四川省内江市2020届高三三模考试数学（理）试题 Word版含解析 24页

- 1 - 2020 年四川省内江市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题所给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.) 1.设集合  2 1xA y y   ，  2 3 0B x x   ，则 A∩B＝（ ） A. 31, 2      B. 31, 2      C. 31, 2     D. 31, 2      【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合指数函数的性质可得  1A y y  ，再由集合交集的运算即可得解. 【详解】由题意    2 1 1xA y y y y     ，   32 3 0 2B x x x x         ， 所以   3 3 31 1 1,2 2 2A B y y x x x x                       . 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题. 2.复数 z 满足（4+3i）z＝3﹣2i（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 由复数的除法求出复数 z ，得出对应点的坐标后可得其所在象限． 【 详 解 】 由 题 意 23 2 (3 2 )(4 3 ) 12 9 8 6 6 17 4 3 (4 3 )(4 3 ) 25 25 25 i i i i i iz ii i i             ， 对 应 点 为 6 17,25 25     ，在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，掌握复数的除法法则是解题关键． 3.钝角三角形 ABC 的面积是 1 2 ，AB=1，BC= 2 ，则 AC=( ) - 2 - A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 由面积公式得：1 12 sin2 2B  ，解得 2sin 2B  ，所以 45B  或 135B   ，当 45B  时， 由余弦定理得： 2 1 2 2 2 cos45AC     =1，所以 1AC  ，又因为 AB=1，BC= 2 ，所以此 时 ABC 为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以 135B   ，由余弦定理得： 2 1 2 2 2 cos135AC     =5，所以 5AC  ，故选 B. 考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 4.已知正方形 ABCD 的边长为 2，H 是边 AD 的中点，在正方形 ABCD 内部随机取一点 P，则满足 | | 2PH  的概率为 A. 1 8 4   B. 8  C. 1 4 4   D. 4  【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合几何概型计算公式求得相应的面积的数值，然后求解概率值即可. 【详解】如图所示，以 H 为圆心， 2 为半径的圆的内部与正方形 ABCD 内部的公共部分， 可拆为一个扇形与两个直角三角形， 其中扇形的半径为 2 ，圆心角为 90 ，两个直角三角形都是直角边为 1 的等腰直角三角形， 其面积为 1 12S   ， - 3 - 正方形面积 4S  ，概率为 1 1 8 4 SP S    ， 故选 A. 【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形 准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式， 在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可. 5.在 61 4x x x      的展开式中， 5 2x 的系数为（ ） A. 15 32 B. 15 16 C. 5 16 D. 5 16  【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为求解 61 4x x     展开式中 2x 项的系数； 【详解】由题意分析可知，要求 5 2x 的系数，只需求解 61 4x x     展开式中 2x 项的系数， 因为 61 4x x     展开式通项为 6 6 2 1 6 6 1 1 4 4 r r r r r r rT C x C xx                 ， 所以当 2r = 时， 2 2 2 2 3 6 1 15 4 16T C x x      ， 故 5 2x 的系数为 15 16 . 故选：B 【点睛】本题考查根据二项式定理的展开式求特定项的系数问题，难度一般，准确运用展开 式的通项公式是关键. 6.一动圆与两圆 x2+y2＝1 和 x2+y2﹣8x+12＝0 都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】 - 4 - 设动圆圆心 ( , )M x y ，与两圆 x2+y2＝1 和 x2+y2﹣8x+12＝0 都外切，列出几何关系式，化简， 再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹. 【详解】设动圆圆心 ( , )M x y ，半径为 r ，圆 x2+y2＝1 的圆心为 (0,0)O ，半径为1， 圆 x2+y2﹣8x+12＝0，得 2 2( 4) 4x y   ，则圆心 (4,0)C ，半径为 2 ， 根据圆与圆相切，则| | 1MO r  ，| | 2MC r  ，两式相减得| | | | 1MC MO  ， 根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题. 7. 设 l，m 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若 l∥α，α∩β=m，则 l∥m B. 若 l⊥α，l∥β，则α⊥β C. 若 l∥α，m∥α，则 l∥m D. 若 l∥α，m⊥l，则 m⊥α 【答案】B 【解析】 试题分析：A 中，若 / / ,l m    ，则 ,l m 平行或异面，只有 l  ，才有 //l m 所以 A 错误；B 中，若 , / /l l  ，则  ，所以 B 正确；C 中，若 / / , / /l m  ，则由线面平 行的性质定理可知l ， m 平行、相交或异面，所以 C 错误；D 中， / / ,l m l  ，则 m 与 平 行、相交或在平面内，所以 D 错误，故选 B． 考点：线面位置关系的判定． 8.定义在 R 上的偶函数 f（x）满足：对任意的 x1，x2∈[0，+∞），有    2 1 2 1 f x f x x x   ＜0，若 n∈N*，则（ ） A. f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） B. f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1） C. f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） D. f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n） 【答案】A 【解析】 - 5 - 【分析】 由 题 ( )f x 在 [0, ) 单 调 递 减 ， 再 由 ( )f x 为 偶 函 数 ， 则 ( ) ( )f n f n  ， 又 1 1 0n n n     ，结合单调性，求得到答案. 【详解】由对任意的 x1，x2∈[0，+∞），有    2 1 2 1 f x f x x x   ＜0，可得 ( )f x 在[0, ) 单调递 减， 再由 ( )f x 为偶函数，则 ( ) ( )f n f n  ，又 1 1 0n n n     ， 则 ( 1) ( ) ( 1)f n f n f n    ，即 ( 1) ( ) ( 1)f n f n f n     . 故选：A. 【点睛】本题考查了函数单调性的定义和应用，奇偶性的应用，属于基础题. 9.设平面上向量    cos ,sin , 0a       , 1 3,2 2b        ，若 3 3a b a b     ， 则角α的大小为（ ） A. 5 6  B. 6  C. 6  或 5 6  D. 6  或 7 6  【答案】B 【解析】 【分析】 由 题 意 结 合 平 面 向 量 的 运 算 律 可 得 a b  ， 再 由 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 可 得 1 3cos sin 02 2     ，进而可得 3tan 3   ，即可得解. 【详解】因为  cos ,sina   ， 1 3,2 2b        ，所以 1 a b rr ， 因为 3 3a b a b     ，所以 2 2 3 3a b a b     ， 所以 2 2 2 23 2 3 2 3 3a a b b a a b b             即3 2 3 1 1 2 3 3a b a b         ， 所以 1 3cos sin 02 2a b       ，所以 3tan 3   ， 由0    可得 6   . - 6 - 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律及坐标表示，考查了运算求解能力，合理转化 条件是解题关键，属于中档题. 10.如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径 BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝ 90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线 BD 和 AB1 所成角的余弦值为 2 3 ，则该几何体的体积为 （ ） A. 16+8π B. 32+16π C. 32+8π D. 16+16π 【答案】A 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用异面直线 BD 和 1AB 所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此 计算出该几何体的体积. 【详解】设 D 在底面半圆上的射影为 1D ，连接 1AD 交 BC 于O ，设 1 1 1 1A D B C O  . 依题意半圆柱体底面直径 4, , 90BC AB AC BAC     ， D 为半圆弧的中点， 所以 1 1 1 1,AD BC A D B C  且 1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接 1OO ， 则 1OO 与上下底面垂直，所以 1 1, ,OO OB OO OA OA OB   ， 以 1, ,OB OA OO    为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为  0h h  ，则        12,0,0 , 0, 2, , 0,2,0 , 2,0,B D h A B h ， 所以    12, 2, , 2, 2,BD h AB h      ， 由于异面直线 BD 和 1AB 所成的角的余弦值为 2 3 ， - 7 - 所以 2 1 2 2 1 2 38 8 BD AB h BD AB h h            ， 即 2 2 2 2 , 16, 48 3 h h hh    . 所以几何体的体积为 21 12 4 4 2 4 16 82 2           . 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题. 11.已知平面内的一个动点 P 到直线 l：x＝ 4 3 3 的距离与到定点 F（ 3 ，0）的距离之比为 2 3 3 ，点 11, 2A     ，设动点 P 的轨迹为曲线 C，过原点 O 且斜率为 k（k＜0）的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据已知条件求得曲线 C 的方程，再分直线 l 的斜率存在和不存在两种情况分别求得△MAN 的面积，当直线 l 的斜率存在时，与曲线 C 的方程联立求解，求得弦长 MN 和点 A 到直线 l 的 距离，表示△MAN 的面积，运用基本不等式可求得最大值. - 8 - 【详解】设动点  ,P x y 到l 的距离为 d, 由题意得 2 3 3 d PF  ，所以  2 2 4 3 3 2 3 33 x x y     ， 化简整理得曲线 C 的方程为 2 2 14 x y  ， 若直线 l 存在斜率，设其方程为 y kx ，设直线 l 与曲线 C 的交点    1 1 2 2, , ,M x y N x y ， 将 y kx 代入曲线 2 2 14 x y  中得  2 21 4 4 0k x   ， 1 2 1 2 2 40, 1 4x x x x k       ， 所以       2 22 2 1 2 1 2 1 2| | 1 1 4MN k x x k x x x x           2 2 2 2 16 4 11 1 4 1 4 kk k k      ， 又点 A 到直线 l 的距离 1 2 1 2 1 k d k    ，故 MAN△ 的面积 1 2 1 | 2 1|| |2 1 4 kS MN d k     ， 所以 2 2 2 2 (2 1) 411 4 1 4 k kS k k     ， （1）当 0k  时， 2 1S  ，则 1S  ； （2）当 >0k 时， 2 1S  ，则 1S  ； （3）当 k 0 时， 2 4 41 1 21 2 4( 4 ) S kk           （当且仅当 1 4kk    ，即 1 2k   取等号），则 2S  ； 若直线 l 不存在斜率， MN=2. 于是 MAN△ 的面积 1 2 1 12S     ， 综上得： MAN△ 的面积的最大值为 2 . 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化，属于较难题. - 9 - 12.函数 f（x）＝ 2 2 ax +（1﹣2a）x﹣2lnx 在区间 1 ,32      内有极小值，则 a 的取值范围是（ ） A. 12, 3      B. 12, 2      C. 1 12, ,3 3               D. 1 12, ,2 2               【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得 a 的取值 范围. 【详解】解：由 2 ( ) (1 2 ) 2ln2 axf x a x x    ，得 2 ' 2 (1 2 ) 2 ( 2)( 1)( ) (1 2 ) ax a x x axf x ax a x x x           ， （1）当 0a  时， ' 2( ) xf x x  ， 当 0 2x  时， ' ( ) 0f x  ，当 2x  时， ' ( ) 0f x  ，所以 2x  为函数的一个极小值点， （2）当 0a  时，令 ' ( ) 0f x  ，则 2x  或 1x a   ， ①当 0a  时，当 0 2x  时， ' ( ) 0f x  ，当 2x  时， ' ( ) 0f x  ，所以 2x  为函数的一 个极小值点， ②当 0a  时， i)若 1 2a   ，即 1 02 a   时， 0 2x  时， ' ( ) 0f x  ，当 12 x a    时， ' ( ) 0f x  ， 所以 2x  为函数的一个极小值点， ii)若 1 2a   ，即 1 2a   时，当 (0, )x  时， ' ( ) 0f x  ，函数无极值； iii)若 1 1 22 a    ，即 12 2a    时，当 10 x a    时， ' ( ) 0f x  ，当 1 2xa    时， ' ( ) 0f x  ，所以 1x a   为 1 ,32      上的极小值点， - 10 - 综上 a 的取值范围是 1 12, ,2 2               ， 故选：D 【点睛】此题考查了函数的极值，考查了分类讨论思想，属于中档题. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13.若不等式组 5 0 { 0 2 x y y a x       表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是 【答案】 5,7 【解析】 【分析】 先画出另外两个不等式表示的区域，再调整 a 的大小，使得不等式组 5 0 0 2 x y y a x         表示的平 面区域是一个三角形即可. 【详解】解：由图可知移动 y a 这条直线易得 5 7a  ， 故答案为：5 7a  . 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查作图能力和对图形的分析能力． 14.已知 tan(5π﹣α)＝﹣ 1 2 ，tan(β﹣α)＝1，则 tanβ＝_______. 【答案】 3 【解析】 【分析】 - 11 - 由题意结合诱导公式可得 1tan 2   ，转化条件为  tan tan        ，再由两角和的 正切公式即可得解. 【详解】因为   1tan 5 2     ，所以   1tan tan 5 2       ， 所以       11tan tan 2tan tan 311 tan tan 1 2                       . 故答案为：3 . 【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础 题. 15.函数    2 ln 1 4xf x x    的零点个数为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意结合函数零点的概念可转化条件得   24ln 1 22 x xx    ，在同一直角坐标系中作出函 数  ln 1y x  与 22 xy  的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数. 【详解】令    2 ln 1 4 0xf x x     ，则   24ln 1 22 x xx    ， 在同一直角坐标系中作出函数  ln 1y x  与 22 xy  的图象，如图： - 12 - 由图象可知，函数  ln 1y x  当 1x   时，  ln 1y x    则与 22 xy  的图象有 必有两个交点， 所以方程   24ln 1 22 x xx    有两个不同实根，所以函数    2 ln 1 4xf x x    的零点 个数为 2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与 转化化归思想，属于中档题. 16.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点 F ，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是_____ 【答案】 1 ,12     【解析】 【分析】 根据 F 在 AP 的垂直平分线上，知 PF FA ， 2 2a bFA cc c    ，  ,PF a c a c   ， 所以   2   ,b a c a cc    ，从而求出离心率  c a 的取值范围． 【详解】由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F， 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等， 而 2 2a bFA cc c    ，  ,PF a c a c   于是   2   ,b a c a cc    ，即 2 2 2ac c b ac c    ， 2 2 2 2 2 2 ac c a c a c ac c         ⇒ 1   1  1 2 c a c c a a      或 ， 又  01e ， ，故 1,12e     ， - 13 - 故答案为 1,12e     . 【点睛】本题考查了椭圆的一些基本性质， PF FA ，以及 PF 的范围是解决此题的关键， 属于中档题. 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共 60 分 17.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如表： 男 女 需要 40 m 不需要 n 270 若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为 14%. （1）求 m，n 的值； （2）能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮 助与性别有关？ 参考公式：K2＝ 2( )( ) ( )( )( )( ) a b c d ad bc a b c d a c b d         . P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 30, 160m n  （2）答案见解析 【解析】 - 14 - 【分析】 （1）根据该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例，结合列联表中的数据，即可得出 m，n 的值； （2）计算 2K ，再由独立性检验的知识进行判断即可. 【详解】（1） 40 500 14%m   ， 30m  500 (40 30 270) 160n      （2） 2 2 500 (40 270 160 30) 9.97 6.635(40 160) (30 270) (40 30) (160 270)K             即在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别 有关 【点睛】本题主要考查了完善列联表以及独立性检验解决实际问题，属于中档题. 18.已知数列{an}是等差数列，且满足 a6＝6+a3，a6﹣1 是 a5﹣1 与 a8﹣1 的等比中项. （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知数列{bn}满足 bn＝2n•an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn，并求 Sn 的最小值. 【答案】（1）  *2 7na n n N   ；（2）    1 *2 9 2 18n nS n n N     ， nS 的最小值为 30 . 【解析】 【分析】 （1）由 6 36a a  求出公差 d ，再由 a6﹣1 是 a5﹣1 与 a8﹣1 的等比中项，求出 1a ，从而求出 { }na 的通项公式； （2）根据 (2 7) 2n nb n   ，利用错位相减法求和，并分析 1n nS S  ，得到 Sn 的单调性，从 而求得最小值. 【详解】（1）设数列{ }na 公差为 d ，由 6 36a a  ，得3 6d  ，得 2d  ， 又 2 6 5 8( 1) ( 1)( 1)a a a    ，得 2 1 1 1( 9) ( 7)( 13)a a a    ，得 1 5a   ， 由 1 ( 1)na a n d   ，得  *2 7na n n N   . （2）由（1）得 (2 7) 2n nb n   ，则 2 3( 5) 2 ( 3) 2 ( 1) 2 (2 7) 2 n nS n             - 15 - 2 32 ( 5) 2 ( 3) 2nS        1(2 9) 2 (2 7) 2n nn n       两式相减得， 3 4 1( 10) 2 2 2 n nS         1(2 7) 2nn       1 1 18 1 2 10 (2 7) 2 18 9 2 21 2 n n nn n               ，即    1 *2 9 2 18n nS n n N     . 又 1 1 1 (2 5) 2n n n nS S b n        ，则当 2n  时 1n nS S  ，当 3n  时， 1n nS S  ， 即 1 2 3 4 5 6S S S S S S       故当 3n  时， nS 有最小值为 3 30S   . 【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算和通项公式的求法、等比中项的应用，，错位相 减法求和，以及利用数列的单调性求最值，属于中档题. 19.如图，在直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝4. （1）证明：面 ACD1⊥面 BB1D； （2）求二面角 B1﹣AC﹣D1 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 8 21 63 【解析】 【分析】 （1）由 1BB  面 ABCD ，得到 1BB AC ，又 AC BD ，则 AC  面 1BB D ，从而证得面 - 16 - ACD1⊥面 1BB D ； （2）以 A 为原点，建立空间直角坐标系 1A BDA ，设 AB x ，由 AC BD ，求出 x ，再 求面 1B AC 和面 1ACD 的法向量，从向量法求出二面角 B1﹣AC﹣D1 的余弦值. 【详解】（1）由 1BB  面 ABCD ，又 AC  面 ABCD ，则 1BB AC ， 又 AC BD ， 1BB BD B  ， BD  面 1B BD ， 1BB  面 1B BD ， 则 AC  面面 1B BD ，又 AC  面 1ACD ，则面 ACD1⊥面 BB1D. （2）以 A 为原点，建立空间直角坐标系 1A BDA ，如图所示： 设 AB x ，则 ( ,0,0)B x ， (0,4,0)D ， ( ,1,0)C x ， 则 ( ,1,0)AC x ， ( ,4,0)BD x  ，由 AC BD ，则 2 4 0x   ，得 2x  ， 则 1(2,0,4)B ， (2,1,0)C ， 1 (0,4,4)D ，得 (2,1,0)AC  ， 1 (2,0,4)AB  ， 1 (0,4,4)AD  ， 设 ( , , )m x y z 且 m  面 1ACB ，则 1 2 0 2 4 0 m AC x y m AB x z            ，令 1z   ，则 (2, 4, 1)m    ， 设 ( , , )n x y z 且 n  面 1ACD ，则 1 2 0 4 4 0 n AC x y n AD y z            ，令 1x  ，则 (1, 2,2)n   ， - 17 - 设二面角 B1﹣AC﹣D1 为 ，则 cos cos , | || | m nm n m n           2 8 2 8 21 6321 3     . 【点睛】本题考查了面面垂直的判断，空间向量法求二面角，还考查了空间想象能力，逻辑 推理能力，运算能力，属于中档题. 20.已知函数   lna xf x bxx   在 1x  处的切线方程为 1y x  . （1）求函数  y f x 的解析式； （2）若不等式  f x kx 在区间 0,  上恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）求证： 4 4 4 ln 2 ln3 ln 1 2 3 2 n n e     . 【答案】（1）   ln xf x x  ；（2） 1 ,2e    ；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求得函数  y f x 的导数，由题意得出     1 1 1 0 f f      ，可得出关于 a 、b 的方程组，解出 这两个未知数的值，即可得出函数  y f x 的解析式； （2）利用参变量法得出 2 ln xk x  对任意的  0,x  恒成立，构造函数   2 ln xg x x  ，利用 导数求得函数  y g x 在区间 0,  上的最大值，即可得出实数 k 的取值范围； （3）由（2）可知，当 x e 时，   ln 2 x xf x x e   ，变形得出 4 2 ln 1 1 2 x x e x   ，利用放缩 法得出  4 2 ln 1 1 1 1 1 22 2 1 n nn e n e n n         ，依次得到 4 ln 2 1 112 2 2e      ， 4 ln3 1 1 1 3 2 2 3e      ， ，  4 ln 1 1 1 22 1 n nn e n n       ，利用不等式的可加性即可证得所证 不等式成立. 【详解】（1）   lna xf x bxx   ，该函数的定义域为 0,  ，     2 1 lna xf x bx    ， - 18 - 由题意可知，点   1, 1f 在直线 1y x  上，  1 0f  ， 由题意得     1 0 1 1 f b f a b       ，解得 1 0 a b    ，   ln xf x x   ； （2）对任意的  0,x  ，由  f x kx ，得 ln xkx x  ，即 2 ln xk x  ， 令   2 ln xg x x  ，其中 0x  ，则  maxk g x ，   3 1 2ln xg x x   ，令   0g x  ，可得 x e ，列表如下： x  0, e e  ,e   g x  0   g x 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数  y g x 在 x e 处取得极大值，亦即最大值，即    max 1 2g x g e e   . 1 2k e   ，因此，实数 k 的取值范围是 1 ,2e    ； （3）由（2）可知，当 x e 时，   ln 2 x xf x x e   ，则 4 2 ln 1 1 2 x x e x   ， 当 2n  时， 4 2 ln 1 1 1 1 1 2 2 1 n n e n e n n        ， 4 ln 2 1 112 2 2e       ， 4 ln3 1 1 1 3 2 2 3e      ， ， 4 ln 1 1 1 2 1 n n e n n      ， 上述不等式全部相加得 4 4 4 ln 2 ln3 ln 1 1 112 3 2 2 n n e n e          . 因此，对任意的 2n  ， 4 4 4 ln 2 ln3 ln 1 2 3 2 n n e     . 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同 时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题. 21.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0y xC a ba b     的离心率为 2 2 ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之 - 19 - 和为 2 2 . （1）求椭圆C 的方程； （2）过点 1 ,03S     的动直线 l 交椭圆C 于 A 、 B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个 定点T ，使得无论直线 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 2 2 12 y x  ；（2）存在，且定点  1,0T . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆定义可求得 a 的值，由椭圆的离心率可求得 c 的值，进而可求得b 的值，由此 可得出椭圆C 的标准方程； （2）先利用对称性说明定点T 在 x 轴上，设点  ,0T t ，对直线l 是否与 x 轴重合进行分类讨 论.在直线l 不与 x 轴重合时，设直线l 的方程为 1 3x my  ，设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ，将 直线 l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由题意得出 0TA TB   ，利用平面向量数 量积的坐标运算结合韦达定理求得t 的值；在直线l 与 x 轴重合时，验证即可.进而可得出结论. 【详解】（1）由椭圆定义可得 2 2 2a  ，则 2a  ， 又椭圆C 的离心率为 2 2 ce a   ， 1c  ，则 2 2 1b a c   ， 因此，椭圆C 的标准方程为 2 2 12 y x  ； （2）当直线 l 不与 x 轴重合时，可设直线 l 的方程为 1 3x my  ，设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ， 考虑直线 1 1: 3l x ky  ， 2 1: 3l x ky   ， 设直线 1l 与椭圆相交于 1A 、 1B 两点，直线 2l 与椭圆C 相交于 2A 、 2B 两点，如下图所示： - 20 - 由题意可知，直线 1l 、 2l 关于 x 轴对称，则定点T 是分别以 1 1A B 、 2 2A B 为直径的圆的交点， 由椭圆的对称性可知，点T 在 x 轴上，设点T 的坐标为 ,0t ， 联立 2 2 1 3 12 x my y x       ，消去 x 并整理得 2 218 9 12 16 0m y my    ，    2 2 2144 64 18 9 144 9 4 0m m m       恒成立， 由韦达定理得 1 2 2 2 12 4 18 9 6 3 m my y m m     ， 1 2 2 16 18 9y y m    ， 由于以 AB 为直径的圆恒过点T ，则TA TB ， 1 1 1 ,3TA my t y       ， 2 2 1 ,3TB my t y       ，     2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 113 3 3 3TA TB my t my t y y m y y m t y y t                                      2 2 2 2 2 2 116 1 12 12 20 161 13 018 9 3 3 18 9 m m t m t mt tm m                           ， 由于点T 为定点，则 t 为定值，所以，12 20 16 18 9 t   ，解得 1t  ， 此时 24 16 03 9TA TB          ，合乎题意； - 21 - 当直线l 与 x 轴重合时，则 AB 为椭圆的短轴，此时，点T 与点 A 或点 B 重合，合乎题意. 综上所述，直线l 恒过定点  1,0T . 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了圆过定点的坐标，利用对称性得出定点在 x 轴上可简化计算，考查运算求解能力，属于难题. （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分.（共 1 小题，满分 10 分） 22.在直角坐标系.xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 2 2cos . 2sin x y       （ 为参数），以原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ=4sinθ. （1）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （2）已知曲线 C3 的极坐标方程为  0 π, R       ，点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，点 B 是 曲线 C3 与 C2 的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|=4 2 ，求α的值. 【答案】（1） 2 22 4x y   ，  22 2 4x y   ,；（2） 3 4   【解析】 【分析】 （1）由曲线 C1 的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线 C2 的极坐标方程左右同乘ρ， 即可求出直角坐标方程； （2）曲线 C1 化为极坐标方程 4cos  ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A B    ，从而 1 2| | | |AB    计算 即得解. 【详解】（1）曲线 C1 的参数方程为 2 2cos . 2sin x y       , 消去参数得到普通方程： 2 2( 2) 4x y   曲线 C2 的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到 2 4 sin   故 C2 的直角坐标方程为： 2 2( 2) 4x y   . （2）曲线 C1 2 2( 2) 4x y   化为极坐标方程 4cos  , 设 1 1 2 2( , ), ( , )A B    - 22 - 因为曲线 C3 的极坐标方程为： (0 ), R        点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|=4 2 1 2| | | | | 4sin 4cos | 4 2 | sin( ) | 4 24AB             sin( ) 1,04         3 4 2 4         【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的 能力，属于中档题. 选修题（共 1 小题，满分 0 分） 23.已知函数 ( ) 2 4f x x x    ，函数 ( ) ( )g x f x m  的定义域为 R. （1）求实数 m 的取值范围； （2）求解不等式 ( ) 8f x  . 【答案】（1） ( ,6] ；（2）[ 3,5] . 【解析】 【分析】 （1）问题转化为：当 xR 时，不等式 ( ) 0f x m  恒成立，根据绝对值的性质求出函数 ( )f x 的最小值进行求解即可； （2）利用绝对值的性质把函数 ( )f x 的解析式化成分段函数的形式，然后分类讨论进行求解即 可. 【详解】（1）因为函数 ( ) ( )g x f x m  的定义域为 R， 所以 ( ) 0f x m  ，当 xR 时恒成立，即当 xR 时，不等式 ( )m f x 恒成立， 因此只需 min( )m f x ， 因为 ( ) 2 4 2 4 2 4 6f x x x x x x x             ， 当且仅当 2 4x x   时取等号，即 1x  时，取等号， 所以 min( ) 6f x  ，因此 6m  ，所以实数 m 的取值范围为 ( ,6] ； - 23 - （2） 2 2, 4 ( ) 2 4 6, 2 4 2 2, 2 x x f x x x x x x               . 当 4x  时， ( ) 8 2 2 8 5, 4, 4 5f x x x x x          ； 当 2 4x   时， ( ) 6f x  ，显然 ( ) 8f x  成立，所以 2 4x   ； 当 2x ≤ 时， ( ) 8 2 2 8 3, 2, 3 2f x x x x x              ， 综上所述：不等式 ( ) 8f x  的解集为：[ 3,5] 【点睛】本题考查了已知函数的定义域求参数取值范围，考查了解绝对值不等式，考查了绝 对值的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力. - 24 -