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- 2021-06-11 发布
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高一年级第三次月考数学试卷
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
集合交集是两个集合的公共元素,由此求得两个集合的交集.
【详解】两个集合的交集为集合的公共元素,故.所以选D.
【点睛】本小题主要考查两个集合的交集.交集是两个集合的公共元素组成.属于基础题.
2.已知且与互相垂直,则实数的值等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:与互相垂直
考点:1.向量垂直的判定;2.向量的坐标运算
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根式和对数的要求,得到关于的不等式,解出的范围,从而得到答案.
【详解】函数
所以
解得,所以,
所以的定义域为,
故选:C.
【点睛】本题考查求具体函数的定义域,属于简单题.
4.方程的解为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
令,
∵,.
∴函数在区间上有零点.
∴.选C.
5.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将等式平方,得到,根据的范围从而得到的值,解得,的值,再得到的值,得到答案.
【详解】因为,所以,
即,
又因为,所以,
所以,即
所以,
所以得到,,
所以,
故选:C.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的关系进行化简求值,属于简单题.
6.为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
函数,根据平移规则,得到答案.
【详解】因为函数,
所以为得到得到函数的图象,需向右平移个单位
从而得到
故选:B.
【点睛】本题考查描述正弦型函数图像的平移过程,属于简单题.
7.若满足 ,且则=( )
A. -11 B. -12 C. -13 D. -14
【答案】C
【解析】
【分析】
所求的,再根据,得到将所求的式子转化为,从而得到答案.
【详解】因为,
所以,,,
因为
.
故选:C.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算,平面向量的数量积,属于简单题.
8.函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
函数的定义域为.
当时,;当时,.
∴,其图象如选项B所示.选B.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.
9.下列函数中,既是偶函数又是上的减函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据题目要求,对四个选项的奇偶性和单调性进行判断,得到符合要求的选项,从而得到答案.
【详解】选项A中,是奇函数,不符合题目要求;
选项B中,是非奇非偶函数,不符合题目要求;
选项C中,是偶函数,在上是单调递减函数,符合题目要求;
选项D中,是偶函数,在上,函数解析式为,是单调递减函数,符合题目要求.
故选:CD.
【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性,属于简单题.
10.在平面上的点,,,,下面结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据给出的点坐标,分别写出四个选项中对应的向量的坐标,由向量的坐标运算进行判断,从而得到答案.
【详解】点,,,
选项A中,,,,所以,故错误;
选项B中,,,,所以成立,故正确;
选项C中,,,,所以成立,故正确;
选项D中,,,,所以,故错误.
故选:BC.
【点睛】本题考查平面向量线性运算的坐标运算,属于简单题.
11.已知单位向量、,则下面正确的式子是( )
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据单位向量的概念和性质,对四个选项进行判断,从而得到答案.
【详解】因为向量、为两个单位向量,
所以,当与的夹角不为时,不能得到,,故选项A、C错误;
因为向量、为两个单位向量,所以,所以,都成立,故选项B、D正确.
故选:BD
【点睛】本题考查单位向量的概念和性质,向量的数量积运算,属于简单题.
12.对于函数,选取的一组值去计算和
,所得出的正确结果可能是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据,由,得到的值应为偶数,从而对四个选项进行判断,得到答案.
【详解】函数
所以,
所以得到,
因为,所以为偶数,
故四个选项中符合要求的为ABD.
故选:ABD.
【点睛】本题考查奇函数的性质,根据函数的解析式求函数的值,属于简单题.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.
13.若幂函数的图象过点,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
设,将点代入函数的解析式,求出实数的值,即可求出的值.
【详解】设,则,得,,因此,.
故答案为.
【点睛】本题考查幂函数值的计算,解题的关键就是求出幂函数的解析式,考查运算求解能力,属于基础题.
14.已知满足且,则_________
【答案】
【解析】
【分析】
将条件中平方,得到的值,再将所求的目标平方,得到答案.
【详解】因
所以
因为
所以,即
所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量的模长计算,向量的数量积运算,属于简单题.
15.已知函数为偶函数,其中.若此函数的最小正周期为,那么____________.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性与周期性得到,,从而得到正切值.
【详解】∵函数为偶函数,
∴,即,
又
∴,
若此函数最小正周期为,
则,,
∴
故答案为:
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,考查函数的奇偶性、周期性、诱导公式,属于基础题.
16.若,则__________._________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
将所求的式子进行转化,得到,,利用诱导公式进行化简,得到答案.
【详解】因为,
所以
故答案为:;.
【点睛】本题考查由三角函数的诱导公式化简求值,同角三角函数关系,属于简单题.
四、解答题:17题10分,18,19,20,21,21,22每题12分,共计70分.
17.已知向量,
(1)求;
(2)若,求实数的值.
【答案】(1)10;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据向量的坐标运算,得到,然后利用向量数量积的坐标运算,得到的值;(2)根据向量的坐标运算,得到,再根据向量平行得到关于的方程,求出的值.
【详解】(1)因,,
所以
所以.
(2)
因为
所以
解得
【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示,向量数量积的坐标表示,根据向量的平行求参数的值,属于简单题.
18.已知函数
(1)化简函数的解析式;
(2)若,求的值.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用诱导公式及商数关系化简表达式即可;
(2)由(1)可知:,巧用“1”转化为齐次式,弦化切,代入求值即可.
【详解】(1).
(2)由题意,那么
【点睛】本题考查三角函数的化简与求值,考查三角恒等变换知识,考查计算能力,属于简单题目.
19.某学校为迎接国庆70周年,需制一扇形框架结构,如图所示.已知扇形框架结构的圆心角 弧度,半径米,两半径部分的装饰费用为元/米,弧线部分的装饰费用为元/米,装饰总费用为元,记花坛的面积为.
(1)将用表示,并求出的取值范围;
(2)当为多少时,最大并求出最大值
【答案】(1) ,(2) 当时,取最大值,为.
【解析】
【分析】
(1)由弧等于,结合装饰总费用为元,可得与的关系,再根据求得的取值范围;
(2)利用扇形的面积公式求得是关于的二次函数,再根据二次函数的性质求得最小值.
【详解】(1)由题知,,所以,
因为,所以,解得.
(2)因为,
所以,当时,取最大值,.
【点睛】本题考查扇形的弧长与半径的关系、扇形的面积公式计算、二次函数的最小值,考查转化与化归思想、数形结合思想的运用,考查基本运算求解能力.
20.已知函数,是奇函数.
(1)求的值;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1),;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据奇函数定义域关于原点对称,得到的值,根据奇函数,得到的值;(2)根据为奇函数,将所求的不等式转化为,判断出单调性,得到关于的不等式组,解出的取值范围.
【详解】(1)因为函数,是奇函数
所以,解得,
所以定义域为
由,得,解得.
(2)因为为奇函数,
所以得到
,
,
因为单调递增,所以单调递减,
所以由
得,解得
所以得到的取值范围为
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数的值,判断具体函数的单调性,根据函数的单调性和奇偶性解不等式,属于中档题.
21.在函数的图象与轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.
(1)求的解析式;
(2)当时,求的值域;
(3)求在上单调减区间.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)根据相邻两个交点之间的距离为,得到周期,从而得到的值,根据最低点,结合的范围,得到的值,从而求出的解析式;(2)根据,得到的范围,从而得到的值域;(3)根据得到的范围,然后得到单调递减时的范围,从而解得在上的单调减区间.
【详解】(1)因为相邻两个交点之间的距离为,
所以得到,即,
所以,得到,
因为图象上一个最低点为,所以,
所以
代入,得到
从而得到,,即,
因为,所以,,
所以,
(2)因为,所以,
当,即时,,
当,即时,
所以当时,的值域为.
(3)因为,所以,
当时,单调递减,
即,解得,
所以单调递减区间为.
【点睛】本题考查根据函数性质确定正弦型函数的解析式,求正弦型函数的值域,单调区间,属于简单题.
22.已知函数,在区间上有最大值,有最小值,设.
(1)求的值;
(2)不等式在时恒成立,求实数的取值范围;
(3)若方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
【答案】(1),;(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)根据在上的单调性,结合最大值和最小值,得到关于的方程组,解得的值;(2)先得到的解析式,根据,令,得到恒成立,从而得到的取值范围;(3)设
,然后方程可化为,根据的图像,得到方程的根的取值要求,由根的分布得到关于的不等式组,解得的取值范围.
【详解】(1)
开口向上,对称轴为,
所以在上单调递增,
因为在区间上有最大值8,有最小值2,
所以有,即
解得,
(2),所以,
因为,令
由不等式在时恒成立,
得在时恒成立,
则,即
因为,则,所以
所以得.
(3)设,则方程
可转化为,即
整理得
根据的图像可知,方程要有三个不同的实数解,
则方程的要有两个不同的实数根
一根在之间,一根等于,或者一根在之间,一根在,
设
①一根在之间,一根等于时,
,即,
解得,所以无解集
②一根在之间,一根在时,
,即,
解得,所以.
综上所述,满足要求的的取值范围为.
【点睛】本题考查根据二次函数的最值求参数的值,换元法解决不等式恒成立问题,根据函数的零点个数求参数的范围,一元二次方程根的分布,属于难题.