【数学】河南省鹤壁市高级中学2019-2020学年高一适应性月考（6月） 12页

河南省鹤壁市高级中学2019-2020学年 高一适应性月考（6月）‎ ‎ 一．选择题（共12小题，每题5分）‎ ‎1．函数的定义域是（　　）‎ ‎ ‎ 2． 直线ax+y﹣1＝0与圆x2+y2﹣4x﹣4y＝0交于A，B两点，若|AB|＝4，则a＝（　　）‎ ‎ ‎ ‎3．已知一扇形的周长为20cm，当这个扇形的面积最大时，半径R的值为（　　）‎ A．4 cm B．5cm C．6cm D．7cm ‎4．如图，正三角形ABC内的图形来自中国古代的太极图．正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称．在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ B． C． D．‎ ‎5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（　　）‎ A． n＜5 B．n＜6 ‎ C．n≤6 D．n＜9‎ ‎6．已知α是第二象限角，且（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．将函数的图象向右平移个周期后得到函数g（x）的图象，‎ 则g（x）图象的一条对称轴可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．等于（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．平面向量，，且（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若方程有实数解，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数在上单调递增，则ω的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足 ‎．则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（　　）‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 二．填空题（共4小题，每题5分）‎ ‎13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方 零件数x个 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y（min）‎ ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为　 　．‎ ‎14．已知向量　 　．‎ ‎15．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，则x+y的值为　 　．‎ ‎16．给出以下式子：结果为的式子的序号是　 　．‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③‎ 三．解答题（共6小题，17题10分，其余12分）‎ ‎17．已知函数 ‎（1）求集合A.‎ ‎（2）求函数．‎ ‎18．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．‎ ‎19．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40，50）；第二组[50，60）；……；第六组[90，100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；‎ ‎（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内的概率．‎ ‎20．已知向量 ‎（1）求的值 ‎（2）‎ ‎21．已知函数。‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）的最小正周期为2，求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数。‎ ‎22．已知向量 ‎（1）求f（x）递增区间；‎ ‎（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a﹣c）cosB＝bcosC，‎ 求f（A）的取值范围．‎ 参考答案 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．解：要使函数有意义需，‎ 解得x＜1．故选：B．‎ ‎2．解：由圆x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，‎ 则圆心坐标为（2，2），半径为．‎ 圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d，‎ ‎∵|AB|＝4，∴，解得a．故选：D．‎ 3． 解：∵l＝20﹣2R，‎ 4． ‎∴SlR（20﹣2R）•R＝﹣R2+10R＝﹣（R﹣5）2+25‎ ‎∴当半径R＝5cm时，扇形的面积最大为25cm2．故选：B．‎ ‎4．解：设正三角形边长为2，则内切圆的半径为，正三角形的面积为，圆的面积为．‎ 由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．‎ 由几何概型的概率计算公式，‎ 得此点取自黑色部分的概率是：．故选：B．‎ ‎5．解：模拟执行程序框图，可得 S＝0，n＝2；‎ 满足条件，S，n＝4；‎ 满足条件，S，n＝6；‎ 满足条件，S，n＝8；‎ 由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为；‎ 故判断框中填写的内容可以是n≤6．‎ 故选：C．‎ ‎6．解：∵sinα，‎ 又∵α是第二象限角，∴cosα．故选：A．‎ ‎7．解：函数的最小正周期为T，‎ f（x）的图象向右平移个周期后，得y＝f（x）＝2sin[3（x）]＝2sin（3x）的图象，所以函数g（x）＝2sin（3x）；‎ 令3xkπ，k∈Z，解得x，k∈Z；‎ 令k＝1，得x，所以g（x）图象的一条对称轴是x．故选：D．‎ ‎8．解：（cos1﹣sin1）故选：B．‎ ‎9．解：依题意，由||＝||，可得 ‎||2＝||2，即（）2＝（）2，‎ 化简整理，得，∴1×（﹣1）+m0，‎ 解得m，∴（1，），∴||．故选：A．‎ ‎10．解：方程1﹣2cos2x﹣sinx+a＝0可化为a＝2cos2x+sinx﹣1，‎ 则a＝﹣2sin2x+sinx+1＝﹣2，‎ 由sinx∈[﹣1，1]，∴∈[0，]，‎ ‎∴﹣2∈[﹣2，]，即实数a的取值范围是[﹣2，]．故选：B．‎ ‎11．解：函数f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．‎ 化简可得：f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣sin（ωx+2φ）+sinωx＝sinωx，‎ 由2kπ≤ωx2kπ，（k∈Z）上单调递增，‎ 得：x，k∈Z；‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为：[，]，（k∈Z）．‎ ‎∵在（π，）上单调递减，‎ 可得：，解得，（k∈Z）．‎ 又ω＞0，‎ 当k＝0时，可得0＜ω；‎ 当k＝1时，可得ω．故选：D．‎ ‎12．解：由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径，‎ 所以动点P满足λ（）2λR（）．因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点，‎ 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心．故选：C．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．解：设表中有一个模糊看不清数据为m．‎ 由表中数据得：，，‎ 由于由最小二乘法求得回归方程．‎ 将x＝30，y代入回归直线方程，得m＝68．故答案为：68．‎ ‎14．解：∵向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），‎ ‎∴（m﹣1，3），∵与共线，‎ ‎∴，解得实数m＝3．故答案为：3．‎ ‎15．解：如图，‎ ‎∵AD＝DB，BE＝2EC；‎ ‎∴，，且；‎ ‎∴；‎ 又；∴根据平面向量基本定理得，；‎ ‎∴．故答案为：．‎ ‎16．解：①∵tan60°＝tan（25°+35°），‎ tan25°+tan35°tan25°tan35°；‎ tan25°tan35°，‎ ‎②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），‎ ‎＝2sin60°；‎ ‎③tan（45°+15°）＝tan60°；‎ 故答案为：①②③‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．解：（1）∵函数f（x）＝2x为增函数，‎ ‎∴由，得，‎ ‎∴．即集合A＝[，4]；...................................................................................4分 ‎（2）∵，∴﹣1≤log2x≤2，‎ 令t＝log2x（﹣1≤t≤2），‎ 则函数g（x）＝（log2x）2﹣log2x2化为y＝t2﹣2t，‎ ‎∴当t＝1时，ymin＝﹣1，当t＝﹣1时，ymax＝3．‎ ‎∴函数y＝g（x），x∈A的值域为[﹣1，3]．....................................................................10分 ‎18．解：（Ⅰ）证明：因为△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，所以AD⊥CD．‎ 又∠BDC＝90°，所以BD⊥CD．因为AD与BD交于点D，所以CD⊥面ABD．...5分 ‎（Ⅱ）解：如图，取BC的中点E，连DE、AE 因为AB＝AC，则AE⊥BC．因为BD＝CD，则DE⊥BC．‎ 所以∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角．..................................................................7分 因为AD⊥BD，AD⊥CD，所以AD⊥面BCD．‎ 设AD＝1，则BD＝DC＝1，AB＝AC＝BC．‎ 从而△ABC是正三角形，所以AE．‎ 在Rt△ADE中，sin∠AED．‎ 所以cos∠AED，‎ 故二面角A﹣BC﹣D的余弦值为：．...................................................................12分 ‎19．解：（1）∵各组的频率之和为1，‎ ‎∴成绩在区间[80，90）内的频率为：‎ ‎1﹣（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10＝0.1，.....................................................1分 ‎∴平均分为：‎ ‎0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95＝68，...................... .3分 众数的估计值是65．......................................................................................5分 ‎（2）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，‎ 至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内”，由题意可知成绩在区间[80，90）内的学生所选取的有：‎ ‎40×0.1＝4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，‎ 成绩在区间[90，100]内的学生有0.005×10×40＝2人，记这2名学生分别为e，f，‎ 则从这6人中任选2人的基本事件为：‎ ‎（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种，............................................10分 事件“至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内”的可能结果为：‎ ‎（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共9种，‎ ‎∴至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内的概率P（A）,...... ..............12分 ‎20．解：（1）∵向量（﹣sinx，2），（1，cosx），‎ ‎∴函数f（x）•sinx+2cosx，‎ ‎∴f（）；.........................................................................................................4分 ‎（2）∵⊥，‎ ‎∴f（x）•sinx+2cosx＝0，‎ ‎∴tanx＝2，.......................................................................................................................7分 ‎∴g（x）．....12分 ‎21．解：（Ⅰ）因为函数f（x）sincossin2，‎ sin，‎ ‎ ＝sin（ωx）...........................................................3分 因为f（x）的最小正周期为2，即，所以ω＝π．..................................5分 ‎（Ⅱ）因为，ω＞0，‎ 所以，......................................................................................7分 若f（x）在区间[0，]上取到最大值，只需，‎ 所以． ....................................................................................................12分 ‎22．解：（1）f（x）•（3分）‎ 由得：，‎ ‎∴f（x）的递增区间为（6分）‎ ‎（2）∵（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，‎ ‎∴2sinAcosB﹣sinCcosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin（B+C），‎ ‎∵A+B+C＝π，∴sin（B+C）＝sinA≠0，∴（8分）‎ ‎∵0＜B＜π，∴，∴，‎ ‎∴，，‎ 又∵，∴，‎ 故函数f（A）的取值范围是（12分）‎