2012年高考真题汇编-理科数学（解析版）17：选考内容 16页

‎2012高考真题分类汇编：选考内容 ‎1.【2012高考真题北京理5】如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )‎ A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD ² D.CE·EB=CD ²‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在中，∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，所以,由切割线定理的,所以CE·CB=AD·DB。‎ ‎ 2.【2012高考真题湖北理15】．（选修4-1：几何证明选讲）‎ 如图，点D在的弦AB上移动，，连接OD，过点D ‎ 作的垂线交于点C，则CD的最大值为 . ‎C B A D O ‎.‎ 第15题图 ‎【答案】2‎ ‎【解析】（由于因此,线段长为定值，‎ 即需求解线段长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此 时为的中点，点与点重合，因此.‎ ‎3.【2012高考真题湖南理9】 在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；‎ 曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为，‎ 由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知.‎ ‎【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得.‎ ‎4.【2012高考真题新课标理22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，分别为边的中点，直线交 的外接圆于两点，若，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】1），‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎5.【2012高考真题新课标理23】本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，‎ 且依逆时针次序排列，点的极坐标为 ‎（1）求点的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）点的极坐标为 ‎ 点的直角坐标为 ‎ （2）设；则 ‎ ‎ ‎ （lfxlby）‎ ‎6.【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修：不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，‎ ‎ 或或 ‎ 或 ‎ （2）原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 ‎7.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎ 【解析】不等式可以表示数轴上的点到点和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点到点和点1的距离之和最小时即是在点和点1之间时，此时距离和为，要使不等式有解，则，解得.‎ ‎8.【2012高考真题陕西理15】（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，，垂足为F，若，，则 .[ZXX K]‎ ‎[学+ 【答案】5.‎ ‎ 【解析】.连接AD，则∽，,‎ ‎, 又∽,,即.‎ ‎9.【2012高考真题陕西理15】（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎ ‎ ‎【解析】直线与圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为.‎ ‎10.【2012高考真题上海理3】函数的值域是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，因为，所以，，即函数的值域为。‎ ‎【2012高考真题上海理10】如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，‎ 若将的极坐标方程写成的形式，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线上的任一点为P,因为,所以,根据正弦定理得,即，即。‎ ‎11.【2012高考真题江西理15】（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________。‎ ‎【命题立意】本题考查参数方程，考查极坐标与平面直角坐标系之间的转化。‎ ‎【解析】因为，所以代入直角坐标方程整理得，所以，即极坐标方程为。‎ ‎【答案】‎ ‎12.【2012高考真题辽宁理22】(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲 ‎ 如图，⊙O和⊙相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。证明 ‎ (Ⅰ)；‎ ‎ (Ⅱ) 。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形相似这一知识点考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重．‎ ‎13.【2012高考真题辽宁理23】(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标中，圆，圆。‎ ‎ (Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎ (Ⅱ)求出的公共弦的参数方程。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成．本题要注意圆的圆心为半径为，圆的圆心为半径为，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。对于极坐标和参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．‎ ‎14.【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 ‎ 已知，不等式的解集为。‎ ‎ (Ⅰ)求a的值；‎ ‎ (Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用，第(Ⅰ)问，要真对的取值情况进行讨论，第(Ⅱ)问要真对的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k的取值范围。本题属于中档题，难度适中．平时复习中，要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。‎ ‎15.【2012高考真题江西理16】（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论的数学思想。‎ ‎【解析】原不等式等价为，方法 （1）讨论：‎ ①当时，不等式等价为，即，，此时；‎ ②当时，不等式等价为，即，恒成立，此时；‎ ③当时，不等式等价为，即，，此时，‎ 综上不等式的解为，所以不等式的解集为。‎ 方法（2）利用绝对值的几何意义，不等式的几何意义是数轴上的点到点的距离之和小于等于3的解。当或时有，所以的解为，所以不等式的解集为。‎ ‎16.【2012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则由得的解集为.‎ ‎【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.‎ ‎17.【2012高考真题湖南理11】如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知 ‎【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知，从而求得圆的半径.‎ ‎18.【2012高考真题湖北理16】（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系. 已知射线与曲线（t为参数）‎ 相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程（t为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线，联立上面两个方程消去有，设两点及其中点的横坐标分别为，则有韦达定理,又由于点点在直线上，因此的中点.‎ ‎19.【2012高考真题北京理9】直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为______。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线的普通方程，圆的普通方程为，可以直线圆相交，故有2个交点。‎ ‎【2012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【解析】，当时，不成立；当时，得；当时，恒成立，故不等式的解集为．‎ ‎20.【2012高考真题广东理15】（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°‎ ‎，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________．‎ ‎【命题立意】本题考查几何证明选讲内容与余弦定理，意在考查学生的思维能力、运算求解能力．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一：连接OA得∠AOP=，所以OP=2，PC=1，‎ 所以，所以。‎ 法二：延长PO交圆于点D，连接AD、OA，则，因为OA=OD，所以,又因为,所以，所以PA=AD，在中，由余弦定理得，，‎ 故．‎ ‎21.【2012高考真题安徽理13】在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查极坐标中的点与直线的距离。‎ ‎【解析】圆的圆心，‎ 直线；点到直线的距离是．‎ ‎22.【2012高考真题天津理12】已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为. 过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = _________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】消去参数得抛物线方程为，准线方程为，因M为抛物线上一点，所以有,又,所以三角形为等边三角形，则，解得。‎ ‎23.【2012高考真题天津理13】如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作 圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图连结BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A ‎，又∠B=∠B，∽，,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得,解得CD=.‎ ‎24.【2012高考江苏21】[选修4 - 1：几何证明选讲] （10分）如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．‎ 求证：．‎ ‎【答案】证明：连接。‎ ‎ ∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。‎ ‎ ∴（垂直的定义）。‎ ‎ 又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。‎ ‎ ∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。‎ ‎ ∴（等腰三角形等边对等角的性质）。‎ ‎ 又∵为圆上位于异侧的两点，‎ ‎ ∴（同弧所对圆周角相等）。‎ ‎ ∴（等量代换）。‎ ‎【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另 一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。‎ ‎ 本题还可连接，利用三角形中位线来求证。‎ ‎25.【2012高考真题福建理21】（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值.‎ ‎（Ⅱ）求A2的逆矩阵.‎ ‎【答案】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查基本运算能力，以及化归与转化思想.‎ ‎ ‎ ‎26.【2012高考真题福建理22】（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点M，N的极坐标分别为（2,0），，圆C的参数方程。‎ ‎（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断直线与圆C的位置关系。‎ ‎【答案】【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意知M（2,0），N（0，），因为P是线段MN中点，则P（1，），‎ 因此PO直角坐标方程为：‎ ‎（Ⅱ）因为直线l上两点M（2,0），N（0，）‎ ‎∴l垂直平分线方程为：，圆心（2，），半径r=2.‎ ‎∴d=,故直线l和圆C相交.‎ ‎【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想。‎ ‎27.【2012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈R，且 ‎【答案】【解析】(1)∵，‎ ‎∴的解集是[-1,1]‎ 故m=1.‎ ‎(2)由（1）知,由柯西不等式得 ‎【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想 ‎28.【2012高考江苏22】[选修4 - 2：矩阵与变换] （10分）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值． ‎ ‎【答案】解：∵，∴。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ ∴矩阵的特征多项式为。‎ ‎ 令，解得矩阵的特征值。‎ ‎【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。‎ ‎【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。‎ ‎29.【2012高考江苏23】[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （10分）在极坐标中，已知圆 经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．‎ ‎【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，‎ ‎∴在中令，得。‎ ‎ ∴圆的圆心坐标为（1，0）。‎ ‎ ∵圆经过点，∴圆的半径为。‎ ‎ ∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。‎ ‎【考点】直线和圆的极坐标方程。‎ ‎【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。‎ ‎30.【2012高考江苏24】[选修4 - 5：不等式选讲] （10分）已知实数x，y满足：求证：．‎ ‎【答案】证明：∵，‎ ‎ 由题设∴。∴。 ‎ ‎【考点】绝对值不等式的基本知识。‎ ‎【解析】根据绝对值不等式的性质求证。‎ ‎ ‎