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  • 2021-06-11 发布

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书:10

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www.ks5u.com 第十章  复数 ‎10.1 复数及其几何意义 ‎10.1.1 复数的概念 ‎[课程目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.‎ 知识点一  复数的概念及分类 ‎[填一填]‎ ‎(1)复数的概念 ‎①为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即i2=-1,并称i为虚数单位.‎ ‎②当a与b都是实数时,称a+bi为复数,复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).‎ 其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b.‎ ‎(2)复数的分类 所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大写字母C表示,因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}.‎ 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定,虚部为0的复数实际上是一个实数.特别地,称虚部不为0的复数为虚数,称实部为0的虚数为纯虚数.‎ ‎[答一答]‎ ‎1.复数集与实数集的关系是怎样的?与已学过的有关数集的关系是怎样的?‎ 提示:实数集R是复数集C的真子集,即RC.至此,我们学过的有关数集的关系如下:‎ 复数z=a+bi(a,b∈R) 知识点二   复数相等 ‎[填一填]‎ 两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作z1=z2.‎ 如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d.‎ 特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.‎ ‎[答一答]‎ ‎2.怎样理解两复数相等的概念?‎ 提示:(1)两个实数可以比较大小,但两个不全是实数的复数就不能比较大小,只能说相等或不相等.如2+i和3-i,2和i之间就无大小可言.‎ ‎(2)虚数不能比较大小,有大小关系的两个数一定是实数.‎ 两个不全为实数的复数不能比较大小.‎ ‎(1)根据复数a+bi与c+di相等的定义可知,在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么就有a+bi≠c+di.‎ ‎(2)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.‎ ‎(3)实数之间的“<”(小于)关系,具有以下性质:‎ ‎①若a0,则acb,则a+i>b+i.‎ ‎[分析] 本题考查复数的基本概念和基本性质.‎ ‎[解] (1)错误.当且仅当z∈R时,z2≥0成立.若z=i,则z2=-1<0.‎ ‎(2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0·i=0∈R.‎ ‎(3)错误.两个虚数不能比较大小.‎ ‎1.虚数单位i具有i2=-1的性质.‎ ‎2.只有在两个复数都是实数时,才可以比较它们的大小.‎ ‎3.复数z的平方未必为非负数.‎ ‎[变式训练1] 下列命题正确的是(1).‎ ‎(1)复数-i+1的虚部为-1.‎ ‎(2)若z1,z2∈C且z1-z2>0,则z1>z2.‎ ‎(3)任意两个复数都不能比较大小.‎ 解析:(1)复数-i+1=1-i,虚部为-1.正确.‎ ‎(2)若z1,z2不全为实数,则z1,z2不能比较大小.错误.‎ ‎(3)若两个复数都是实数,可以比较大小,错误.‎ 类型二  复数的分类 ‎[例2] 已知复数z=+(a2-‎5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.‎ ‎[分析] 根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的a的值.‎ ‎[解] (1)当z为实数时,‎ ∴ ‎∴当a=6时,z为实数.‎ ‎(2)当z为虚数时, ‎∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.‎ ‎(3)当z为纯虚数时, ‎∴ ‎∴不存在实数a,使得z为纯虚数.‎ 本题除要熟悉复数的实部、虚部的概念及复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件外,还要注意“分式分母不为零”这个隐含条件.‎ ‎[变式训练2] 实数m取什么值时,复数(m2-‎5m+6)+(m2-‎3m)i是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零.‎ 解:设z=(m2-‎5m+6)+(m2-‎3m)i.‎ ‎(1)要使z为实数,必须有m2-‎3m=0,‎ 得m=0或m=3,即m=0或m=3时,z为实数.‎ ‎(2)要使z为虚数,必须有m2-‎3m≠0,即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时,z为虚数.‎ ‎(3)要使z为纯虚数,必须有 ‎∴∴m=2.‎ ‎∴m=2时,z为纯虚数.‎ ‎(4)要使z=0时,依复数相等的充要条件有:‎ ⇒⇒m=3,‎ ‎∴当m=3时,复数z为零.‎ 类型三  复数相等的应用 ‎[例3] (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x、y的值.‎ ‎(2)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.‎ ‎[分析] (1)复数a+bi=c+di的充要条件是什么?()(2)利用复数相等解题的前提是什么?(a,b,c,d∈R)‎ ‎[解] (1)∵x2-y2+2xyi=2i,‎ ‎∴解得或 ‎(2)设方程的实数根为x=m,则原方程可变为 ‎3m2‎‎-m-1=(10-m-‎2m2‎)i,‎ ‎∴解得a=11或a=-.‎ ‎1.利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等.‎ ‎2.在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R ‎.忽略条件后,不能成立.因此在解决复数相等问题时,一定要把复数的实部与虚部分离出来,再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决.‎ ‎[变式训练3] 已知关于x的方程x2-(2i-1)x+‎3m-i=0有实数根,求实数m的值.‎ 解:设方程的实根为x0,‎ 则x-(2i-1)x0+‎3m-i=0,‎ 因为x0、m∈R,所以方程变形为(x+x0+‎3m)-(2x0+1)i=0,‎ 由复数相等得解得 故m=.‎ ‎1.复数1-i的虚部是( B )‎ A.1 B.-1‎ C.i D.-i 解析:分清复数的实部、虚部是解题的关键.‎ ‎2.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为( A )‎ A.1 B.-1‎ C.±1 D.以上全不对 解析:由题意得∴x=1.‎ ‎3.复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足( D )‎ A.x=- B.x=-2或x=- C.x≠-2 D.x≠1且x≠-2‎ 解析:由题意得x2+x-2≠0,解得x≠1且x≠-2.‎ ‎4.已知z1=m2-‎3m+mi,z2=4+(‎5m+4)i,其中m为实数,i为虚数单位,若z1=z2,则m的值为-1.‎ 解析:由题意得m2-‎3m+mi=4+(‎5m+4)i,‎ 从而解得m=-1.‎