高科数学专题复习课件：8_6　空间向量及其运算 70页

§8.6 　空间向量及其运算 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 空间向量的有关概念 知识梳理 名称 概念 表示 零向量 模 为 的 向量 0 单位向量 长度 ( 模 ) 为 的 向量   相等向量 方向 且模 的 向量 a ＝ b 相反向量 方向 且模 的 向量 a 的相反向量为－ a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线 互相 的 向量 a ∥ b 共面向量 平行于同一 个 的 向量 0 1 相等 相同 相反 相等 平行或重合 平面 2. 空间向量中的有关定理 (1) 共线向量定理 空间两个向量 a 与 b ( b ≠ 0 ) 共线的充要条件是存在实数 λ ，使得 a ＝ λ b . (2) 共面向量定理 共面向量定理的向量表达式： p ＝ ，其中 x ， y ∈ R ， a ， b 为不共线向量 . (3) 空间向量基本定理 如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ， y ， z } ，使得 p ＝ ， { a ， b ， c } 叫做空间的一个基底 . x a ＋ y b x a ＋ y b ＋ z c 3. 空间向量的数量积及运算律 (1) 数量积及相关概念 ① 两向量的夹角 已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点 O ， 作 ＝ a ， ＝ b ，则 ∠ AOB 叫做向量 a ， b 的夹角，记 作 ， 其范围 是 , 若 〈 a ， b 〉 ＝ ， 则称 a 与 b ， 记作 a ⊥ b . ② 两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a ， b ， 则 叫做 向量 a ， b 的数量积，记 作 ， 即 a · b ＝ . 〈 a ， b 〉 0 ≤ 〈 a ， b 〉 ≤ π 互相垂直 | a || b |cos 〈 a ， b 〉 a · b | a || b |cos 〈 a ， b 〉 (2) 空间向量数量积的运算律 ① 结合律： ( λ a )· b ＝ ； ② 交换律： a · b ＝ ； ③ 分配律： a ·( b ＋ c ) ＝ . 4. 空间向量的坐标表示及其应用 设 a ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ). λ ( a · b ) b · a a · b ＋ a · c   向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 共线 a ＝ λ b ( b ≠ 0 ， λ ∈ R ) 垂直 a · b ＝ 0( a ≠ 0 ， b ≠ 0 ) 模 | a | 夹角 〈 a ， b 〉 ( a ≠ 0 ， b ≠ 0 ) cos 〈 a ， b 〉 ＝ a 1 ＝ λb 1 ， a 2 ＝ λb 2 ， a 3 ＝ λb 3 a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 ＝ 0 1. 向量三点共线定理：在平面中 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件是 ： ＝ x ＋ y ( 其中 x ＋ y ＝ 1) ， O 为平面内任意一点 . 2. 向量四点共面定理：在空间中 P 、 A 、 B 、 C 四点共面的充要条件是 ： ＝ x ＋ y ＋ z ( 其中 x ＋ y ＋ z ＝ 1) ， O 为空间中任意一点 . 知识 拓展 几何画板展示 几何画板展示 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 空间中任意两非零向量 a ， b 共面 .( 　　 ) (2) 在向量的数量积运算中 ( a · b )· c ＝ a ·( b · c ).( 　　 ) (3) 对于非零向量 b ，由 a · b ＝ b · c ，则 a ＝ c .( 　　 ) (4) 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 .( 　　 ) 思考辨析 √ √ × × × 1. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 a ，点 E ， F 分别是 BC ， AD 的中点， 则 的 值 为 考点自测 答案 解析 则 | a | ＝ | b | ＝ | c | ＝ a ，且 a ， b ， c 三向量两两夹角为 60°. 2.(2016· 大连模拟 ) 向量 a ＝ ( － 2 ，－ 3,1) ， b ＝ (2,0,4) ， c ＝ ( － 4 ，－ 6,2) ，下列结论正确的 是 A. a ∥ b ， a ∥ c B. a ∥ b ， a ⊥ c C. a ∥ c ， a ⊥ b D . 以上都不对 答案 解析 因为 c ＝ ( － 4 ，－ 6,2) ＝ 2( － 2 ，－ 3,1) ＝ 2 a ， 所以 a ∥ c . 又 a · b ＝ ( － 2) × 2 ＋ ( － 3) × 0 ＋ 1 × 4 ＝ 0 ， 所以 a ⊥ b . 故选 C. 3. 与向量 ( － 3 ，－ 4,5) 共线的单位向量 是 ______________________________________. 答案 解析 因为与向量 a 共线的单位向量是 ± ， 又因为向量 ( － 3 ，－ 4,5) 的模 为 ， 所以与向量 ( － 3 ，－ 4,5) 共线的单位向量 是 ± ( － 3 ，－ 4 ， 5) ＝ ± ( － 3 ，－ 4,5). 答案 解析 5.( 教材改编 ) 正四面体 ABCD 的棱长为 2 ， E ， F 分别为 BC ， AD 中点，则 EF 的长为 ________. 答案 解析 ＝ 1 2 ＋ 2 2 ＋ 1 2 ＋ 2(1 × 2 × cos 120° ＋ 0 ＋ 2 × 1 × cos 120°) ＝ 2 ， 题型分类　深度剖析 题型一　空间向量的线性运算 例 1 　 (1) 如图所示，在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 为 AC 的中点 . 答案 解析 解答 思维 升华 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键 . 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义 . 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 . 在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 . 跟踪训练 1 ( 2016· 青岛模拟 ) 如图所示，在空间几何体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，各面为平行四边形， 设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， M ， N ， P 分别是 AA 1 ， BC ， C 1 D 1 的中点，试用 a ， b ， c 表示以下各向量： 解答 因为 P 是 C 1 D 1 的中点， 解答 因为 M 是 AA 1 的中点， 题型二　共线定理、共面定理的应用 例 2 　 (2016· 天津模拟 ) 如图， 已知 E ， F ， G ， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 . (1) 求证： E ， F ， G ， H 四点共面 ； 证明 连接 BG ， 由共面向量定理的推论知 E ， F ， G ， H 四点共面 . (2) 求证： BD ∥ 平面 EFGH ； 证明 所以 EH ∥ BD . 又 EH ⊂ 平面 EFGH ， BD ⊄ 平面 EFGH ， 所以 BD ∥ 平面 EFGH . 证明 找一点 O ，并连接 OM ， OA ， OB ， OC ， OD ， OE ， OG . 所以四边形 EFGH 是平行四边形， 所以 EG ， FH 交于一点 M 且被 M 平分 . 思维 升华 (1) 证明空间三点 P ， A ， B 共线的方法 (2) 证明空间四点 P ， M ， A ， B 共面的方法 跟踪训练 2 已知 A ， B ， C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O ，若点 M 满足 . (1) 判断 三个向量是否共面； 解答 (2) 判断点 M 是否在平面 ABC 内 . 证明 ∴ M ， A ， B ， C 四点共面 . 从而点 M 在平面 ABC 内 . 题型三　空间向量数量积的应用 例 3 　 ( 2017· 济南 月考 ) 如图， 已知 平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， AA 1 ＝ 2 ， ∠ A 1 AB ＝ ∠ A 1 AD ＝ 120°. (1) 求线段 AC 1 的长； 解 答 则 | a | ＝ | b | ＝ 1 ， | c | ＝ 2 ， a · b ＝ 0 ， c · a ＝ c · b ＝ 2 × 1 × cos 120° ＝－ 1. (2) 求异面直线 AC 1 与 A 1 D 所成角的余弦值； 解 答 设异面直线 AC 1 与 A 1 D 所成的角为 θ ， (3) 求证： AA 1 ⊥ BD . 证明 思维 升华 (1) 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置； (2) 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角； (3) 可以通过 | a | ＝ ， 将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解 . 跟踪训练 3 如 图，在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1 ，且两两夹角为 60°. (1) 求 的 长； 解答 则 | a | ＝ | b | ＝ | c | ＝ 1 ，〈 a ， b 〉＝〈 b ， c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 60° ， 解答 ＝ b 2 － a 2 ＋ a · c ＋ b · c ＝ 1 ， 典例 　 (12 分 ) 如图，已知直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 ，在底面 △ ABC 中， CA ＝ CB ＝ 1 ， ∠ BCA ＝ 90° ，棱 AA 1 ＝ 2 ， M ， N 分别是 A 1 B 1 ， A 1 A 的中点 . 坐标法 在立体几何中的应用 思想与方法系列 18 规范解答 思想方法指 导 利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解 . 返回 (1) 解 　如图，建立空间直角坐标系 . 依题意得 B (0,1,0) ， N (1,0,1) ， (2) 解 　依题意得 A 1 (1,0,2) ， B (0,1,0) ， C (0,0,0) ， B 1 (0 ， 1,2). (3) 证明 　依题意得 C 1 (0,0,2) ， 返回 课时作业 1. 在下列命题中： ① 若向量 a ， b 共线，则向量 a ， b 所在的直线平行； ② 若向量 a ， b 所在的直线为异面直线，则向量 a ， b 一定不共面； ③ 若三个向量 a ， b ， c 两两共面，则向量 a ， b ， c 共面； ④ 已知空间的三个向量 a ， b ， c ，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x ， y ， z 使得 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c . 其中正确命题的个数 是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 a 与 b 共线， a ， b 所在的直线也可能重合，故 ① 不正确 ； 根据 自由向量的意义知，空间任意两向量 a ， b 都共面，故 ② 不正确 ； 三 个向量 a ， b ， c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故 ③ 不正确 ； 只有 当 a ， b ， c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c ，故 ④ 不正确，综上可知四个命题中正确的个数为 0 ，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.( 2017· 郑州 调研 ) 已知 a ＝ (2,1 ，－ 3) ， b ＝ ( － 1,2,3) ， c ＝ (7,6 ， λ ) ，若 a ， b ， c 三向量共面，则 λ 等于 A.9 B. － 9 C . － 3 D.3 √ 答案 解析 由题意知 c ＝ x a ＋ y b ， 即 (7,6 ， λ ) ＝ x (2,1 ，－ 3) ＋ y ( － 1,2,3) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 已知 a ＝ ( － 2,1,3) ， b ＝ ( － 1,2,1) ，若 a ⊥ ( a － λ b ) ，则实数 λ 的值 为 √ 答案 解析 由题意知 a ·( a － λ b ) ＝ 0 ，即 a 2 － λ a · b ＝ 0 ， 所以 14 － 7 λ ＝ 0 ，解得 λ ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图，在大小为 45° 的二面角 A － EF － D 中，四边形 ABFE ， CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B ， D 两点间的距离 是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 已知 a ， b 是异面直线， A ， B ∈ a ， C ， D ∈ b ， AC ⊥ b ， BD ⊥ b 且 AB ＝ 2 ， CD ＝ 1 ，则异面直线 a ， b 所成的角 等于 A.30° B.45° C.60 ° D.90 ° √ 答案 解析 所以异面直线 a ， b 所成的角等于 60° ， 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ，则 A ( a ， 0,0) ， C 1 (0 ， a ， a ) ， N ( a ， a ， ). 设 M ( x ， y ， z ) ， ∴ ( x － a ， y ， z ) ＝ ( － x ， a － y ， a － z ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 所以 ∠ CBD 为锐角 . 同理 ∠ BCD ， ∠ BDC 均为锐角 . 锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 设 O － ABC 是四面体， G 1 是 △ ABC 的重心， G 是 OG 1 上的一点，且 OG ＝ 3 GG 1 ， 若 ， 则 x ， y ， z 的值分别为 _________. 答案 解析 如图所示，取 BC 的中点 E ，连接 AE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(2016· 合肥模拟 ) 已知 a ＝ ( x, 4,1) ， b ＝ ( － 2 ， y ，－ 1) ， c ＝ (3 ，－ 2 ， z ) ， a ∥ b ， b ⊥ c ，则 c ＝ ___ _ ______. 答案 解析 (3 ，－ 2,2) 解得 x ＝ 2 ， y ＝－ 4 ， 此时 a ＝ (2,4,1) ， b ＝ ( － 2 ，－ 4 ，－ 1) ， 又因为 b ⊥ c ，所以 b · c ＝ 0 ， 即－ 6 ＋ 8 － z ＝ 0 ，解得 z ＝ 2 ，于是 c ＝ (3 ，－ 2,2). 其中正确的序号是 ________. 10.(2016· 天津模拟 ) 已知 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 为正方体， 答案 解析 ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *11. 如图，在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 M ， P ， Q 分别为棱 AB ， CD ， BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ① A 1 M ∥ D 1 P ； ② A 1 M ∥ B 1 Q ； ③ A 1 M ∥ 平面 DCC 1 D 1 ； ④ A 1 M ∥ 平面 D 1 PQB 1 . 以上正确说法的个数为 ________. 答案 解析 3 ∴ A 1 M ∥ D 1 P ，由线面平行的判定定理可知， A 1 M ∥ 平面 DCC 1 D 1 ， A 1 M ∥ 平面 D 1 PQB 1 . ①③④ 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1 ，点 E ， F ， G 分别是 AB ， AD ， CD 的中点，计算： 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则 | a | ＝ | b | ＝ | c | ＝ 1 ，〈 a ， b 〉＝〈 b ， c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 60° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 (3) EG 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 (4) 异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 . *13.(2016· 沈阳模拟 ) 如图，在 直 三棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′ 中， AC ＝ BC ＝ AA ′ ， ∠ ACB ＝ 90° ， D 、 E 分别为 AB 、 BB ′ 的中点 . (1) 求证： CE ⊥ A ′ D ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据题意得， | a | ＝ | b | ＝ | c | ， 且 a·b ＝ b·c ＝ c·a ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 求异面直线 CE 与 AC ′ 所成角的余弦值 . 解答 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明 (2) 求证： MN ∥ 平面 ABB 1 A 1 . ∵ AB 1 ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ， MN ⊄ 平面 ABB 1 A 1 ， ∴ MN ∥ 平面 ABB 1 A 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14