC的一般方程:‎ ‎(2)设为直线上的任意一点,则关于点B(-3,2)的对称点 在直线AC上,‎ 化简可得直线的方程:.‎ ‎20.解:‎ ‎(1)证:连接AC交BD于点O,连接OF,又F为PC的中点,‎ 线段OF为△PAC的中位线,‎ OF//PA.又 ‎ PA//平面BDF.‎ ‎(2)证:平面平面,,‎ 点为的中点,,,‎ 又ABCD是菱形,,‎ ‎,平面,‎ 平面,平面平面.‎ ‎(3)由(2)可知平面,,‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎ .‎ ‎21.解:‎ ‎(1)‎ 当且仅当时,‎ ‎,此时的取值集合为 ‎(2)由得:‎ 所以函数的单调减区间为 ‎22.解:‎ ‎(1)∵圆与直线相切,‎ 而圆心到直线的距离为,‎ ‎∴圆的方程为:‎ ‎①若直线的斜率不存在,直线为 ,‎ 此时直线截圆所得弦长为,符合题意;‎ ‎②若直线的斜率存在,设直线为 ,‎ 由题意知,圆心到直线的距离为,解得:,‎ 此时直线为,‎ 则所求的直线为或;‎ ‎(2)由题意知,设直线,‎ 与圆方程联立得:,‎ 消去得:,‎ ‎∴∴,,‎ 用换掉得到B点坐标,得:,,‎ ‎∴直线AB的方程为 整理得:,则直线AB恒过定点为.‎