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- 2021-06-11 发布
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吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年
高一下学期期末考试试
一、单选题
1.点关于直线的对称点为( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集是,则的值是( )
A.11 B. C. D.1
3.已知m,n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列命题中正确的有
,,, ,
,, ,
A.0个 B.1个 C.2个 D.3
4.已知变量x,y满足约束条,则的最大值为
A.2 B.6 C.8 D.11
5.正项等比数列中,,,则的值是
A.4 B.8 C.16 D.64
6.已知直线,与平行,则的值是( )
A.0或1 B.1或 C.0或 D.
7.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且若,则的形状是()
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.在坐标平面内,与点距离为1,且与点距离为2的直线共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
9.点A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标是( )
A.(-3,4,-10) B.(-3,2,-4) C. D.(6,-5,11)
10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是棱AB的中点,F是侧面AA1D1D内一点,若EF∥平面BB1D1D,则EF长度的范围为( )
A. B. C. D.
11.下列命题中,不正确的是( )
A.在中,若,则
B.在锐角中,不等式恒成立
C.在中,若,则必是等边三角形
D.在中,若,则必是等腰三角形
12.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示,则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是____.
14.已知数列满足,,则数列的前n项和 ______ .
15.已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为_______________.
16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径,两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点,,测得,,
,,则,两点的距离为________.
三、解答题
17.在数列中,,.
(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列的前项和.
18.在中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足,
1求C的大小;2若的面积为,求b的值.
19.已知,.
若,解不等式;
若不等式对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
若,解不等式.
20.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中点.
(1)求证:AE⊥B1C;
(2)求异面直线AE与A1C所成的角的大小;
(3)若G为C1C中点,求二面角C-AG-E的正切值.
21.已知与曲线相切的直线,与轴,轴交于两点,为原点, ,,( ).
(1)求证:与相切的条件是:.
(2)求线段中点的轨迹方程;
(3)求三角形面积的最小值.
22.已知数列{an}满足a1=1,,其中n∈N*.
(1)设,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得对于n∈N*,恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明.
参考答案
1.B
【解析】设点关于直线的对称点为,则①,又线段的中点在直线上,即整理得:②,联立①②解得.∴点关于直线的对称点点的坐标为,故选B.
2.C
【解析】不等式的解集是,,
∴方程的解集为2和3,
∴,解得 ; .
故选C.
3.B
【解析】由m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,若a,b相交,则可得α∥β,
若a∥b,则α与β可能平行也可能相交,故(1)错误;
若m∥n,n⊥α根据线面垂直的第二判定定理可得m⊥α,故(2)正确;
若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m,n异面,故(3)错误;
若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故(4)错误;
故选:B.
4.D
【解析】作出变量x,y满足约束条件的可行域如图,
由z=3x+y知,y=﹣3x+z,
所以动直线y=﹣3x+z的纵截距z取得最大值时,目标函数取得最大值.
由 得A(3,2),
结合可行域可知当动直线经过点A(3,2)时,
目标函数取得最大值z=3×3+2=11.
故选:D.
5.C
【解析】设正项等比数列{an}的公比为q,∵a3=2,a4•a6=64,
∴ 解得q2=4,
则=42=16.
故选:C.
6.C
【解析】由题意得:或,故选C.
7.C
【解析】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,
且b2+c2=a2+bc.
则:,
由于:0<A<π,故:A.
由于:sinBsinC=sin2A,
利用正弦定理得:bc=a2,
所以:b2+c2﹣2bc=0,故:b=c,
所以:△ABC为等边三角形.
故选C.
8.B
【解析】根据题意可知,所求直线斜率存在,
可设直线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,
所以,,
解之得k=0或,
所以所求直线方程为y=3或4x+3y-5=0,
所以符合题意的直线有两条,选B.
9.A
【解析】A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标是
,选A.
10.C
【解析】过作,交于点,交于,则底面
平面,平面,
平面平面,又平面 平面
又平面平面,平面
为中点 为中点,则为中点
即在线段上
,
,
则线段长度的取值范围为:
本题正确选项:C.
11.D
【解析】对A,因为,所以,又,所以,
即,所以A正确;
对B,因为为锐角三角形,所以,即有,
所以,B正确;
对C,因为,所以,即,而,
所以是等边三角形,C正确;
对D,由可得,,即,
所以或,亦即或,
所以是等腰三角形或者直角三角形,D不正确.
故选:D
12.A
【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3,4,5的三角形,高为5的三棱柱被平面截得的,如图所示:
截去的三棱锥是长方体的一个角,AB⊥AD,AD⊥AC,AC⊥AB,
所以将三棱锥补成长方体,其外接球相同,外接球的直径为长方体的体对角线,半径为:,外接球的表面积为:
故选A.
13.(-4,2)
【解析】因为
当且仅当时取等号,所以
14.
【解析】由a1=1,an+1=3an+1,
可设an+1+t=3(an+t),
即an+1=3an+2t,可得2t=1,即t=,
则an+1+=3(an+),
可得数列{an+}是首项为,公比为3的等比数列,
即有an+=•3n﹣1,即an=•3n﹣1﹣,
可得数列{an}的前n项和Sn=(1+3+32+…+3n﹣1)﹣n=(3n+1﹣2n﹣3).
故答案为:(3n+1﹣2n﹣3).
15.
【解析】因为可变形为,
所以其圆心为,半径为;
所以圆心到直线的距离为.
由题知,当为过圆心且垂直于的直径时,四边形的面积取最大值,
为.
故答案为.
16.
【解析】由已知,△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,
∴∠DAC=15°由正弦定理得,
△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,∴∠DBC=30°,
由正弦定理,,
所以BC;
△ABC中,由余弦定理,
AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB=
解得:AB,
则两目标A,B间的距离为.
故答案为.
17.【解】(1)的两边同除以,得
,又,
所以数列是首项为4,公差为2的等差数列.
(2)由(1)得,即,
故,
所以
18.【解】1由已知及正弦定理可得,,
,
,
2 由1可得,,
,
又,
,
由题意可知,,
,可得:
19.【解】当,不等式即,
即,解得,或,
故不等式的解集为,或.
由题意可得恒成立,
当时,显然不满足条件,.
解得,故a的范围为.
若,不等式为,即.
,
当时,,不等式的解集为;
当时,,不等式即,它的解集为;
当时,,不等式的解集为.
20.【解】证明:(1)因为BB1⊥面ABC,AE⊂面ABC,所以AE⊥BB1
由AB=AC,E为BC的中点得到AE⊥BC
∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C∴AE⊥B1C
解:(2)取B1C1的中点E1,连A1E1,E1C,
则AE∥A1E1,
∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角.
设AC=AB=AA1=2,则由∠BAC=90°,
可得A1E1=AE=,A1C=2,E1C1=EC=BC=
∴E1C==
∵在△E1A1C中,cos∠E1A1C==
所以异面直线AE与A1C所成的角为.
(3)连接AG,设P是AC的中点,过点P作PQ⊥AG于Q,
连EP,EQ,则EP⊥AC
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1
∴EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG.
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.
由EP=1,AP=1,PQ=,得tan∠PQE==
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是
21.【解】(1)圆的圆心为,半径为1.可以看作是的内切圆.
内切圆的半径,
即,
即,
.
(2)线段AB中点为
∴()
(3),
,
解得,,
,最小面积.
22.【解】(1)证明:bn+1-bn
.
又由a1=1,得b1=2,所以数列{bn}是首项为2,公差为2的等差数列,
所以bn=2+(n-1)×2=2n,由,得.
(2)解:,
所以.
依题意,要使对于n∈N*恒成立,只需,解得m≥3或m≤-4.
又m>0,所以m≥3,所以正整数m的最小值为3.