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- 2021-06-11 发布
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[
最新考纲展示
]
1
.
会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
3.
会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
第二节 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解集
“
三个二次
”
分三种情况讨论,对应的一元二次不等式
ax
2
+
bx
+
c
>
0
与
ax
2
+
bx
+
c
<
0
的解集,可归纳为:
若
a
<
0
时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解.
___________________[
通关方略
]____________________
1
.
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论
(1)
若二次项系数为常数,首先需将二次项系数化为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)
若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)
对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
1.
不等式
x
2
-
3
x
+
2<0
的解集为
(
)
A
.
(
-
∞
,-
2)
∪
(
-
1
,+
∞
)
B
.
(
-
2.
-
1)
C
.
(
-
∞
,
1)
∪
(2
,+
∞
) D
.
(1,2)
解析:
∵
(
x
-
1)(
x
-
2)<0
∴
1<
x
<2
,
即不等式的解集为
(1,2)
.
答案:
D
答案:
A
解析:
①
当
x
-
2>0
,即
x
>2
时,不等式可化为
(
x
-
2)
2
≥
4
,
∴
x
≥
4
;
②
当
x
-
2<0
,即
x
<2
时,不等式可化为
(
x
-
2)
2
≤
4
,
∴
0
≤
x
<2.
答案:
B
4
.
(2014
年衡阳模拟
)
若集合
A
=
{
x
|
ax
2
-
ax
+
1
<
0}
=
∅
,则实数
a
的取值范围是
________
.
解析:
由题意知,
a
=
0
时,满足条件;当
a
≠
0
时,由题意知
a
>
0
且
Δ
=
a
2
-
4
a
≤
0
,得
0
<
a
≤
4
,所以
0
≤
a
≤
4.
答案:
[0,4]
一元二次不等式的解法
[
答案
]
(1)C
(2)D
反思总结
解一元二次不等式的一般步骤
(1)
对不等式变形,使一端为
0
且二次项系数大于
0
,即
ax
2
+
bx
+
c
>0(
a
>0)
,
ax
2
+
bx
+
c
<0(
a
>0)
;
(2)
计算相应的判别式;
(3)
当
Δ
≥
0
时,求出相应的一元二次方程的根;
(4)
根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.
含参数的一元二次不等式的解法
【
例
2】
解关于
x
的不等式
ax
2
-
2
≥
2
x
-
ax
(
a
∈
R
)
.
反思总结
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)
二次项若含有参数应讨论是等于
0
,小于
0
,还是大于
0
,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.
(2)
判断方程的根的个数,讨论判别式
Δ
与
0
的关系.
(3)
确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
提示:二次项系数中含有参数时,参数的符号影响着不等号的方向.
变式训练
1
.解关于
x
的不等式
x
2
-
2
ax
+
2
≤
0.
一元二次不等式的应用
【
例
3】
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为
10
万元
/
辆,出厂价为
12
万元
/
辆,年销售量为
10 000
辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为
x
(0<
x
<1)
,则出厂价相应地提高比例为
0.75
x
,同时预计年销售量增加的比例为
0.6
x
,已知年利润=
(
出厂价-投入成本
)
×
年销售量.
(1)
写出本年度预计的年利润
y
与投入成本增加的比例
x
的关系式;
(2)
为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例
x
应在什么范围内?
反思总结
解不等式应用题,一般可按如下四步进行
(1)
阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系;
(2)
引进数学符号,用不等式表示不等关系;
(3)
解不等式;
(4)
回答实际问题.
——
含参不等式恒成立问题的求解策略
不等式恒成立问题是高考中的热点内容,它以各种形式出现在高中数学的各部分内容中,其解决的关键是转化与化归思想的运用.从解题策略的角度看,一般而言,针对不等式的表现形式有如下三种策略:
变换主元转化为一次函数问题
【
典例
1】
求使不等式
x
2
+
(
a
-
6)
x
+
9
-
3
a
>0
,
|
a
|
≤
1
恒成立的
x
的取值范围.
[
解析
]
将原不等式整理为形式上是关于
a
的不等式
(
x
-
3)
a
+
x
2
-
6
x
+
9>0.
令
f
(
a
)
=
(
x
-
3)
a
+
x
2
-
6
x
+
9.
因为
f
(
a
)>0
在
|
a
|
≤
1
时恒成立,所以
(1)
若
x
=
3
,则
f
(
a
)
=
0
,不符合题意,应舍去.
由题悟道
在含参不等式恒成立的问题中,参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系.本题已知参数
a
的取值范围,求
x
的取值范围,若能转换两者在问题中的地位,则关于
x
的一元不等式就立即转化为关于
a
的不等式,问题迎刃而解.
沟通不等式、函数、方程的联系,转化为方程根的分布问题
[
答案
]
C
由题悟道
本题利用换元法沟通了
“
三个二次
”
之间的关系,简化了运算,但需要注意换元后自变量的取值范围.
分离参变量、构造函数求最值
由题悟道
这类问题经常用到下面的结论:若函数
f
(
x
)
存在最小值,则
a
≤
(<)
f
(
x
)
恒成立
⇔
a
≤
(<)
f
(
x
)
min
;若函数
f
(
x
)
存在最大值,则
a
≥
(>)
f
(
x
)
恒成立
⇔
a
≥
(>)
f
(
x
)
max
.
1
.
(2014
年广州模拟
)
在
R
上定义运算
⊗
:
x
⊗
y
=
x
(1
-
y
)
.若对任意
x
>2
,不等式
(
x
-
a
)
⊗
x
≤
a
+
2
都成立,则实数
a
的取值范围是
(
)
A
.
[
-
1,7] B
.
(
-
∞
,
3]
C
.
(
-
∞
,
7] D
.
(
-
∞
,-
1]
∪
[7
,+
∞
)
答案:
C
2
.若不等式
x
2
+
ax
+
4
≥
0
对一切
x
∈
(0,1]
恒成立,则
a
的取值范围是
________
.
答案:
[
-
5
,+∞
)
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