高考数学专题复习练习第1讲不等关系与不等式 6页

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2021-06-11 发布

高考数学专题复习练习第1讲不等关系与不等式

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第七章不等式第1讲不等关系与不等式一、选择题 ‎1.已知则( )‎ A. B. C. D. ‎ 解析因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.‎ 答案　B ‎2．设00>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有 (　　)．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析　运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.‎ 答案　C ‎4．如果a，b，c满足cac B．c(b－a)>0‎ C．cb20，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．‎ 答案　C ‎5．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于(　　)．‎ A．－＜x＜0或0＜x＜ B．－＜x＜ C．x＜－或x＞ D．x＜－或x＞解析　由题意知a＞0，b＞0，x≠0，‎ ‎(1)当x＞0时，－b＜＜a⇔x＞；‎ ‎(2)当x＜0时，－b＜＜a⇔x＜－.‎ 综上所述，不等式－b＜＜a⇔x＜－或x＞.‎ 答案　D ‎6．若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；条件乙：2b－a>0，则甲是乙的 (　　)．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析　当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b>0成立，‎ ‎∴当a>0时，ax＋b≥b－a>0，‎ 当a<0时，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，‎ ‎∴甲⇒乙，乙推不出甲，例如：a＝b，b>0时，‎ 则2b－a＝b>0，‎ 但是，当x＝－1时，a·(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0，‎ ‎∴甲是乙的充分不必要条件．‎ 答案　A 二、填空题 ‎7．若a10.‎ 答案 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1‎ ‎8．现给出三个不等式：①a2＋1>‎2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．‎ 解析　因为a2－‎2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－‎2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立．‎ 答案　2‎ ‎9．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．‎ 解析　∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，‎ ‎∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，‎ ‎∴z∈[3,8]．‎ 答案　[3,8]‎ ‎10．给出下列四个命题：‎ ‎①若a>b>0，则>；‎ ‎②若a>b>0，则a－>b－；‎ ‎③若a>b>0，则>；‎ ‎④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋≥2.‎ 其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．‎ 解析　①作差可得－＝，而a>b>0，则<0，此式错误．②a>b>0，则 ‎<，进而可得－>－，所以可得a－>b－正确．③－＝＝＝<0，错误．④当a－b<0时此式不成立，错误．‎ 答案　②‎ 三、解答题 ‎11．已知a∈R，试比较与1＋a的大小．‎ 解析　－(1＋a)＝.‎ ‎①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a.‎ ‎②当a＜1且a≠0时，＞0，∴＞1＋a.‎ ‎③当a＞1时，＜0，∴＜1＋a.‎ 综上所述，当a＝0时，＝1＋a；‎ 当a＜1且a≠0时，＞1＋a；‎ 当a＞1时，＜1＋a.‎ ‎12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．‎ 解　由题意，得解得所以f(3)＝‎9a－c＝－f(1)＋f(2)．‎ 因为－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤，‎ 因为－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤.‎ 两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]．‎ ‎13． (1)设x≥1，y≥1，证明 x＋y＋≤＋＋xy；‎ ‎(2)设1＜a≤b≤c，证明 logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.‎ 证明　(1)由于x≥1，y≥1，所以 x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.‎ 将上式中的右式减左式，得 ‎[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．‎ 既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，‎ 从而所要证明的不等式成立．‎ ‎(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得 logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.‎ 于是，所要证明的不等式即为 x＋y＋≤＋＋xy 其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．‎ ‎14．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sin x)≤‎ ‎ f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．‎ 解　假设实数m存在，依题意，‎ 可得即因为sin x的最小值为－1，且－(sin x－)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m＝－或≤m≤3.‎ 所以实数m的取值范围是∪.‎ 探究提高　不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.‎

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