2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第3讲圆的方程课件 33页

第 3 讲 圆的方程 课标要求 考情风向标 1. 回顾确定圆的几何要 素，在平面直角坐标系 中，探索并掌握圆的标 准方程与一般方程 . 2. 在平面解析几何初步 的学习过程中，体会用 代数方法处理几何问题 的思想 本节内容具有承前启后的作用，既与 前面的直线相联系，也为后面学习圆 锥曲线做准备 . 高考中对此部分内容的 考查主要呈现以下几个特点：一是重 基础知识和基本技能，主要考 查直线、 圆的方程，直线与圆的位置关系，圆 与圆的位置关系；二是重在知识的交 汇处命题，把解析几何初步与集合、 向量、函数等知识结合命题，注重考 查学生综合运用知识解决问题的能力 1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 . 确定 一个圆最基本的要素是圆心和半径 . 2. 圆的标准方程 ( a ， b ) x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 (1) 方程 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r ＞ 0) 表示圆心为 ______ ，半径 为 r 的圆的标准方程 . (2) 特别地，以原点为圆心，半径为 r ( r ＞ 0) 的圆的标准方程 为 __________________. > 1. 圆心为 (1,1) 且过原点的圆的方程是 ( ) A.( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 B.( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 C.( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2 D.( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 2. 若直线 y ＝ x ＋ b 平分圆 x 2 ＋ y 2 － 8 x ＋ 2 y ＋ 8 ＝ 0 的周长，则 b ＝ ( ) D D A.3 B.5 C. － 3 D. － 5 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 9 4.(2019 年北京 ) 设抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F ，准线为 l . 则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 _______ ______ __. 解析： 抛物线 y 2 ＝ 4 x 中， 2 p ＝ 4 ， p ＝ 2 ，焦点 F (1,0) ，准线 l 的方程为 x ＝－ 1 ，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 2 2 ，即为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4. ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4 考点 1 求圆的方程 答案： ( x － 2) 2 ＋ ( x － 1) 2 ＝ 4 答案： ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 9 (3)(2018 年天津 ) 在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0) ， (1,1) ， (2,0) 的圆的方程为 ______________. 答案： x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0 (4) 已知圆的圆心在直线 x － 2 y － 3 ＝ 0 上，且过点 A (2 ，－ 3) ， B ( － 2 ，－ 5) ，则圆的方程为 ________. 答案： x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x ＋ 4 y － 5 ＝ 0 【 规律方法 】 (1) 确定一个圆的方程，需要三个独立条 件 .“ 选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题 设 条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数 . 因 此利用待定系数法求圆的方程时，不论是设哪一种圆的方程都 要列出系数的三个独立方程 . (2) 研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思 想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量 . 总之，要 数形结合，拓宽解题思路 . 与弦长有关的问题经常需要用到点到 直线的距离公式、勾股定理 、垂径定理等 . 考点 2 与圆有关的最值问题 考向 1 斜率型最值问题 如图 D44 所示，当直线 y ＝ kx 与圆相切时，斜率 k 取最大 值或最小值， 图 D44 考向 2 截距型最值问题 例 3 ： 已知实数 x ， y 满足方程 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0 ，求 y － x 的最大值和最小值 . 解： y － x 可看作是直线 y ＝ x ＋ b 在 y 轴上的截距，如图 D45 所示， 图 D45 考向 3 距离型最值问题 例 4 ： 已知实数 x ， y 满足方程 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0 ，求 x 2 ＋ y 2 的最大值和最小值 . 解： 如图 D46 所示， x 2 ＋ y 2 表示圆上的一点与原点距离的 平方，由平 面几何知识，在原点和圆心连线与圆的两个交点处 取得最大值和最小值 . 图 D46 考向 4 距离和 ( 差 ) 最值问题 例 5 ： (1) 已知圆 C 1 ： ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 ，圆 C 2 ： ( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 9 ， M ， N 分别是圆 C 1 ， C 2 上的动点， P 为 x 轴上的 动点，则 | PM | ＋ | PN | 的最小值为 ( ) 解析： 圆心 C 1 (2,3) ， C 2 (3,4) ，作 C 1 关于 x 轴的对称点 C ′ 1 (2 ， － 3) ，连接 C ′ 1 ， C 2 与 x 轴交于点 P ，此时 | PM | ＋ | PN | 取得最小 答案： A (2)(2018 年安徽巢湖四中、庐江二中第二次联考数学试题 ) 点 P 是直线 y ＝ x － 1 上的动点，过点 P 作圆 C ： x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 的切线，则切线长的最小值是 ( ) 答案： C 考向 5 利用目标函数求最值 A.9 B.8 C.4 D.2 答案： A 【 规律方法 】 与圆有关的最值问题的常见解法： ② 形如 t ＝ ax ＋ by 形式的最值问题，可转化为动直线截距 的最值问题； ③ 形如 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问题 . 考点 3 圆的综合应用 例 7 ： (1) 直线 l 1 和 l 2 是圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 2 的两条切线，若 l 1 与 l 2 的交点为 (1,3) ，则 l 1 与 l 2 的夹角的正切值等于 ________. 【 跟踪训练 】 1. 若长度为 4 的线段 AB 的两端点分别在 x 轴正半轴和 y 轴 正半轴上移动， P ( x ， y ) 为 △ OAB ( O 为原点 ) 外心的轨迹上的一 点，则 x ＋ y 的最大值是 ( ) 答案： D 思想与方法 ⊙ 利用函数与方程的思想求圆的方程 例题： (2017 年新课标 Ⅲ ) 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 x ，过点 (2,0) 的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆 . (1) 证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2) 设圆 M 过点 P (4 ，－ 2) ，求直线 l 与圆 M 的方程 . (2) 解： 由 (1 ) ，可得 y 1 ＋ y 2 ＝ 2 m ， x 1 ＋ x 2 ＝ m ( y 1 ＋ y 2 ) ＋ 4 ＝ 2 m 2 ＋ 4 ， 故圆心为 M ( m 2 ＋ 2 ， m ) ， 故 ( x 1 － 4)( x 2 － 4) ＋ ( y 1 ＋ 2)( y 2 ＋ 2) ＝ 0 ， 即 x 1 x 2 － 4( x 1 ＋ x 2 ) ＋ y 1 y 2 ＋ 2( y 1 ＋ y 2) ＋ 20 ＝ 0. 由 (1) ，可得 y 1 y 2 ＝－ 4 ， x 1 x 2 ＝ 4 ， 【 跟踪训练 】 2.(2019 年福建福州质检 ) 过点 P (1 ，－ 2) 作圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 的两条切线，切点分别为 A ， B ，则 AB 所在直线的方程 为 ( ) 答案： B 1. 确定一个圆的方程，需要三个独立条件 .“ 选形式、定参 数”是求圆的方程的 基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆 的方程的形式，进而确定其中的三个参数 . 求圆的方程需要三个 独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个 独立方程 . 2. 解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性 质，简化运算 . 3. 常用结论： (1) 以 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 为直径端点的圆方程为 ( x － x 1 )·( x － x 2 ) ＋ ( y － y 1 )( y － y 2 ) ＝ 0. (2) 若圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 与 x 轴相切，则 | b | ＝ r ； 若圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 与 y 轴相切，则 | a | ＝ r . (3) 若圆 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 关于 x 轴对称，则 E ＝ 0; 若圆 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 关于 y 轴对称，则 D ＝ 0 ； 若圆 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 关于 y ＝ x 对称，则 D ＝ E .