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- 2021-06-11 发布
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2016 年内蒙古包头一中高考一模数学文
一.选择题(每题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 2{|}{|} 44AxxxRBxxxZ , , , ,则 A∩B( )
A.(0,2)
B.[0,2]
C.{0,1,2}
D.{0,2}
解析:由 A 中不等式解得:-2≤x≤2,即 A=[-2,2],
由 B 中不等式解得:0≤x≤16,x∈Z,即 B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
13,14,15,16},
则 A∩B={0,1,2},
答案:C.
2.已知 2 1001pxRxxqxsinx : , > , : (, ), > ,则下列命题为真命题的
是( )
A.p∧q
B.¬p∨q
C.p∨¬q
D.¬p∧¬q
解析:关于 2
2 311024pxRxxx : , > ,成立,
故命题 p 是真命题,
关于 01qxsinx : (, ), > ,
∵ 01xsinx (, ), ,
故命题 q 是假命题,
故 p∨¬q 是真命题,
答案:C.
3.设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下面不等式中正确的是( )
A.b-a>0
B. 330ab <
C.b+a<0
D. 220ab >
解析:∵a-|b|>0,∴a>|b|,∴ 22ab> ,即 220ab > .
答案:D.
4.将函数 ( 6 )fxsinx = 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,所得
函数 g(x)图象的一个对称中心可以是( )
A.( 0)12
,
B. ( 5 012 ) ,
C. ( 0)3
,
D. ( 2 03 ) ,
解析:∵ 1()26gxsinx = ,
∴由 26
x k = ,∴可得 2 3x k k Z = , ,
令 0 3kx= , = .
答案:C.
5.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的全面积为( )
A.12
B.16
C. 43 43
D. 4 3 4
解析:由三视图可知该几何体为四棱锥,底面四边形 ABCD 边长为 2 的正方形,
侧面是底边长、高都为 2 的等腰三角形,
∴几何体的全面积为 2×2+4× 1
2 ×2×2=12.
答案:A.
6.已知△ABC 满足 2
ABAB AC BA BC CA CB= ,则△ABC 是( )
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析:∵△ABC 中, 2
ABABACBABCCACB= ,
∴ 2
ABABACABBCCACB=
= ABACBCCACBABABCACB( )
即 22
0ABABCACBCACB= ,得
∴CACBCACB即 ,可得△ABC 是直角三角形
答案:C
7.等差数列 na 中, 3a 和 9a 是关于 x 的方程 2 16064xxcc ( < )的两实根,则该数列
前 11 项和 11S =( )
A.58
B.88
C.143
D.176
解析:∵等差数列 中, 3a 和 9a 是关于 x 的方程 的两实根,
∴ 3916aa,
∴该数列前 11 项和 1139
1111 168822Saa .
答案:B
8.如果函数 y=|x|-2 的图象与曲线 C: 22xy恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取
值范围是( )
A.{2}∪(4,+∞)
B.(2,+∞)
C.{2,4}
D.(4,+∞)
解析:根据题意画出函数 y=|x|-2 与曲线 C: 22xy的图象,如图所示,
当 AB 与圆 O 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点,过 O 作 OC⊥AB,
∵OA=OB=2,∠AOB=90°,
∴根据勾股定理得: 22AB ,
∴ 1 22O C A B,此时 2 2OC ;
当圆 O 半径大于 2,即λ>4 时,两函数图象恰好有两个不同的公共点,
综上,实数λ的取值范围是{2}∪(4,+∞).
答案:A
9.执行如图所示的程序框图,若输出 S=15,则框图中①处可以填入( )
A.n≥4?
B.n≥8?
C.n≥16?
D.n<16?
解析:第一次执行循环体后,S=1,n=2,不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后,S=3,n=4,不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后,S=7,n=8,不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后,S=15,n=16,满足退出循环的条件;
故判断框中的条件应为 n≥16?.
答案:C
10.记集合 2216{|}Axyxy( , ) ,集合 B={(x,y)|x+y-4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区
域分别为 12, .若在区域 1 内任取一点 P(x,y),则点 P 落在区域 2 中的概率为( )
A. 2
4
B. 32
4
C. 2
4
D. 32
4
解析:由题意,两个区域对应的图形如图,
其中
12
23 116 16 4 12 842SS = , = = ,
由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为12 8 3 2
16 4
= .
答案:B.
11.已知圆 M: 225 36xy ( ) ,定点 50N( ,),点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 在 NP
上,点 G 在线段 MP 上,且满足 20NP NQGQ NP , ,则点 G 的轨迹方程为( )
A.
22
194
yx
B.
22
136 31
yx
C.
22
194
yx
D.
22
13 6 3 1
yx
解析:由 20NPNQGQNP , ,知 Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN,
∴GQ 为 PN 的中垂线,∴|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,
故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a=3,半焦距 c= 5 ,
∴短半轴长 b=2,
∴点 G 的轨迹方程是 .
答案:A.
12.已知 2
3 0 3
101 8333
log x x
fx
x x x
,<
( )
, >
,若 a,b,c,d 是互不相同的四个正数,且
f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则 abcd 的取值范围是( )
A.(21,25)
B.(21,24)
C.(20,24)
D.(20,25)
解析:先画出 2
303
101 8333
log xx
fx
xxx
,<
( )
, >
的图象,如图:
∵a,b,c,d 互不相同,不妨设 a<b<c<d.
且 f(a)=f(b)=f(c)=f(d),3<c<4,d>6.
∴-log3a=log3b,c+d=10,
即 ab=1,c+d=10,
故 21010abcdcccc( ) ,由图象可知:3<c<4,
由二次函数的知识可知: 2223103104104 cc< < ,
即 2211224cc< < ,
∴abcd 的范围为(21,24).
答案:B.
二.填空题(每题 5 分,共 20 分)
13.数列 na 中, 12
123*3 2
n
n
n
aaaanNn a
, , ( , ),则 2011a = .
解析:∵ ,
∴ 2
3
1
3
2
aa a,同理可得: 45678
112 23233aaaaa, , , , ,…,
∴ 6nnaa .
则 201163
33333 2aaa .
答案: 3
2 .
14.已知 x,y 均为正实数,且 x+3y=2,则 2xy
xy
的最小值为 .
解析:∵x,y 均为正实数,且 x+3y=2,
则 233 2212111137727262222
xyyy xxxyxyyxyxyx
,
当且仅当
2 2 6 1
23 5xy
时取等号.
∴ 2 xy
xy
的最小值为 1 7 2 62 ,
答案: 1 7 2 62 .
15.已知点 P(x,y)满足
7
2
xy
yx
x
,过点 P 的直线与圆 2250xy相交于 A,B 两点,则
|AB|的最小值为 .
解析:由约束条件 作出可行域如图,
联立 2
7
x
xy
=
= ,解得 A(2,5).
由图可知,可行域内的点中, 1A 到原点的距离最大,为 29 ,
∴|AB|的最小值为 25029221 = .
答案: 221 .
16.函数
0
34 )0
()
(
xaxfx
axa x
<( ) 满足 1 2 1 2 0[]f x f x x x( ) ( )( )< 对定义域中的任
意两个不相等的 12xx, 都成立,则 a 的取值范围是 .
解析: 1212 0[]fxfxxx( ) ( )( )< 对定义域中的任意两个不相等的 12xx, 都成立,
则函数 f(x)在 R 上递减,
当 x<0 时, xya ,则 0<a<1①
当 x≥0 时,y=(a-3)x+4a,则 a-3<0②
又 0 304aaa( ) ③
则由①②③,解得 10 4a < .
答案: 0 4 ]1( , .
三.解答题.
17.已知△ABC 的周长为 4212 sinBsinCsinA,且 = .
(Ⅰ)求边长 a 的值;
(Ⅱ)若 S△ABC=3sinA,求 cosA 的值.
解析:(I)根据正弦定理把 2sinBsinCsinA = 转化为边的关系,进而根据△ABC 的周长求
出 a 的值.
(II)通过面积公式求出 bc 的值,代入余弦定理即可求出 cosA 的值.
答案:(I)根据正弦定理, 2sinBsinCsinA =
可化为 2bca = .
联立方程组 4 2 1
2
abc
b c a
=
=
,
解得 a=4.
∴边长 a=4;
(II)∵S△ABC=3sinA,
∴ 1 362 bcsinA sinA bc= , = .
又由(I)可知, 2bc =4 ,
∴ 2 22 2 2 2 1
2 2 3
b c bc ab c acosA bc bc
= = = .
18.如图,长方体 1 1 1 1 1 12ABCD A B C D AD AA AB 中, , ,点 E 是线段 AB 中点.
(1)证明: 1D E CE ;
(2)求二面角 1D E C D的大小的余弦值;
(3)求 A 点到平面 1C D E 的距离.
解析:(1)根据线面垂直的性质定理,证明 1C E D D E 面 即可证明: ;
(2)建立坐标系,利用向量法即可求二面角 的大小的余弦值;
(3)根据点到平面的距离公式,即可求 A 点到平面 的距离.
答案:(1)证明: 1DDABCDCEABCD面 , 面
所以, 1DDCE ,
Rt△DAE 中,AD=1,AE=1,
222DEADAE ,
同理: 22222CECDCDCEDE,又 , ,
DE⊥CE,
DE∩CE=E,
所以, ,
又 11DEDEC 面 ,
所以, .
(2)设平面 的法向量为 mxyz( , ,),
由(1)得 1 11111 0DECE(,, ), (, ,)
1 1 0 0m D E x y m CE x y ,
解得: 1
2xy,即 11122m ( , ,);
又平面 CDE 的法向量为 1DD =(0,0,1),
∴ 1
1
1
61
3111144
m DDcosm DD
mDD
< , > ,
所以,二面角 1DECD的余弦值为 6
3 ,
(3)由(1)(2)知 AE =(0,1,0),平面 CD1E 的法向量为
故,A 点到平面 1C D E 的距离为
1
62
66
2
mAE
d
m
.
19. 2014 年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车
中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将
他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,
85),[85,90)后得到如图的频率分布直方图.
(1)求这 40 辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值;
(2)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取 2 辆,求车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率.
解析:(1)众数的估计值为最高的矩形的中点,由此能求出众数的估计值;设图中虚线所对
应的车速为 x,由频率分布直方图能求出中位数的估计值和平均数的估计值.
(2)从频率分布直方图求出车速在[60,65)的车辆数、车速在[65,70)的车辆数,设车速在[60,
65)的车辆设为 a,b,车速在[65,70)的车辆设为 c,d,e,f,利用列举法能求出车速在[65,
70)的车辆恰有一辆的概率.
答案:(1)众数的估计值为最高的矩形的中点,
即众数的估计值等于 77.5,
设图中虚线所对应的车速为 x,
则中位数的估计值为:0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-75)=0.5,
解得 x=77.5,
即中位数的估计值为 77.5,
平均数的估计值为:5×(62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×
0.02)=77.
(2)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数为:m1=0.01×5×40=2(辆),
车速在[65,70)的车辆数为: 2 0.025404m (辆)
设车速在[60,65)的车辆设为 a,b,
车速在[65,70)的车辆设为 c,d,e,f,
则所有基本事件有:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),
(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共 15 种
其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有:
(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f)共 8 种
∴车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率为 8
15P= .
20.已知椭圆 C:
22
2210yx abab( > > )的离心率为 2
2 ,左、右焦点分别为 12FF, ,点 G
在椭圆 C 上,且 12 120GF GF GF F , 的面积为 2.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)直线 l:y=k(x-1)(k<0)与椭圆Γ相交于 A,B 两点.点 P(3,0),记直线 PA,PB 的斜率分
别为 12
12
kkkk k, ,当 最大时,求直线 l 的方程.
解析:(Ⅰ)由椭圆的离心率为 2
2 、点 G 在椭圆上、 12 120GF GF GF F ,及 的面积为 2
列式求得 2242ab, ,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到 A,B
两点横坐标的和与积,把 12kk
k 转化为含有 k 的代数式,利用基本不等式求得使 12kk
k 取得最
大值的 k,则直线Γ的方程可求.
答案:(Ⅰ)∵椭圆
22
2210yx abab( > > )的离心率为 ,
∴ 2= 2
ce a ,①
∵左右焦点分别为 12FF、 ,点 G 在椭圆上,
∴ 122GFGFa,②
∵ 12 120GFGFGF F , 的面积为 2,
∴ 2
12
22
4GFGFc,③
12
1
2 2GF GF ,④
联立①②③④,得 ,
∴椭圆 C 的方程为
22
142
yx ;
(Ⅱ)联立
22
1
142
y k x
yx
=
,得 2 2 2 21 2 4 2 4 0k x k x k ( ) .
设 1122AxyBxy( , ), ( , ),
∴
22
1212 22
424
1212
kkxxxx kk
= , = .
2
121 2121 212
12121 212
111
333339
kxxx xxxk ky y kk kxxkxxx xxx
= = =
=
22
22222
222 222
22
244 11212244123
24458 24129 12391212
kk
kkkkkkkkkkk kkk
kk
=
=
33
5 4 108kk
,当且仅当 10
4k = 时,取得最值.
此时 l: 10 14yx .
21.已知函数 322xfxxegxkxx( ) ( ) 和( )
(1)若函数 g(x)在区间(1,2)不单调,求 k 的取值范围;
(2)当 x∈[0,+∞)时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求 k 的最大值.
解析:(1)求出 2'31gxkx ( ) ,通过①当 k≤0 时,②当 k>0 时,函数 g(x)在区间(1,2)
不单调,判断导数的符号,得到函数有极值,即可求 k 的取值范围;
(2)构造 322xh x f x g x x e kx x ( ) ( ) ( ) ( ) ,转化
3220 xhxxekxx( ) ( ) 在[0,+∞)上恒成立,通过 h'(0)=0,对 1
6k 时, 1
6k>
时,判断函数的单调性,以及函数的最值,是否满足题意,求出 k 的最大值.
答案:(1)
①当 k≤0 时, ≤0,所以 g(x)在(1,2)单调递减,不满足题意;
②当 k>0 时,g(x)在(0 )1
3k, 上单调递减,在( 1
3 )k , 上单调递增,
因为函数 g(x)在区间(1,2)不单调,所以 11 3k< <2 ,解得 11
12 3k< <
综上 k 的取值范围是 11
123 k< < .
(2)令 322xh x f x g x x e kx x ( ) ( ) ( ) ( )
依题可知 在[0,+∞)上恒成立
2' 1 3 1xh x x e kx ( ) ( ) ,令 2' 1 3 1xx h x x e kx ( ) ( ) ( ) ,
有φ(0)=h'(0)=0 且 '6xxxek ( ) ( )
①当 6k≤1,即 1
6k 时,
因为 x≥0, 1xe ,所以 '60 xxxek ( ) ( )
所以函数φ(x)即 h'(x)在[0,+∞)上单调递增,又由φ(0)=h'(0)=0
故当 x∈[0,+∞)时,h'(x)≥h'(0)=0,所以 h(x)在[0,+∞)上单调递增
又因为 h(0)=0,所以 h(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,满足题意;
②当 6k>1,即 1
6k> 时,
当 x∈(0,ln(6k)), '60 xxxek ( ) ( )< ,函数φ(x)即 h'(x)单调递减,
又由φ(0)=h'(0)=0,所以当 x∈(0,ln(6k)),h'(x)<h'(0)=0
所以 h(x)在(0,ln(6k))上单调递减,又因为 h(0)=0,所以 x∈(0,ln(6k))时 h(x)<0,
这与题意 h(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立相矛盾,故舍.
综上 ,即 k 的最大值是 1
6 .
22.已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是
2
2
2 422
xt
yt
=
=
(t 是参数),以原
点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线 C 的极坐标方程 (2 4)cos = .
(Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系;
(Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围.
解析:(Ⅰ)由直线的参数方程消去 t 得直线的直角坐标方程,化圆的极坐标方程为直角坐标
方程,再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系;
(Ⅱ)设出曲线 C 上的点的参数方程,由 x+y=sinθ+cosθ,利用两角和的正弦化简后可得 x+y
的取值范围.
答案:(Ⅰ)由 ,消去 t 得: 42yx .
由 2 2 2 2 24 4 4()cos cos cos sin sin cos sin = ,得 = ,即 = ,
∴ 2 2 22 2 2 2 0cos sin x x y y = ,即 = .
化为标准方程得:
22
22122xy
= .
圆 心 坐 标 为 ( 2
2 )2
2, , 半 径 为 1 , 圆 心 到 直 线 4 2 0xy 的 距 离
224222 51
2
d
= > .
∴直线 l 与曲线 C 相离;
(Ⅱ)由 M 为曲线 C 上任意一点,可设
2
2
2
2
xcos
ysin
=
=
,
则 2 ()4xysincossin ,
∴x+y 的取值范围是 [ 22] , .
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