高中数学必修1教案第一章 1_2_2 第2课时分段函数及映射 9页

第2课时　分段函数及映射 ‎[学习目标]　1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. ‎ ‎2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．‎ ‎2．映射的概念 映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．‎ 要点一　分段函数求值 例1　 已知函数f(x)＝ ‎(1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值；‎ ‎(2)若f(a)＝3，求实数a的值．‎ 解　 (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，‎ ‎－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，‎ f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.‎ ‎∵f＝－＋1＝－，而－2<－<2，‎ ‎∴f[f(－)]＝f＝2＋2×＝－3＝－.‎ ‎(2)当a≤－2时，a＋1＝3，‎ 即a＝2＞－2，不合题意，舍去．‎ 当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.‎ 所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.‎ ‎∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．‎ 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．‎ 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.‎ 规律方法　1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．‎ ‎2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．‎ 跟踪演练1　已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)‎ A．0 B. C．1 D．2‎ 答案　C 解析　f(2)＝＝1.‎ 要点二　分段函数的图象及应用 例2　已知f(x)＝ ‎(1)画出f(x)的图象；‎ ‎(2)求f(x)的定义域和值域．‎ 解　 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．‎ ‎(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.‎ 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，‎ 当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，‎ 所以f(x)的值域为[0,1]．‎ 规律方法　1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．‎ ‎2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．‎ ‎3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．‎ 跟踪演练2　作出y＝　的图象，并求y的值域．‎ 解　y＝　值域为y∈[－7,7]．‎ 图象如下图．‎ 要点三　映射的概念 例3　以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？‎ ‎(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；‎ ‎(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；‎ ‎(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；‎ ‎(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．‎ 解　(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．‎ ‎(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．‎ ‎(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．‎ ‎(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．‎ 规律方法　映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．‎ 跟踪演练3　下列对应是从集合M到集合N的映射的是(　　)‎ ‎①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝N＝‎ R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；④M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N.‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ 答案　D 解析　对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.‎ ‎1．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是(　　)‎ 答案　D 解析　在A、B选项中，由于集合A中的元素2在集合B中没有对应的元素，故构不成映射，在C选项中，集合A中的元素1在集合B中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D符合映射的定义，故选D.‎ ‎2．函数y＝|x|的图象是(　　)‎ 答案　B 解析　∵y＝|x|＝　∴B选项正确．‎ ‎3．设函数f(x)＝，则f(f(3))等于(　　)‎ A. B．3‎ C. D. 答案　D 解析　∵f(3)＝，∴f(f(3))＝2＋1＝.‎ ‎4．设函数f(x)＝　若f(α)＝4，则实数α等于(　　)‎ A．－4或－2 B．－4或2‎ C．－2或4 D．－2或2‎ 答案　B 解析　当α≤0时，f(α)＝－α＝4，∴α＝－4；‎ 当α＞0时，f(α)＝α2＝4，∴α＝2或－2(舍去)．‎ ‎5．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________．‎ 答案　y＝ 解析　由题意得，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x>100时y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.‎ ‎1.对映射的定义，应注意以下几点：‎ ‎(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合．‎ ‎(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达．‎ ‎2．理解分段函数应注意的问题：‎ ‎(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．‎ ‎(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．‎ ‎(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．‎ 一、基础达标 ‎1．以下几个论断 ‎①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；‎ ‎②函数y＝x－1，x∈Z且x∈(－3,3]的图象是一条线段；‎ ‎③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；‎ ‎④若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1∩D2＝∅.‎ 其中正确的论断有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　C 解析　函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y＝x－1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．‎ ‎2．已知f(x)＝则f[f(－7)]的值为(　　)‎ A．100 B．10‎ C．－10 D．－100‎ 答案　A 解析　∵f(x)＝　∴f(－7)＝10.‎ f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100.‎ ‎3．函数f(x)＝x＋的图象是(　　)‎ 答案　C 解析　f(x)＝ 画出f(x)的图象可知选C.‎ ‎4．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为(　　)‎ A．(1,3) B．(1,6)‎ C．(2,4) D．(2,6)‎ 答案　A 解析　由题意得　解得 ‎5．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.‎ 答案　5‎ 解析　由f(2)＝3，可知2a－1＝3，∴a＝2，‎ ‎∴f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.‎ ‎6．函数f(x)＝的值域是________．‎ 答案　[1，＋∞)‎ 解析　当x≥0时，f(x)≥1，‎ 当－2≤x＜0时，2＜f(x)≤4，‎ ‎∴f(x)≥1或2＜f(x)≤4，即f(x)的值域为[1，＋∞)．‎ ‎7．已知函数f(x)＝ ‎(1)求f(2)，f[f(2)]的值；‎ ‎(2)若f(x0)＝8，求x0的值．‎ 解　(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，‎ ‎∴f(2)＝22－4＝0，‎ f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4.‎ ‎(2)当0≤x0≤2时，‎ 由x－4＝8，‎ 得x0＝±2(舍去)；‎ 当x0＞2时，由2x0＝8，得x0＝4.‎ ‎∴x0＝4.‎ 二、能力提升 ‎8．已知f(x)＝则f(3)为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 答案　A 解析　f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，‎ f(5)＝f(5＋2)＝f(7)，‎ ‎∴f(7)＝7－5＝2.故f(3)＝2.‎ ‎9．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f[f]等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　由图可知，函数f(x)的解析式为 f(x)＝ ‎∴f＝－1＝－，‎ ‎∴f[f]＝f＝－＋1＝.‎ ‎10．设函数f(x)＝　则f的值是________．‎ 答案　 解析　f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，‎ ‎∴f＝f＝1－2＝.‎ ‎11．已知函数y＝|x－1|＋|x＋2|.‎ ‎(1)作出函数的图象；‎ ‎(2)写出函数的定义域和值域．‎ 解　(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x＝1，第二个绝对值的分段点x＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)，‎ 所以已知函数可写为分段函数形式：‎ y＝|x－1|＋|x＋2|‎ ‎ ＝ 在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图．‎ ‎(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，＋∞)．‎ 三、探究与创新 ‎12．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．‎ 解　由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x，‎ 当5＜x≤6时，‎ y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.‎ 当6＜x≤7时，‎ y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.‎ 所以y＝ ‎13．如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，由点B(起点)沿着折线BCDA，向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数解析式．‎ 解　当0≤x≤4时，S△APB＝×4x＝2x；‎ 当4＜x≤8时，S△APB＝×4×4＝8；‎ 当8＜x≤12时，‎ S△APB＝×4×(12－x)＝24－2x.‎ ‎∴y＝