【数学】山东省济宁市嘉祥县第一中学2019-2020学年高一6月月考试题 （解析版） 16页

山东省济宁市嘉祥县第一中学2019-2020学年高一6月月考数学试题 一、选择题 ‎1.设向量 ＝（2，4）与向量 ＝（x，6）共线，则实数x＝（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B ‎2.设向量，若，则实数（ ）‎ A. ±1 B. ‎0 ‎C. D. ±2‎ ‎【答案】C ‎【解析】.‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎3.已知直线是平面的斜线，则内不存在与（   ）‎ A. 相交的直线 B. 平行的直线 C. 异面的直线 D. 垂直的直线 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面内肯定不存在与直线平行的直线．‎ 故答案为B ‎4.在中，点满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，即；故选D.‎ ‎5.在中，为的三等分点，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以，故选B.‎ ‎6.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】连接如下图所示，由于分别是棱和棱的中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，故.‎ 故选C.‎ ‎7.在中，边，，分别是角，，的对边，且满足，若，则 的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在中，‎ 由正弦定理可得 化为：‎ 即 在中，，故 ‎,‎ 可得，即 故选 ‎8.在中，，，是边的中点.为所在平面内一点且满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】为中点 ‎ ‎ 和为等腰三角形 ‎，同理可得：‎ 本题正确选项：D 二多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎9.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与所成的角和与所成的角相等 ‎【答案】BCD ‎【解析】选项A：若，则或，‎ 又，并不能得到这一结论，故选项A错误；‎ 选项B：若，则由线面垂直的性质定理和线面平行的 性质定理可得，故选项B正确；‎ 选项C：若，则有面面平行的性质定理可知，‎ 故选项C正确；‎ 选项D：若，则由线面角的定义和等角定理知，与 所成的角和与所成的角相等，故选项D正确.‎ 故选：BCD.‎ ‎10.已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（ ）．‎ A. 该四棱台的高为 B. ‎ C. 该四棱台的表面积为26 D. 该四棱台外接球的表面积为 ‎【答案】AD ‎【解析】解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，‎ 由于，，可知△ 与相似比为；‎ 则，，则，则，该四棱台的高为，对；‎ 因为，则与夹角为，不垂直，错；‎ 该四棱台的表面积为，错；‎ 由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在上，‎ 在平面上中，由于，，则，即点到点与点的距离相等，则，该四棱台外接球的表面积为，对，‎ 故选：AD．‎ ‎11.正方体ABCD - A1B‎1C1D1的棱长为2， E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，则（ ）‎ A. 直线与直线AF垂直 ‎ B. 直线A‎1G与平面AEF平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 ‎ D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 ‎【答案】BC ‎【解析】对选项A，如图所示：‎ 取中点，连接，.‎ 则为在平面上的投影，‎ 因为与不垂直，所以与不垂直，故A错误.‎ 对选项B，取的中点，连接，，如图所示：‎ 因为，平面，平面，所以平面，‎ 因，平面，平面，所以平面，‎ 又因为平面，，‎ 所以平面平面.‎ 因为平面，所以平面，故B正确.‎ 对选项C，连接，，如图所示：‎ 因为，所以平面为平面截正方体所得的截面.‎ ‎，，‎ ‎，所以四边形为等腰梯形，‎ 高为，.‎ 故C正确.‎ 对选项D，连接交于，如图所示：‎ 假设点与点到平面的距离相等，即平面必过的中点，‎ 而不是的中点，则假设不成立，故D错误.‎ 故选：BC ‎12.在中，D在线段上，且若，则（ ）‎ A. B. 的面积为8‎ C. 的周长为 D. 为钝角三角形 ‎【答案】BCD ‎【解析】因为,所以,故A错误；‎ 设,则,在中,,解得,所以,‎ 所以,故B正确；‎ 因,所以,‎ 在中,,解得,‎ 所以,故C正确；‎ 因为为最大边,所以,即为钝角,所以为钝角三角形,故D正确.‎ 故选:BCD 三、填空题 ‎13.已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于与的夹角为钝角，则且与不共线，‎ ‎，，，解得且，‎ 因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎14.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，则此鳖臑的外接球（均在球表面上）的直径为__________；过的平面截球所得截面面积的最小值为__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】根据已知条件画出鳖臑，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑外接球的直径为，且.‎ 过的平面截球所得截面面积的最小值的是以为直径的圆，面积为.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎15.如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，可得出，‎ 由于、、三点共线，，解得，故答案为.‎ ‎16.已知，向量的夹角为，则的最大值为_____.　‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将两边平方并化简得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值为.‎ 四、解答题 ‎17.已知:‎ ‎（1）若，求的坐标；‎ ‎（2）若与的夹角为120°，求.‎ 解：（1）∵，∴，与共线的单位向量为.‎ ‎∵，∴或.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎18.如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎ 求证：（1）PB∥平面AEC；‎ ‎（2）平面PCD⊥平面PAD．‎ 解：（ 1）证明： 连交于O, ‎ 因为四边形是正方形 ,‎ 所以 ,‎ 连，则是三角形的中位线, ,‎ 平面，平面 ‎ 所以平面 . ‎ ‎（2）因为平面 ,‎ 所以 , ‎ 因为是正方形，所以, ‎ 所以平面, ‎ 所以平面平面.‎ ‎19.已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，，.‎ ‎（1）若，求证：为等腰三角形；‎ ‎（2）若，边长，角，求的面积.‎ 解：（1）因为，所以，即，‎ 所以，即为等腰三角形.‎ ‎（2）因为，所以，即.‎ 由余弦定理可知，，‎ 即 解方程得：（舍去）‎ 所以.‎ ‎20.在中，，，且的面积为．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若D为BC上一点，且 ，求值．‎ 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．‎ 解：（1） 由于 ，，，‎ 所以，‎ 由余弦定理 ，‎ 解得．‎ ‎（2）①当时，‎ 中，由正弦定理， ‎ 即，所以． ‎ 因为，所以． ‎ 所以， ‎ 即． ‎ ‎②当时，‎ 在中，由余弦定理知，‎ ‎． ‎ 因为，所以， ‎ 所以， ‎ 所以 ， ‎ 即．‎ ‎21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点．‎ ‎（1）证明：CE∥面PAD.‎ ‎（2）若直线CE与底面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．‎ 解：解法一:(1)取PA中点Q，连接QD，QE， ‎ 则QE∥AB，且QE=AB ‎∴QE∥CD，且QE=CD.‎ 即四边形CDQE平行四边形，CE∥QD.‎ 又∵CE平面PAD，QD平面PAD，‎ ‎∴CE∥平面PAD.‎ ‎(2)连接BD，取BD中点O，连接EO，CO 则EO∥PD，且EO=PD. ‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，‎ ‎∴EO⊥平面ABCD. ‎ 则CO为CE在平面ABCD上的射影，‎ 即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角，∠ECO=45° ‎ 在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，则BD=2，‎ 则在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=BD=‎ ‎2PD=2E0=2，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴四棱锥P-ABCD的体积为.‎ 解法二：(1)取AB中点Q，连接QC，QE 则QE∥PA ‎∵PA平面PAD，QE平面PAD ‎∴QE∥平面PAD， ‎ 又∵AQ=AB=CD，AQ∥CD，‎ ‎∴四边形AQCDカ平行四迹形，‎ 则CQ∥DA ‎∵DA平面PAD，CQ平面PAD，‎ ‎∴CQ∥平面PAD， ‎ ‎ (QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，证明其中一个即给2分)‎ 又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，‎ ‎∴平面CEQ∥平面PAD， ‎ 又CE平面CQ，‎ ‎∴CE∥平面PAD. ‎ ‎(2)同解法一.‎ ‎22.如图半圆的直径为4，为直径延长线上一点，且，为半圆周上任一点，以为边作等边（、、按顺时针方向排列）‎ ‎（1）若等边边长为，，试写出关于的函数关系；‎ ‎（2）问为多少时，四边形的面积最大？这个最大面积为多少？‎ 解：（1）由余弦定理得 则 ‎ ‎（2）四边形OACB的面积＝△OAB的面积+△ABC的面积 则△ABC的面积 ‎△OAB的面积 四边形OACB的面积 当，‎ 即时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．‎