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- 2021-06-11 发布
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本章三年高考真题与高考等值卷( 平面解析几何 )(理科数学)
1.直线与方程
(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),
了解斜截式与一次函数的关系.
(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
2.圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
3.圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.
(4)了解圆锥曲线的简单应用.
(5)理解数形结合的思想.
4.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
1．【2019年天津理科05】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．
∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，
∵l与双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），
∴|AB|，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，
∴c，
∴双曲线的离心率为e．
故选：D．
2．【2019年新课标3理科10】双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：双曲线C：1的右焦点为F（，0），渐近线方程为：yx，不妨P在第一象限，
可得tan∠POF，P（，），
所以△PFO的面积为：．
故选：A．
3．【2019年全国新课标2理科08】若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆1的一个焦点，则p＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．
故选：D．
4．【2019年全国新课标2理科11】设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：如图，
由题意，把x代入x2+y2＝a2，得PQ，
再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，
∴，解得e．
故选：A．
5．【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）
A．y2＝1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|，
∴|AF2|＝a，|BF1|a，
在Rt△AF2O中，cos∠AF2O，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1，
根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得0，解得a2＝3，∴a．
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C的方程为：1．
故选：B．
6．【2019年北京理科04】已知椭圆1（a＞b＞0）的离心率为，则（ ）
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b
【解答】解：由题意，，得，则，
∴4a2﹣4b2＝a2，即3a2＝4b2．
故选：B．
7．【2019年浙江02】渐进线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（ ）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：根据渐进线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c
则该双曲线的离心率为 e，
故选：C．
8．【2018年新课标1理科08】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，
联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．
则•（0，2）•（3，4）＝8．
故选：D．
9．【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【解答】解：双曲线C：y2＝1的渐近线方程为：y，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y，
则：解得M（，），
解得：N（），
则|MN|3．
故选：B．
10．【2018年新课标2理科05】双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【解答】解：∵双曲线的离心率为e，
则，
即双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
故选：A．
11．【2018年新课标2理科12】已知F1，F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），
直线AP的方程为：y（x+a），
由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），
代入直线AP：c（2c+a），整理得：a＝4c，
∴题意的离心率e．
故选：D．
12．【2018年新课标3理科06】直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]
【解答】解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|2，
∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2，），
∴点P到直线x+y+2＝0的距离：
d，
∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d∈[]，
∴△ABP面积的取值范围是：
[，]＝[2，6]．
故选：A．
13．【2018年新课标3理科11】设F1，F2是双曲线C：1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1||OP|，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为yx，
∴点F2到渐近线的距离db，即|PF2|＝b，
∴|OP|a，cos∠PF2O，
∵|PF1||OP|，
∴|PF1|a，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），
即3a2＝c2，
即a＝c，
∴e，
故选：C．
14．【2018年浙江02】双曲线y2＝1的焦点坐标是（ ）
A．（，0），（，0） B．（﹣2，0），（2，0）
C．（0，），（0，） D．（0，﹣2），（0，2）
【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2＝3，b2＝1，
由此可得c2，
∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）
故选：B．
15．【2018年上海13】设P是椭圆1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【解答】解：椭圆1的焦点坐标在x轴，a，
P是椭圆1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝2．
故选：C．
16．【2018年天津理科07】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，
F是AB的中点，EF3，
EFb，
所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，
可得：，解得a．
则双曲线的方程为：1．
故选：C．
17．【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，
直线l2与C交于D、E两点，
要使|AB|+|DE|最小，
则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l2过点（1，0），
则直线l2的方程为y＝x﹣1，
联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，
∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，
∴|DE|•|y1﹣y2|8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，
方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 θ，
根据焦点弦长公式可得|AB|
|DE|
∴|AB|+|DE|，
∵0＜sin22θ≤1，
∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，
故选：A．
18．【2017年新课标2理科09】若双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，
圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：，
解得：，可得e2＝4，即e＝2．
故选：A．
19．【2017年新课标3理科05】已知双曲线C：1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：椭圆1的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c＝3，
双曲线C：1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为yx，
可得，即，可得，解得a＝2，b，
所求的双曲线方程为：1．
故选：B．
20．【2017年新课标3理科10】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为
A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，
∴原点到直线的距离a，化为：a2＝3b2．
∴椭圆C的离心率e．
故选：A．
21．【2017年浙江02】椭圆1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆1，可得a＝3，b＝2，则c，
所以椭圆的离心率为：．
故选：B．
22．【2017年上海16】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1和C2：x21．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且w}，则Ω中元素个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个
【解答】解：椭圆C1：1和C2：x21．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，
可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α，β＜2π，
则6cosαcosβ+6sinαsinβ＝6cos（α﹣β），
当α﹣β＝2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，
则Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且w}中的元素有无穷多对．
另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2＝36，9u2+v2＝9，
由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）＝324≥（3mu+3nv）2，
当且仅当mv＝9nu，取得最大值6，
显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．
故选：D．
23．【2017年天津理科05】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e，ca，
则双曲线为等轴双曲线，即a＝b，
双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k，
则1，c＝4，则a＝b＝2，
∴双曲线的标准方程：；
故选：B．
24．【2019年新课标3理科15】设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ．
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：1的a＝6，b＝2，c＝4，
e，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6m＝8，即m＝3，n；
6m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，）．
故答案为：（3，）．
25．【2019年新课标1理科16】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，•0，则C的离心率为 ．
【解答】解：如图，
∵，且•0，∴OA⊥F1B，
则F1B：y，
联立，解得B（，），
则，，
∴4c2，
整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，
∴，e．
故答案为：2．
26．【2019年江苏07】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是 ．
【解答】解：∵双曲线x21（b＞0）经过点（3，4），
∴，解得b2＝2，即b．
又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y．
故答案为：y．
27．【2019年浙江12】已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r．若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则m＝ ，r＝ ．
【解答】解：如图，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m＝﹣2．
∴圆心为（0，﹣2），则半径r．
故答案为：﹣2，．
28．【2019年浙江15】已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ．
【解答】解：椭圆1的a＝3，b，c＝2，e，
设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，
线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，
连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，
设P的坐标为（m，n），可得3m＝4，可得m，n，
由F（﹣2，0），可得直线PF的斜率为
．
故答案为：．
29．【2018年江苏08】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 ．
【解答】解：双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线yx的距离为c，
可得：b，
可得，即c＝2a，
所以双曲线的离心率为：e．
故答案为：2．
30．【2018年新课标3理科16】已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝
．
【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），
∴过A，B两点的直线方程为y＝k（x﹣1），
联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2，x1x2＝1，
∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2），y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，
∵M（﹣1，1），
∴（x1+1，y1﹣1），（x2+1，y2﹣1），
∵∠AMB＝90°，∴•0
∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，
整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2＝0，
∴1+242＝0，
即k2﹣4k+4＝0，
∴k＝2．
故答案为：2
31．【2018年浙江17】已知点P（0，1），椭圆y2＝m（m＞1）上两点A，B满足2，则当m＝ 时，点B横坐标的绝对值最大．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由P（0，1），2，
可得﹣x1＝2x2，1﹣y1＝2（y2﹣1），
即有x1＝﹣2x2，y1+2y2＝3，
又x12+4y12＝4m，
即为x22+y12＝m，①
x22+4y22＝4m，②
①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝﹣3m，
可得y1﹣2y2＝﹣m，
解得y1，y2，
则m＝x22+（）2，
即有x22＝m﹣（）2，
即有m＝5时，x22有最大值4，
即点B横坐标的绝对值最大．
故答案为：5．
32．【2018年上海02】双曲线y2＝1的渐近线方程为 ．
【解答】解：∵双曲线的a＝2，b＝1，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y＝±
∴双曲线的渐近线方程为y＝±
故答案为：y＝±
33．【2018年上海12】已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2，则的最大值为 ．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
（x1，y1），（x2，y2），
由x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2，
可得A，B两点在圆x2+y2＝1上，
且•1×1×cos∠AOB，
即有∠AOB＝60°，
即三角形OAB为等边三角形，
AB＝1，
的几何意义为点A，B两点
到直线x+y﹣1＝0的距离d1与d2之和，
显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y＝1平行，
可设AB：x+y+t＝0，（t＞0），
由圆心O到直线AB的距离d，
可得21，解得t，
即有两平行线的距离为，
即的最大值为，
故答案为：．
34．【2018年北京理科14】已知椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
【解答】解：椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），
解得e．
同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得：，即，
可得双曲线的离心率为e2．
故答案为：；2．
35．【2017年江苏08】在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ．
【解答】解：双曲线y2＝1的右准线：x，双曲线渐近线方程为：y＝±x，
所以P（，），Q（，），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．
则四边形F1PF2Q的面积是：2．
故答案为：2．
36．【2017年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2＝50上．若20，则点P的横坐标的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02＝50，
（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）＝（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）＝12x0+6y+x02+y02
≤20，
化为：12x0﹣6y0+30≤0，
即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5＝0以及直线上方的区域，
联立，解可得x0＝﹣5或x0＝1，
结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，
故答案为：[﹣5，1]．
37．【2017年新课标1理科15】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 ．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，
可得：，即，可得离心率为：e．
故答案为：．
38．【2017年新课标2理科16】已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝ ．
【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，
可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，
|FN|＝2|FM|＝26．
故答案为：6．
39．【2017年上海06】设双曲线1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝ ．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：1，
其中a3，
则有||PF1|﹣|PF2||＝6，
又由|PF1|＝5，
解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）
故|PF2|＝11，
故答案为：11．
40．【2017年北京理科09】若双曲线x21的离心率为，则实数m＝ ．
【解答】解：双曲线x21（m＞0）的离心率为，
可得：，
解得m＝2．
故答案为：2．
41．【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．
（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 ．
（2）记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 ．
【解答】解：（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，
Q1＝A1的纵坐标+B1的纵坐标；
Q2＝A2的纵坐标+B2的纵坐标，
Q3＝A3的纵坐标+B3的纵坐标，
由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，
（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，
则pi为AiBi中点与原点连线的斜率，
故p1，p2，p3中最大的是p2
故答案为：Q1，p2
42．【2019年天津理科18】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2b＝4，即b＝2，e，a2﹣b2＝c2，
解得a，c＝1，
可得椭圆方程为1；
（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，
代入椭圆方程4x2+5y2＝20，
可得（4+5k2）x2+20kx＝0，
解得x或x＝0，
即有P（，），
y＝kx+2，令y＝0，可得M（，0），
又N（0，﹣1），OP⊥MN，
可得•1，解得k＝±，
可得PB的斜率为±．
43．【2019年新课标3理科21】已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
【解答】解：（1）证明：y的导数为y′＝x，
设切点A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1，y2，
切线DA的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即为y＝x1x，
切线DB的方程为y＝x2x，
联立两切线方程可得x（x1+x2），
可得yx1x2，即x1x2＝﹣1，
直线AB的方程为y（x﹣x1），
即为y（x1+x2）（x﹣x1），
可化为y（x1+x2）x，
可得AB恒过定点（0，）；
（2）法一：设直线AB的方程为y＝kx，
由（1）可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，
AB中点H（k，k2），
由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH|，
可得，
解得k＝0或k＝±1，
即有直线AB的方程为y或y＝±x，
由y可得|AB|＝2，四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD2×（1+2）＝3；
由y＝±x，可得|AB|•4，
此时D（±1，）到直线AB的距离为；
E（0，）到直线AB的距离为，
则四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD4×（）＝4；
法二：
（2）由（1）得直线AB的方程为y＝tx．
由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．
于是x1+x2＝2t，x1x2＝﹣1，y1+y2＝t（x1+x2）+1＝2t2+1，
|AB|2（t2+1）．
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2．
因此，四边形ADBE的面积S|AB|（d1+d2）＝（t2+3）．
设M为线段AB的中点，则M（t，t2）．
由于，而，与向量（1，t）平行，所以t+（t2﹣2）t＝0．解得t＝0或t＝±1．
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4．
综上，四边形ADBE的面积为3或4．
44．【2019年全国新课标2理科21】已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意得，
整理得曲线C的方程：，
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；
（2）
（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），
E（x0，0），G（xG，yG），
∴直线QE的方程为：，
与联立消去y，
得，
∴，
∴，
∴，
∴
，
把代入上式，
得kPG
，
∴kPQ×kPG1，
∴PQ⊥PG，
故△PQG为直角三角形；
（ii）S△PQG
令t，则t≥2，
S△PQG
利用“对号”函数f（t）＝2t在[2，+∞）的单调性可知，
f（t）（t＝2时取等号），
∴（此时），
故△PQG面积的最大值为．
45．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；
（2）若3，求|AB|．
【解答】解：（1）设直线l的方程为y（x﹣t），将其代入抛物线y2＝3x得：x2﹣（t+3）xt2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x22t，①，x1x2＝t2②，
由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t4，解得t，
直线l的方程为yx．
（2）若3，则y1＝﹣3y2，∴（x1﹣t）＝﹣3（x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t，③
由①②③解得t＝1，x1＝3，x2，
∴|AB|．
46．【2019年北京理科18】已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，
可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；
（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），
设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，
直线OM的方程为yx，即yx，
直线ON的方程为yx，即yx，
可得A（，﹣1），B（，﹣1），
可得AB的中点的横坐标为2（）＝2•2k，
即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），
半径为||＝2•2，
可得圆的方程为（x﹣2k）2+（y+1）2＝4（1+k2），
化为x2﹣4kx+（y+1）2＝4，
由x＝0，可得y＝1或﹣3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．
47．【2019年江苏17】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，
∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，
∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，
∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，
取x＝1，得，则AD＝2a．
又DF1，∴，解得a＝2（a＞0）．
∴椭圆C的标准方程为；
（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），
∴，则BF2：y，
联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．
解得x1＝﹣1或（舍）．
∴．
即点E的坐标为（﹣1，）．
48．【2019年浙江21】如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求的最小值及此时点G点坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：1，
∴p＝2，
∴抛物线的准线方程为x＝﹣1；
（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG），
令yA＝2t，t≠0，则，
由于直线AB过F，故直线AB的方程为x，
代入y2＝4x，得：，
∴2tyB＝﹣4，即yB，∴B（，），
又xG（xA+xB+xC），yG（yA+yB+yC），重心在x轴上，
∴0，
∴C（（）2，2（）），G（，0），
∴直线AC的方程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），
∵Q在焦点F的右侧，∴t2＞2，
∴2，
令m＝t2﹣2，则m＞0，
2221，
∴当m时，取得最小值为1，此时G（2，0）．
49．【2018年江苏18】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，
∵焦点F1（，0），F2（，0），∴．
∵∴，又a2﹣b2＝c2＝3，
解得a＝2，b＝1．
∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2＝3．
（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，
∴可设直线l的方程为y＝kx+m，（k＜0，m＞0）．
由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．
由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
△＝（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＝0，
可得m2＝4k2+1，∴3k2+3＝4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k，m＝3．
将k，m＝3代入可得，
解得x，y＝1，故点P的坐标为（．
②设A（x1，y1），B（x2，y2），
由⇒k．
联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
|x2﹣x1|，
O到直线l的距离d，
|AB||x2﹣x1|，
△OAB的面积为S，
解得k，（正值舍去），m＝3．
∴y为所求．
50．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
【解答】解：（1）c1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x＝1，
由，解得或，
∴A（1.），或（1，），
∴直线AM的方程为yx，yx，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2，
直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB，
由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得kMA+kMB，
将y＝k（x﹣1）代入y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
∴x1+x2，x1x2，
∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0
从而kMA+kMB＝0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA＝∠OMB，
综上∠OMA＝∠OMB．
51．【2018年新课标2理科19】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），
设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2，x1x2＝1，
由|AB|＝x1+x2+p2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，
∴直线l的方程y＝x﹣1；
方法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|8，解得：sin2θ，
∴θ，则直线的斜率k＝1，
∴直线l的方程y＝x﹣1；
（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即y＝﹣x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，
解得：或，
因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．
52．【2018年新课标3理科20】已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m
将A，B代入椭圆C：1中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，
∴k
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴．①
（2）由题意得F（1，0），设P（x3，y3），则
x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，y1+y2+y3＝0，
由（1）及题设得x3＝3﹣（x1+x2）＝1，y3＝﹣（y1+y2）＝﹣2m＜0．
又点P在C上，所以m，从而P（1，），．
于是2．
同理2．
所以||+||＝4，
故||+||＝2||，即||，||，||成等差数列．
设改数列的公差为d，则2|d||x1﹣x2|②
将m代入①得k＝﹣1．
所以l的方程为y＝﹣x，代入C的方程，并整理得70．
故x1+x2＝2，x1x2，代入②解得|d|．
所以该数列的公差为或．
53．【2018年浙江21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x
上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x21（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），
AB中点为M的坐标为（，），
抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，
可得（）2＝4•，
（）2＝4•，
化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2＝0的两根，
可得y1+y2＝2n，y1y2＝8m﹣n2，
可得n，
则PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x21（x＜0）上的动点，
可得m21，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，
由（Ⅰ）可得y1+y2＝2n，y1y2＝8m﹣n2，
由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S|PM|•|y1﹣y2|
（m）•
＝[•（4n2﹣16m+2n2）m]•
（n2﹣4m），
可令t
，
可得m时，t取得最大值；
m＝﹣1时，t取得最小值2，
即2≤t，
则St3在2≤t递增，可得S∈[6，]，
△PAB面积的取值范围为[6，]．
54．【2018年上海20】设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ
与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t＝8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），
则|BF|t+2，
∴|BF|＝t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2t），
由抛物线的性质可知：|BF|＝tt+2，∴|BF|＝t+2；
（2）F（2，0），|FQ|＝2，t＝3，则|FA|＝1，
∴|AQ|，∴Q（3，），设OQ的中点D，
D（，），
kQF，则直线PF方程：y（x﹣2），
联立，整理得：3x2﹣20x+12＝0，
解得：x，x＝6（舍去），
∴△AQP的面积S；
（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF，kFQ，
直线QF方程为y（x﹣2），∴yQ（8﹣2），Q（8，），
根据，则E（6，），
∴（）2＝8（6），解得：y2，
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．
55．【2018年北京理科19】已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，λ，μ，求证：为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px经过点
P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，
设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组可得，
消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，
且k≠0，x1+x2，x1x2，
又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，
故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），
则（0，yM﹣1），（0，﹣1）
因为λ，所以yM﹣1＝﹣yM﹣1，故λ＝1﹣yM，同理μ＝1﹣yN，
直线PA的方程为y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），
令x＝0，得yM，同理可得yN，
因为2，
∴2，∴为定值．
56．【2018年天津理科19】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|＝6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若sin∠AOQ（O为原点），求k的值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆1（a＞b＞0）的焦距为2c，
由椭圆的离心率为e，
∴；
又a2＝b2+c2，
∴2a＝3b，
由|FB|＝a，|AB|b，且|FB|•|AB|＝6；
可得ab＝6，
从而解得a＝3，b＝2，
∴椭圆的方程为1；
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；
∴|PQ|sin∠AOQ＝y1﹣y2；
又|AQ|，且∠OAB，
∴|AQ|y2，
由sin∠AOQ，可得5y1＝9y2；
由方程组，消去x，可得y1，
由（Ⅰ）知直线AB的方程为x+y﹣2＝0；
由方程组，消去x，可得y2；
由5y1＝9y2，可得5（k+1）＝3，
两边平方，整理得56k2﹣50k+11＝0，
解得k或k；
∴k的值为或．
57．【2017年江苏17】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e，则a＝2c，①
椭圆的准线方程x＝±，由28，②
由①②解得：a＝2，c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆的标准方程：；
（2）方法一：设P（x0，y0），
当x0＝1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，
当x0≠1时，则直线PF2的斜率，
直线l2的斜率k2，直线l2的方程y（x﹣1），
直线PF1的斜率，
则直线l1的斜率k1，直线l1的方程y（x+1），
联立，解得：，则Q（﹣x0，），
由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0，
∴y02＝x02﹣1，
则，解得：，则，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（，）．
方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，
当m＝1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，
当m≠1时，，，
由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则，，
直线l1的方程y（x+1），①直线l2的方程y（x﹣1），②
联立解得：x＝﹣m，则Q（﹣m，），
由Q在椭圆方程，由对称性可得：±n2，
即m2﹣n2＝1，或m2+n2＝1，
由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（，）．
58．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，
又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．
把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：
，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C的方程为1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x＝m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，
∴1，
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
，x1x2，
则
1，又t≠1，
∴t＝﹣2k﹣1，此时△＝﹣64k，存在k，使得△＞0成立，
∴直线l的方程为y＝kx﹣2k﹣1，
当x＝2时，y＝﹣1，
∴l过定点（2，﹣1）．
59．【2017年新课标2理科20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），
设P（x，y），由点P满足．
可得（x﹣x0，y）（0，y0），
可得x﹣x0＝0，yy0，
即有x0＝x，y0，
代入椭圆方程y2＝1，可得1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；
（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），
•1，可得（cosα，sinα）•（﹣3cosα，msinα）＝1，
即为﹣3cosα﹣2cos2αmsinα﹣2sin2α＝1，
当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π，
解得m，
即有Q（﹣3，），
椭圆y2＝1的左焦点F（﹣1，0），
由•（﹣1cosα，sinα）•（﹣3，）
＝3+3cosα﹣3（1cosα）＝0．
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•1，
可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝﹣3m﹣m2+nt﹣n2＝1，
又P在圆x2+y2＝2上，可得m2+n2＝2，
即有nt＝3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0），
•（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）＝3+3m﹣nt
＝3+3m﹣3﹣3m＝0，
则⊥，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
60．【2017年新课标3理科20】已知抛物线C：y2＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），
则（2，2），（2，﹣2），则•0，
∴⊥，
则坐标原点O在圆M上；
当直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2＝0，
则x1x2＝4，4x1x2＝y12y22＝（y1y2）2，由y1y2＜0，
则y1y2＝﹣4，
由•x1x2+y1y2＝0，
则⊥，则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x＝my+2，
，整理得：y2﹣2my﹣4＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2＝﹣4，
则（y1y2）2＝4x1x2，则x1x2＝4，则•x1x2+y1y2＝0，
则⊥，则坐标原点O在圆M上，
∴坐标原点O在圆M上；
（2）由（1）可知：x1x2＝4，x1+x2，y1+y2，y1y2＝﹣4，
圆M过点P（4，﹣2），则（4﹣x1，﹣2﹣y1），（4﹣x2，﹣2﹣y2），
由•0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）＝0，
整理得：k2+k﹣2＝0，解得：k＝﹣2，k＝1，
当k＝﹣2时，直线l的方程为y＝﹣2x+4，
则x1+x2，y1+y2＝﹣1，
则M（，），半径为r＝丨MP丨，
∴圆M的方程（x）2+（y）2．
当直线斜率k＝1时，直线l的方程为y＝x﹣2，
同理求得M（3，1），则半径为r＝丨MP丨，
∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10，
综上可知：直线l的方程为y＝﹣2x+4，圆M的方程（x）2+（y）2，
或直线l的方程为y＝x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10．
61．【2017年浙江21】如图，已知抛物线x2＝y，点A（，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（x），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），x，
所以kAPx∈（﹣1，1），
故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；
（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），x，
所以（x，x2），
设直线AP的斜率为k，则kx，即x＝k，
则AP：y＝kxk，BQ：yx，
联立直线AP、BQ方程可知Q（，），
故（，），
又因为（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），
故﹣|PA|•|PQ|•（1+k）3（k﹣1），
所以|PA|•|PQ|＝（1+k）3（1﹣k），
令f（x）＝（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，
则f′（x）＝（1+x）2（2﹣4x）＝﹣2（1+x）2（2x﹣1），
由于当﹣1＜x时f′（x）＞0，当x＜1时f′（x）＜0，
故f（x）max＝f（），即|PA|•|PQ|的最大值为．
62．【2017年上海20】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|，求P的坐标；
（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|＝|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．
【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），
∵椭圆Γ：1，A为Γ的上顶点，
P为Γ上异于上、下顶点的动点，
P在第一象限，且|OP|，
∴联立，
解得P（，）．
（2）设M（x0，0），A（0，1），
P（），
若∠P＝90°，则•，即（x0，）•（，）＝0，
∴（）x00，解得x0．
如图，若∠M＝90°，则•0，即（﹣x0，1）•（x0，）＝0，
∴0，解得x0＝1或x0，
若∠A＝90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．
∴点M的横坐标为，或1，或．
（3）设C（2cosα，sinα），
∵，A（0，1），
∴Q（4cosα，2sinα﹣1），
又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），
∵|MA|＝|MP|，∴x02+1＝（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，
整理得：x0cosβ，
∵（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），（cosβ，﹣sinβ），，
∴4cosα﹣2cosβ＝﹣5cosβ，
且2sinα﹣sinβ﹣1＝﹣4sinβ，
∴cosβcosα，且sinα（1﹣2sinα），
以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2＝0，∴sinα，或sinα＝﹣1（舍去），
此时，直线AC的斜率kAC （负值已舍去），如图．
∴直线AQ为yx+1．
63．【2017年北京理科18】已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
【解答】解：（1）∵y2＝2px过点P（1，1），
∴1＝2p，
解得p，
∴y2＝x，
∴焦点坐标为（，0），准线为x，
（2）证明：设过点（0，）的直线方程为
y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴直线OP为y＝x，直线ON为：yx，
由题意知A（x1，x1），B（x1，），
由，可得k2x2+（k﹣1）x0，
∴x1+x2，x1x2
∴y1kx12kx12kx12kx1+（1﹣k）•2x1＝2x1，
∴A为线段BM的中点．
64．【2017年天津理科19】设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．
【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．
依题意可得，
解得a＝1，c，p＝2，于是b2＝a2﹣c2．
所以，椭圆的方程为x21，抛物线的方程为y2＝4x．
（Ⅱ）解：直线l的方程为x＝﹣1，设直线AP的方程为x＝my+1（m≠0），
联立方程组，解得点P（﹣1，），故Q（﹣1，）．
联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my＝0，解得y＝0，或y．
∴B（，）．
∴直线BQ的方程为（）（x+1）﹣（）（y）＝0，
令y＝0，解得x，故D（，0）．
∴|AD|＝1．
又∵△APD的面积为，∴，
整理得3m2﹣2|m|+2＝0，解得|m|，∴m＝±．
∴直线AP的方程为3xy﹣3＝0，或3xy﹣3＝0．
1、椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.
2、主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择、填空题为主，难度为中低档．一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.
3、抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.
1．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】
,当焦点位于横轴时，，而，所以
当焦点位于纵轴时，故本题选D.
2．己知椭圆直线过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意知，椭圆左焦点为，长轴长为，焦距为
设直线方程为：，即
则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为，半径为
圆心到直线的距离
，整理得：
椭圆的离心率为
本题正确选项：
3．表示的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
可看作动点到点的距离
可看作动点到点的距离
则表示动点到和的距离之差为
符合双曲线的定义，且双曲线焦点在轴上
又动点到的距离大于到的距离，所以动点轨迹为双曲线的下半支
则：，
曲线方程为：
本题正确选项：
4．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日
搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如下图，F为月球的球心，月球半径为：×3476＝1738，
依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，
｜BF｜＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138，
a＝1988，
a＋c＝2138，
c＝2138－1988＝150，
椭圆的离心率为：，
选B.
5．若直线与圆相交于，两点，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
圆C: ,∵ ∴圆心C到直线的距离为1，则 ，解m=
故选：A
6．已知抛物线，过焦点的直线与此抛物线交于，两点，点在第一象限，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，
因为直线的斜率为，所以，所以，
所以，
所以的面积为，故选A．
7．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】C
【解析】
F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．
由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，
∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．
故选：C．
8．已知是关于的方程的两个不等实根，则经过两点
的直线与椭圆公共点的个数是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】
因为是关于的方程的两个不等实根
所以，
且，
直线的斜率
直线的方程为
即
整理得
故直线恒过点，而该点在椭圆内部，
所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。
故选A.
9．圆与直线相交于，两点，则弦_______．
【答案】
【解析】
由题得圆心到直线的距离为，
所以|AB|=.
故答案为：
10．已知点在以为焦点的椭圆上，点为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：①；②，则该椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
依据题意作出图形如下：
因为为的中点，所以
又，所以与原点重合.
设，则，
由椭圆定义可得：
所以，
在及中，由余弦定理可得：
整理得：
所以
11．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，半焦距为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为________.
【答案】
【解析】
设双曲线C的渐近线方程为，点到渐近线的距离为
则
化简为
即 解得
故的离心率为
12．已知，抛物线的焦点为与抛物线在第一象限的交点为，且，则________．
【答案】1
【解析】
由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
联立方程组，可得，
根据抛物线的定义可得，解得．
13．在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于点，若，则_________ ．
【答案】2
【解析】
因为r1＝|1﹣a1|，则y12＝1﹣2a1，
同理可得y22＝1﹣2a2，
又因为，
则（1﹣2a1）（1﹣2a2）＝1，
即2a1a2＝a1+a2，
则2，
故答案为：2.
14．圆与曲线相交于四点，为坐标原点，则__________．
【答案】.
【解析】
∵圆的圆心为M（-3，2），
∴圆关于M（-3，2）中心对称，
又曲线，关于（-3，2）中心对称，
∴圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，
不妨设关于（-3，2）中心对称，则,
∴，
故答案为.
15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．
【答案】
【解析】
由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，
当直线斜率存在时，设的方程为，
由得：，整理得，
所以，
所以；
当直线斜率不存在时，易得；
综上，当直线轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；
因此，所求方程为.
故答案为
16．过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于另一个点，若，则的离心率为______．
【答案】
【解析】
由题意可得，由可得，
点A在椭圆上，则：，
整理可得：.
17．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
(1)由椭圆经过点，且的面积为，得
，且,即.
又，解得，.
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，.设，.
若直线的斜率不存在，可得点的坐标为，
则.
当直线的斜率存在时，设，代入椭圆方程得.
则恒成立.
所以，.
所以
.
又，则.
综上可知，的取值范围为.
18．设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，，求实数的取值范围．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)抛物线的焦点坐标为，故，
结合可得：，故椭圆方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，设，
假设存在满足题意的直线方程：，
与椭圆方程联立可得：，
则，
则：
，
结合题意和韦达定理有：，
解得：，即存在满足题意的直线方程：.
(Ⅲ)设，设直线AB的方程为，
由于：，
两式作差整理变形可得：，
即：. ①
又 ②
③
①×②可得： ④
④代入③可得： ⑤
④⑤代入①整理可得：，
，据此可得：，
从而.
19．已知椭圆C:的焦距为，且C过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设、分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于、的任意一点，过点P作轴于M，N为线段PM的中点，直线与直线交于点D，E为线段的中点，O为坐标原点，则是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
(1)由题意各焦距为，∴，又∵椭圆过点，
∴代入椭圆方程得，∵，解得，，
故所求椭圆C的方程是；
(2)证明：设，，则，，
∵点P在椭圆C上，，即，
又，∴直线的方程为，
令，得，∴，
又，E为线段的中点，∴，
∴，，
因
.
∴，即.
20．已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）因为点到的准线的距离为2，所以，，
由解得
所以的方程为
（2）解法一.由（1）知抛物线的方程为.
要使直线与抛物线交于两点，则直线的斜率不为0，可设的方程为，
由得
所以，得.
设 则
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过椭圆的右顶点，
不妨设 ，，且，
所以，
当且仅当时，.
21．已知是椭圆的左、右顶点，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点（点在第一象限），线段与圆相切于点，且点为线段的中点.
（1）求线段的长；
（2）求椭圆的离心率；
（3）设直线交椭圆于两点（其中点在第一象限），过点作的平行线交椭圆于点，交于点，求.
【答案】（1）2b; （2）; （3）.
【解析】
（1）连接OQ，，如图，OQ为△的中位线，由题意知OQ=b，则=2b.
（2）由椭圆的定义结合（1）可得，，
则，得，解得，
则，故椭圆的离心率为.
（3）由（2）可知,设直线OQ的方程为x＝2y，椭圆方程设为，(t>0),
由得25y2＝，得到，，
又点作的平行线的方程设为x＝2y-3t，
由得4（2y-3t）2＝，即25-48ty=0，
解得y=0或y=，即D（），又B（3t，0）
∴直线BD的方程为y=，与联立，解得，
由三角形的面积公式得==.
22．已知抛物线的焦点为，是上一点，且．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点两点作抛物线的切线，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）解：根据题意知，①
因为，所以②
联立①②解得．
所以抛物线的方程为．
（2）四边形存在外接圆．
设直线方程为，代入中，得，
设点，则，
且
所以，
因为，即，所以．
因此，切线的斜率为，切线的斜率为，
由于，所以，即是直角三角形，
所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，
所以点一定在的外接圆上，即四边形存在外接圆．
又因为，所以当时，线段最短，最短长度为4，
此时圆的面积最小，最小面积为．
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