高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.3.1 函数的单调性与导数 12页

1．3.1 函数的单调性与导数 明目标、知重点 1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 1．一般地，在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 2.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 函数的单调性 导数 单调递增 f′(x) ≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0 情境导学] 以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设 x10； (2)从最高点到入水，h 随 t 的增加而减小，即 h(t)是减函数，h′(t)<0. 思考 2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？ 答 (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y 是增函数； (2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y 是减函数； 在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y 是增函数； (3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y 是增函数； (4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1 x2<0，y 是减函数． 小结 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0， 那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减． 思考 3 若函数 f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么 f′(x)一定大于零吗？ 答 不一定．由思考 2 中(3)知 f′(x)≥0 恒成立． 思考 4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试 写出思考 2 中(4)的单调区间． (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 答 (1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考 2 中(4)的单调递减区间为(－ ∞，0)，(0，＋∞)． (2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集． 例 1 已知导函数 f′(x)的下列信息： 当 10； 当 x>4，或 x<1 时，f′(x)<0； 当 x＝4，或 x＝1 时，f′(x)＝0. 试画出函数 f(x)图象的大致形状． 解 当 10，可知 f(x)在此区间内单调递增； 当 x>4，或 x<1 时，f′(x)<0，可知 f(x)在这两个区间内单调递减； 当 x＝4，或 x＝1 时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数 f(x)图象的大致形状如图所示． 反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间 上的单调性符合题意就可以了． 跟踪训练 1 函数 y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数 f′(x)图象的大致形状． 解 f′(x)图象的大致形状如下图： 注：图象形状不唯一． 例 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1； (2)f(x)＝sin x－x(00 得 x<－3，或 x>2， 由 f′(x)<0 解得－30，即 2·3x2－1 x >0， 解得－ 3 3 3 3 . 又∵x>0，∴x> 3 3 . 令 f′(x)<0，即 2·3x2－1 x <0， 解得 x<－ 3 3 或 00，∴00 时，函数的单调递增区间是－ t， t]． 令 f′(x)≤0 时，得 3t－3x2≤0，即 t≤x2， 当 t≤0 时，f′(x)≤0 恒成立， 函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)； 当 t>0 时，函数的单调递减区间是(－∞，－ t]， t，＋∞)． 综上所述，当 t≤0 时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间； 当 t>0 时，函数的单调增区间是－ t， t]，单调减区间是(－∞，－ t]， t，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是 (1)优先确定 f(x)的定义域；(2)计算导数 f′(x)；(3)解 f′(x)>0 和 f′(x)<0；(4)定义域 内满足 f′(x)>0 的区间为增区间，定义域内满足 f′(x)<0 的区间为减区间． 跟踪训练 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝x3－x2－x. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－1 x ＝ 2x－1 2x＋1 x . 由 f′(x)>0 得－ 2 2 2 2 ， 又∵x>0，∴x> 2 2 ， ∴函数 f(x)的单调递增区间为 2 2 ，＋∞ ； 由 f′(x)<0 得 x<－ 2 2 或 00，∴00 得 x<－1 3 或 x>1； 由 f′(x)<0 得－1 3 0， ∴函数在(0,6)上单调递增． 2．f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可 能是( ) 答案 D 解析 由导函数的图象可知，当 x<0 时，f′(x)>0，即函数 f(x)为增函数；当 02 时，f′(x)>0，即函数 f(x)为增函数．观察选项易知 D 正确． 3．函数 f(x)＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________． 答案 (－∞，－1) 解析 f′(x)＝ 2x－1 x2－x－2 ，令 f′(x)<0 得 x<－1 或1 2 0，得 x>2； 令 y′<0，得 x<2， 所以 y＝x2－4x＋a 的单调递增区间为(2，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，2)． (2)y′＝3x2－1，令 y′>0，得 x> 3 3 或 x<－ 3 3 ； 令 y′<0，得－ 3 3 0 和 f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间. 一、基础过关 1．命题甲：对任意 x∈(a，b)，有 f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲 是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 f(x)＝x3 在(－1,1)内是单调递增的，但 f′(x)＝3x2≥0(－10，∴00 恒成立，故 f(x)是增函数． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A．y＝sin x B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 答案 B 解析 显然 y＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除 A；对于函数 y＝xe2，因 e2 为大于 零的常数，不用求导就知 y＝xe2 在(0，＋∞)内为单调增函数； 对于 C，y′＝3x2－1＝3(x＋ 3 3 )(x－ 3 3 )， 故函数在(－∞，－ 3 3 )，( 3 3 ，＋∞)上为单调增函数， 在(－ 3 3 ， 3 3 )上为单调减函数；对于 D，y′＝1 x －1 (x>0)． 故函数在(1，＋∞)上为单调减函数， 在(0,1)上为单调增函数．故选 B. 5．函数 y＝f(x)在其定义域 －3 2 ，3 内可导，其图象如图所示，记 y＝f(x)的导函数为 y＝ f′(x)，则不等式 f′(x)≤0 的解集为________． 答案 －1 3 ，1 ∪2,3) 6．若三次函数 f(x)＝ax3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则 a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞) 解析 f′(x)＝3ax2＋1，∴f(x)在 R 上为增函数， ∴3ax2＋1≥0 在 R 上恒成立．又 a≠0，∴a>0. 7.已知函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，试画出函数 y＝f(x)的大致图象． 解 由 y＝f′(x)的图象可以得到以下信息： x<－2 或 x>2 时， f′(x)<0，－20，f′(－2)＝0，f′(2)＝0. 故原函数 y＝f(x)的图象大致如右： 二、能力提升 8．如果函数 f(x)的图象如图，那么导函数 y＝f′(x)的图象可能是( ) 答案 A 解析 由 f(x)与 f′(x)关系可选 A. 9．设 f(x)，g(x)在 a，b]上可导，且 f′(x)>g′(x)，则当 ag(x) B．f(x)g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b) 答案 C 解析 ∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0， ∴f(x)－g(x)在 a，b]上是单调增函数， ∴当 af(a)－g(a)， ∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)． 10．若函数 f(x)＝x2＋ax＋1 x 在(1 2 ，＋∞)是增函数，则 a 的取值范围是 ( ) A．－1,0] B．－1，＋∞) C．0,3] D．3，＋∞) 答案 D 解析 把函数在某一区间上的单调递增转化为其导函数在该区间上大于或等于零恒成立，分 离参数后求新函数的最值． 由题意知 f′(x)≥0 对任意的 x∈ 1 2 ，＋∞ 恒成立， 又 f′(x)＝2x＋a－1 x2， 所以 2x＋a－1 x2≥0 对任意的 x∈ 1 2 ，＋∞ 恒成立， 分离参数得 a≥1 x2－2x， 若满足题意，需 a≥ 1 x2－2x max. 令 h(x)＝1 x2－2x，x∈ 1 2 ，＋∞ . 因为 h′(x)＝－2 x3－2， 所以当 x∈ 1 2 ，＋∞ 时，h′(x)＜0， 即 h(x)在 1 2 ，＋∞ 上单调递减， 所以 h(x)＜h 1 2 ＝3，故 a≥3. 11．求下列函数的单调区间： (1)y＝x－ln x； (2)y＝ln(2x＋3)＋x2. 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1 x ， 由 y′>0，得 x>1；由 y′<0，得 00，即－3 2 －1 2 时， 函数 y＝ln(2x＋3)＋x2 单调递增； 当 y′<0，即－10，得 x<1－ 2或 x>1＋ 2； 令 f′(x)<0，得 1－ 20，即 3mx2－6mx>0， 当 m>0 时，解得 x<0 或 x>2，则函数 f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当 m<0 时，解得 00 时，函数 f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当 m<0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2).