2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10 7页

www.ks5u.com 第十章 　复数 ‎10．1　复数及其几何意义 ‎10．1.1　复数的概念 ‎[课程目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．‎ 知识点一　　复数的概念及分类 ‎[填一填]‎ ‎(1)复数的概念 ‎①为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位．‎ ‎②当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．‎ 其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.‎ ‎(2)复数的分类 所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．‎ 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．复数集与实数集的关系是怎样的？与已学过的有关数集的关系是怎样的？‎ 提示：实数集R是复数集C的真子集，即RC.至此，我们学过的有关数集的关系如下：‎ 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 知识点二　　　复数相等 ‎[填一填]‎ 两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2.‎ 如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.‎ 特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是a＝0且b＝0.‎ ‎[答一答]‎ ‎2．怎样理解两复数相等的概念？‎ 提示：(1)两个实数可以比较大小，但两个不全是实数的复数就不能比较大小，只能说相等或不相等．如2＋i和3－i,2和i之间就无大小可言．‎ ‎(2)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．‎ 两个不全为实数的复数不能比较大小．‎ ‎(1)根据复数a＋bi与c＋di相等的定义可知，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋bi≠c＋di.‎ ‎(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．‎ ‎(3)实数之间的“<”(小于)关系，具有以下性质：‎ ‎①若a0，则acb，则a＋i>b＋i.‎ ‎[分析]　本题考查复数的基本概念和基本性质．‎ ‎[解]　(1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．若z＝i，则z2＝－1<0.‎ ‎(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R.‎ ‎(3)错误．两个虚数不能比较大小．‎ ‎1.虚数单位i具有i2＝－1的性质.‎ ‎2.只有在两个复数都是实数时，才可以比较它们的大小.‎ ‎3.复数z的平方未必为非负数.‎ ‎[变式训练1]　下列命题正确的是(1)．‎ ‎(1)复数－i＋1的虚部为－1.‎ ‎(2)若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.‎ ‎(3)任意两个复数都不能比较大小．‎ 解析：(1)复数－i＋1＝1－i，虚部为－1.正确．‎ ‎(2)若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小．错误．‎ ‎(3)若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．‎ 类型二　　复数的分类 ‎[例2]　已知复数z＝＋(a2－‎5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ ‎[分析]　根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a的值．‎ ‎[解]　(1)当z为实数时，‎ ∴ ‎∴当a＝6时，z为实数．‎ ‎(2)当z为虚数时， ‎∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．‎ ‎(3)当z为纯虚数时， ‎∴ ‎∴不存在实数a，使得z为纯虚数．‎ 本题除要熟悉复数的实部、虚部的概念及复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件外，还要注意“分式分母不为零”这个隐含条件.‎ ‎[变式训练2]　实数m取什么值时，复数(m2－‎5m＋6)＋(m2－‎3m)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．‎ 解：设z＝(m2－‎5m＋6)＋(m2－‎3m)i.‎ ‎(1)要使z为实数，必须有m2－‎3m＝0，‎ 得m＝0或m＝3，即m＝0或m＝3时，z为实数．‎ ‎(2)要使z为虚数，必须有m2－‎3m≠0，即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时，z为虚数．‎ ‎(3)要使z为纯虚数，必须有 ‎∴∴m＝2.‎ ‎∴m＝2时，z为纯虚数．‎ ‎(4)要使z＝0时，依复数相等的充要条件有：‎ ⇒⇒m＝3，‎ ‎∴当m＝3时，复数z为零．‎ 类型三　　复数相等的应用 ‎[例3]　(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．‎ ‎(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．‎ ‎[分析]　(1)复数a＋bi＝c＋di的充要条件是什么？()(2)利用复数相等解题的前提是什么？(a，b，c，d∈R)‎ ‎[解]　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，‎ ‎∴解得或 ‎(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为 ‎3m2‎‎－m－1＝(10－m－‎2m2‎)i，‎ ‎∴解得a＝11或a＝－.‎ ‎1.利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等．‎ ‎2．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R ‎.忽略条件后，不能成立．因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决．‎ ‎[变式训练3]　已知关于x的方程x2－(2i－1)x＋‎3m－i＝0有实数根，求实数m的值．‎ 解：设方程的实根为x0，‎ 则x－(2i－1)x0＋‎3m－i＝0，‎ 因为x0、m∈R，所以方程变形为(x＋x0＋‎3m)－(2x0＋1)i＝0，‎ 由复数相等得解得 故m＝.‎ ‎1．复数1－i的虚部是(　B　)‎ A．1 B．－1‎ C．i D．－i 解析：分清复数的实部、虚部是解题的关键．‎ ‎2．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　A　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．以上全不对 解析：由题意得∴x＝1.‎ ‎3．复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足(　D　)‎ A．x＝－ B．x＝－2或x＝－ C．x≠－2 D．x≠1且x≠－2‎ 解析：由题意得x2＋x－2≠0，解得x≠1且x≠－2.‎ ‎4．已知z1＝m2－‎3m＋mi，z2＝4＋(‎5m＋4)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为－1.‎ 解析：由题意得m2－‎3m＋mi＝4＋(‎5m＋4)i，‎ 从而解得m＝－1.‎