2020_2021学年新教材高中数学第2章常用逻辑用语2 7页

‎2.1　命题、定理、定义 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点)‎ ‎2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点)‎ ‎3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点)‎ ‎4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点)‎ 借助命题真假的判定、定理与定义的应用培养逻辑推理素养．‎ 在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫做命题，一方面数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？‎ ‎1．命题的定义与分类 ‎(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题．‎ ‎(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．‎ ‎(3)分类：命题 思考1：(1)“x－1＝‎0”‎是命题吗？‎ ‎(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？‎ ‎[提示]　(1)“x－1＝‎0”‎不是命题，因为它不能判断真假．‎ ‎(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．‎ ‎2．命题的结构 ‎(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．‎ ‎(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．‎ 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？‎ ‎[提示]　条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．‎ ‎3．定理与定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．‎ 在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的 - 7 -‎ 内涵．‎ ‎(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．‎ ‎(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．‎ ‎1．语句“若a c2>b c2，则a＋c>b＋c”(　　)‎ A．不是命题 B．是真命题 C．是假命题 D．不能判断真假 B　[结合不等式的性质可知，若a c2>b c2，则a>b且c≠0，则a＋c>b＋c，是真命题．]‎ ‎2．下列语句是命题的是(　　)‎ ‎①三角形内角和大于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2020央视春晚真精彩啊！‎ A．①②③ B．①③④‎ C．①②⑤ D．②③⑤‎ A　[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]‎ ‎3．把命题“末位数字是0的整数一定能被5整除”改写成“若p，则q”的形式为 ．‎ ‎[答案]　若一个整数的末位数字是0，则它一定能被5整除 命题的判断 ‎【例1】　(1)下列语句为命题的是(　　)‎ A．x2－1＝0‎ B．2＋3＝8‎ C．你会说英语吗？‎ D．这是一棵大树 ‎(2)下列语句为命题的有 ．‎ ‎①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 020是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′．‎ ‎(1)B　(2)①④　[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．‎ ‎(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]‎ - 7 -‎ 判断一个语句是否是命题的两个关键点 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.‎ (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.‎ 提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题.‎ ‎1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．‎ ‎(1)函数y＝x2－2x (x∈R)是二次函数；‎ ‎(2)x2－3x＋2＝0；‎ ‎(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；‎ ‎(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？‎ ‎(5)一个数不是奇数就是偶数；‎ ‎(6)‎2030年6月1日上海会下雨．‎ ‎[解]　(1)是命题，满足二次函数的定义．‎ ‎(2)不是命题，不能判断真假．‎ ‎(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．‎ ‎(4)疑问句，不是命题．‎ ‎(5)是命题，能判断真假．‎ ‎(6)不是命题，不能判断真假．‎ 命题真假的判断 ‎【例2】　判断下列命题的真假，并说明理由．‎ ‎(1)正方形既是矩形又是菱形；‎ ‎(2)当x＝4时，2x＋1<0；‎ ‎(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；‎ ‎(4)一个奇数是两个整数的平方差．‎ ‎[解]　(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．‎ ‎(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0．‎ ‎(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0．‎ ‎(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．‎ - 7 -‎ 命题真假的判定方法 (1)真命题的判断方法,要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.‎ (2)假命题的判断方法,通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.‎ ‎2．下列命题：‎ ‎①若xy＝1，则x，y互为倒数；‎ ‎②同一平面内四条边相等的四边形是正方形；‎ ‎③平行四边形是梯形；‎ ‎④若a2>b2，则|a|>|b|．‎ 其中真命题的序号是 ．‎ ‎①④　[①④是真命题，②同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．]‎ 命题的构成 ‎【例3】　(1)(一题两空)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是 ，q是 ．‎ ‎(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．‎ ‎①函数y＝2x＋1是一次函数；‎ ‎②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；‎ ‎③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0．‎ ‎[思路点拨]　解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q”的形式．‎ ‎(1)一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心且平分弦所对的弧　[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．]‎ ‎(2)[解]　①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．(真命题)‎ ‎②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2．(假命题)‎ ‎③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0．(假命题)‎ ‎1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．‎ - 7 -‎ ‎2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．‎ ‎3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．‎ ‎(1)当>时，a，则ab，则< B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 C．若|x|，故A是假命题．‎ 对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．‎ 对于C，因为y>|x|≥0，则x2