2018年辽宁省沈阳市高考一模数学文 13页

2018 年辽宁省沈阳市高考一模数学文 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合 B={x|x＜1}，则 A∩B 等于( ) A.(1，3) B.(﹣∞，﹣1) C.(﹣1，1) D.(﹣3，1) 解析：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合 B={x|x＜1}， 则 A∩B={x|﹣1＜x＜1}=(﹣1，1). 答案：C 2.已知 i 为虚数单位，复数 1 12 i i   的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：∵         1 1 2 12 1 1 3 1 2 5 512 ii i i i ii       ， ∴复数 1 12 i i   的共扼复数为 13 55i ，在复平面内对应的点的坐标为( 13,55 )，位于第二象 限. 答案：B 3.已知平面向量    2 1 3a x b＝ ， ，＝ ， ，且 a b b，则实数 x 的值为( ) A. 23 B. 23 C. 43 D. 63 解析：根据题意，向量 ， 则  33a b x   ， ， 又由 ，则     3 1 3 3 0a b b x         ， 解可得 x= . 答案：B 4.已知 tanθ =2，则 2sin cos sinsin     的值为( ) A.19 5 B.16 5 C. 23 10 D.17 10 解析：∵tanθ =2，则 2 2 22 sin cos 1 sinsin 1sin tan sin cos          2 2 1 tan 3 4 231 2 2 4 1 10tan 1         . 答案：C 5.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的 x 的值为( ) A.﹣3 B.﹣3 或 9 C.3 或﹣9 D.﹣9 或﹣3 解析：输出才结果为零，有 y=0 由程序框图可知，当：y=( 1 2 )x﹣8=0 时，解得选 x=﹣3； 当 y=2﹣log3x=0，解得 x=9. 综上，有 x=﹣3，或者 9. 答案：B 6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( ) A. 4 4 2 B. 4 2 2 C.8 4 2 D. 8 3 解析：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是 P﹣ABCD， 其中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PC⊥平面 ABCD，如图， PB=PD= 222 2 2 2 ， ∴该四棱锥的侧面积是： S=S△PBC+S△PDC+S△PAB+S△PAD = 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 22 2 2 2             . 答案：A 7.在等差数列{an}中，若 Sn 为前 n 项和，2a7=a8+5，则 S11 的值是( ) A.55 B.11 C.50 D.60 解析：由等差数列{an}的性质可得：a6=2a7﹣a8=5， 则  1 11 11 6 11 11 552 aa Sa     . 答案：A 8.甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大； 甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( ) A.甲是教师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是教师 C.甲是医生，乙是教师，丙是记者 D.甲是记者，乙是医生，丙是教师 解析：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者， 从而排除 B 和 D； 由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生. 答案：C 9.已知函数    sin 2 3f x x ＝ ，以下命题中假命题是( ) A.函数 f(x)的图象关于直线 12x  对称 B. 6x  是函数 f(x)的一个零点 C.函数 f(x)的图象可由 g(x)=sin2x 的图象向左平移 3  个单位得到 D.函数 f(x)在 0 12   ， 上是增函数 解析：对于 A，当 12x  时，函数 f(x)=sin(2×12 3  )=1 为最大值， ∴f(x)的图象关于直线 12x  对称，A 正确； 对于 B，当 6x  时，函数 f(x)=sin(﹣2× 63  )=0， ∴ 6x  是函数 f(x)的一个零点，B 正确； 对于 C，函数 f(x)=sin(2x+ )=sin2(x+ 6  )， 其图象可由 g(x)=sin2x 的图象向左平移 6  个单位得到，∴C 错误； 对于 D，x∈[0，12  ]时， 2 3 3 2x    ， ， ∴函数 f(x)=sin(2x+ 3  )在 上是增函数，D 正确. 答案：C 10.设函数 f(x)=xex+1，则( ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D.x=﹣1 为 f(x)的极小值点 解析：由于 f(x)=xex，可得 f′(x)=(x+1)ex， 令 f′(x)=(x+1)ex=0 可得 x=﹣1， 令 f′(x)=(x+1)ex＞0 可得 x＞﹣1，即函数在(﹣1，+∞)上是增函数 令 f′(x)=(x+1)ex＜0 可得 x＜﹣1，即函数在(﹣∞，﹣1)上是减函数 所以 x=﹣1 为 f(x)的极小值点. 答案：D 11.已知双曲线 22 221yx ab  ＝ (a＞0，b＞0)，O 为坐标原点，F 为双曲线的右焦点，以 OF 为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点 A，若 6AFO ，则双曲线 C 的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D. 23 3 解析：由直径所对的圆周角为直角，可得 ∠OAF=90°， 在△OAF 中， 6AFO ， 可得 AF=OFcos30°= 3 2 c， 由 AF 为焦点(c，0)到渐近线 bx﹣ay=0 的距离， 即为 22 bc bc bcba   ， 即有 b= 3 2 c， 22 21 2 c c ce a cb c      . 答案：A 12.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x+2)=f(2﹣x)，当 x∈[﹣2，0]时，   2 12 x fx    ＝ ，则在区间(﹣2，6)内关于 x 的方程 f(x)﹣log8(x+2)=0 解的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：对于任意的 x∈R，都有 f(2+x)=f(2﹣x)， ∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)﹣2]=f(x)， ∴函数 f(x)是一个周期函数，且 T=4. 又∵当 x∈[﹣2，0]时，f(x)=( 2 2 )x﹣1，且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且 f(6)=1，则函数 y=f(x)与 y=log 8(x+2)在区间(﹣2，6)上的图象如下图所示： 根据图象可得 y=f(x)与 y=log 8(x+2)在区间(﹣2，6)上有 3 个不同的交点. 答案：C 二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上) 13.设变量 x，y 满足约束条件： 2 1 yx xy x      ，则 z=x﹣3y 的最小值为____. 解析：画出约束条件： 2 1 yx xy x      可行域如下图， 由 z=x﹣3y 得 1 33 zyx； 平移直线 1 33 zyx， 由图象可知当直线经过点 B 时， 直线 1 33 zyx的截距最大，此时 z 最小， 由 1 2 x xy    ＝ ＝ 解得， B(﹣1，3)； 故此时 z=﹣1﹣3×3=﹣10. 答案：﹣10 14.已知抛物线 y2=4x 的一条弦 AB 恰好以 P(1，1)为中点，则弦 AB 所在直线方程是____. 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入抛物线方程得 y1 2=4x1，①，y2 2=4x2，②， ①﹣②整理得 12 1 2 1 2 4 2yyk x x y y    ， 则弦 AB 所在直线方程为 y﹣1=2(x﹣1)， 即为 2x﹣y﹣1=0. 答案：2x﹣y﹣1=0 15.在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=3an﹣2an﹣1(n≥2)，则 an=____. 解析：∵an+1=3an﹣2an﹣1(n≥2)， ∴an+1﹣an=2an﹣2an﹣1=2(an﹣an﹣1)(n≥2)， 可得： a3﹣a2=2(a2﹣a1) a4﹣a3=2(a3﹣a2) … an+1﹣an=2(an﹣an﹣1) 相加可得：an+1﹣a2=2(an﹣a1)，可得：an+1﹣2=2(an﹣1)，即：an+1=2an， ∴数列{an}是等比数列，n∈N*， ∴an＝2n-1(n∈N*). 答案：2n﹣1(n∈N*) 16.已知正四棱锥 S﹣ABCD 中， 63SA  ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为____. 解析：设正四棱锥 S﹣ABCD 的底面边长为 a，则高 2 2 2 2 10822 ah SA a    ， ∴体积 6 24111083 3 2 aV a h a   ， 设 y=108a4﹣ 1 2 a6， 则 y′=432a3﹣3a5， 由 y′=432a3﹣3a5=0，解得 a=0 或 a=12， ∴当 a=12 时，体积最大， 此时 h= 144108 2 =6. 答案：6 三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 25cos 325 A AB AC＝ ， ＝ . (1)求△ABC 的面积； (2)若 b+c=6，求 a 的值. 解析：(1)利用二倍角公式求出余弦函数值，利用同角三角函数基本关系式求出正弦函数值， 利用向量的数量积求出 bc，然后求解三角形的面积. (2)利用余弦定理以及(1)的结果，代入求解即可. 答案：(1)因为 25cos 25 A ＝ ， 所以 2 34cos 2 cos 1 sin2 5 5 AAA＝ ＝ ， ＝ . 又由 3AB AC ＝ 得 bccosA=3，所以 bc=5 因此 1 sin 22ABCS bc A＝ ＝ . (2)由(1)知，bc=5，又 b+c=6， 由余弦定理，得  22 2 2 162 cos 205a b c bc A b c bc   ＝ ＝ ＝ ，所以 25a  18.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在 哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了 55 人，从美国某城市的高中 生中随机抽取了 45 人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占 2 5 、朋友聚集的地方 占 3 10 、个人空间占 3 10 .美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占 3 5 、家占 1 5 、个人空间 占 1 5 . (Ⅰ)请根据以上调查结果将下面 2×2 列联表补充完整；并判断能否有 95%的把握认为“恋 家(在家里感到最幸福)”与国别有关； 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计 中国高中生 美国高中生 合计 (Ⅱ)从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4 人接受进一步调查，再 从 4 人中随机抽取 2 人到中国交流学习，求 2 人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概 率. 附：           2 2 n ad bc k a b c d a c b d      ＝ ，其中 n=a+b+c+d. P(k2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 10.828 解析：(Ⅰ)根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； (Ⅱ)根据分层抽样原理，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 答案：(Ⅰ)由已知得， 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计 中国高中生 22 33 55 美国高中生 9 36 45 合计 31 69 100 ∴  2 2 100 22 36 9 33 100 11 3 4.628 3.84131 69 55 45 31 23K         ＝ ＞ ， ∴有 95%的把握认为“恋家”与否与国别有关； (Ⅱ)用分层抽样的方法抽出 4 人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有 3 人， 在“个人空间”感到幸福的有 1 人，分别设为 a1，a2，a3，b； ∵Ω ={(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，b)}，∴n=6； 设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件 A， A={(a1，b)，(a2，b)，(a3，b)}，∴m=3； 则所求的概率为   31 62 mPA n ＝ ＝ ＝ . 19.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M 为 PC 上一点，且 PM=2MC. (1)求证：BM∥平面 PAD； (2)若 AD=2，PD=3， 3BAD  ＝ ，求三棱锥 P﹣ADM 的体积. 解析：(1)法一、过 M 作 MN∥CD 交 PD 于点 N，连接 AN.由已知可得 MN＝ 2 3 CD.又 AB＝ 2 3 CD， 且 AB∥CD，可得 AB∥MN，AB=MN，则四边形 ABMN 为平行四边形，得到 BM∥AN.再由线面平 行的判定可得 BM∥平面 PAD. 法二、过点 M 作 MN⊥CD 于点 N，N 为垂足，连接 BN.由已知可证得四边形 ABND 为平行四边 形，则 BN∥AD.由线面垂直的性质可得 PD⊥DC.结合 MN⊥DC，得到 PD∥MN.再由面面平行的 判定可得平面 MBN∥平面 PAD.从而得到 BM∥平面 PAD； (2)过 B 作 AD 的垂线，垂足为 E.可得 BE⊥平面 PAD.由(1)知，BM∥平面 PAD，可得 M 到平面 PAD 的距离等于 B 到平面 PAD 的距离，然后利用等积法求得三棱锥 P﹣ADM 的体积. 答案：(1)证明：法一、过 M 作 MN∥CD 交 PD 于点 N，连接 AN. ∵PM=2MC，∴MN＝ CD. 又∵AB＝ CD，且 AB∥CD， ∴AB∥MN，AB=MN，则四边形 ABMN 为平行四边形， ∴BM∥AN. 又∵BM⊄平面 PAD，AN⊂平面 PAD， ∴BM∥平面 PAD. 法二、过点 M 作 MN⊥CD 于点 N，N 为垂足，连接 BN. 由题意，PM=2MC，则 DN=2NC， 又∵DC=3，DN=2，∴AB=DN，AB∥DN， ∴四边形 ABND 为平行四边形，则 BN∥AD. ∵PD⊥平面 ABCD，DC⊂平面 ABCD，∴PD⊥DC. 又 MN⊥DC，∴PD∥MN. 又∵BN⊂平面 MBN，MN⊂平面 MBN，BN∩MN=N； ∵AD⊂平面 PAD，PD⊂平面 PAD，AD∩PD=D； ∴平面 MBN∥平面 PAD. ∵BM⊂平面 MBN，∴BM∥平面 PAD； (2)过 B 作 AD 的垂线，垂足为 E. ∵PD⊥平面 ABCD，BE⊂平面 ABCD，∴PD⊥BE. 又∵AD⊂平面 PAD，PD⊂平面 PAD，AD∩PD=D. ∴BE⊥平面 PAD. 由(1)知，BM∥平面 PAD， ∴M 到平面 PAD 的距离等于 B 到平面 PAD 的距离，即 BE. 在△ABC 中，AB=AD=2， 3BAD  ＝ ，∴BE= 3 . ∴ 113 3 333P ADM M PAD PADV V S BE   ＝ ＝ ＝ ＝ . 20.已知椭圆 C： 22 221yx ab  ＝ (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，点 21 2P   ， 在椭圆上， 且有 1222PF PF ＝ . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，求△AOB 面积的最大值. 解析：(1)由已知求得 a，把已知点的坐标代入椭圆方程求得 b，则椭圆 C 的标准方程可求； (2)由已知，直线 l 的斜率为零时，不合题意；设直线方程为 x﹣1=my，点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 y 的一元二次方程，写出根与系数的关系，代入 三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得△AOB 面积的最大值. 答案：(1)由 1222PF PF ＝ ，得 2 2 2a＝ ，∴ 2a＝ . 将 代入 22 2 12 yx b  ＝ ，得 b2=1. ∴椭圆 C 的方程为 2 2 12 x y ＝ ； (2)由已知，直线 l 的斜率为零时，不合题意； 设直线方程为 x﹣1=my，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 22 1 22 x m y xy    ＝ ＝ ，得(m2+2)y2+2my﹣1=0， 由韦达定理，得 12 2 12 2 2 2 1 2 myy m yy m       ＝ ＝ ，=12(y1+y2)2-4y1y2=12(-2mm2+2)2-4×(-1m2+2) ∴ 2 1 2 1 2AOBS OF y y ＝   2 2 1 2 1 2 22 1 1 2 1442222 my y y y mm                      22 4 2 222 1122 44 1 2 1 1 mm mm mm                  22 2 2 2 1 1 222121122 1 21 1 m mm m            ， 当且仅当 2 2 11 1 m m   ，即 m=0 时，等号成立. ∴△AOB 面积的最大值为 2 2 . 21.已知函数 f(x)=(x+1)2﹣3alnx，a∈R. (1)求函数 f(x)图象经过的定点坐标； (2)当 a=1 时，求曲线 f(x)在点(1，f(1))处的切线方程及函数 f(x)单调区间； (3)若对任意 x∈[1，e]，f(x)≤4 恒成立，求实数 a 的取值范围. 解析：(1)根据对数函数的性质求出定点的坐标即可； (2)求出函数的导数，计算 f(1)，f′(1)的值，求出切线方程，解关于导函数的不等式，求 出函数的单调区间即可； (3)求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出 f(x)的最大值，定点关于 a 的不等式，解出即 可. 答案：(1)当 x=1 时，ln1=0，所以 f(1)=4， 所以函数 f(x)的图象无论 a 为何值都经过定点(1，4). (2)当 a=1 时，f(x)=(x+1)2﹣3lnx.f(1)=4，   322f x x x  ＝ ，f'(1)=1， 则切线方程为 y﹣4=1×(x﹣1)，即 y=x+3. 在 x∈(0，+∞)时，如果   32 2 0f x x x   ＝ ， 即 71 2[)x   ， 时，函数 f(x)单调递增； 如果   32 2 0f x x x  ＝ ＜ ， 即 71 20x   ， 时，函数 f(x)单调递减. (3)   23 2 2 322a x x af x x xx   ＝ = ，x＞0. 当 a≤0 时，f'(x)＞0，f(x)在[1，e]上单调递增.f(x)min=f(1)=4，f(x)≤4 不恒成立. 当 a＞0 时，设 g(x)=2x2+2x﹣3a，x＞0. ∵g(x)的对称轴为 x= 1 2 ，g(0)=﹣3a＜0， ∴g(x)在(0，+∞)上单调递增，且存在唯一 x0∈(0，+∞)， 使得 g(x0)=0. ∴当 x∈(0，x0)时，g(x)＜0，即 f'(x)＜0，f(x)在(0，x0)上单调递减； ∴当 x∈(x0，+∞)时，g(x)＞0，即 f'(x)＞0，f(x)在(x0，+∞)上单调递增. ∴f(x)在[1，e]上的最大值 f(x)max=max{f(1)，f(e)}. ∴     14 4 f fe    ，得(e+1)2﹣3a≤4， 解得   2 14 3 e a   . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-4：坐 标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1 的参数方程为 cos 1 sin xt yt    ＝ ＝ (t 为参数)，曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+(y﹣2)2=4.以直角坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，射线 l 的极坐标方程为 θ =α ，(0＜α ＜π ) (1)求曲线 C1、C2 的极坐标方程； (2)设点 A、B 为射线 l 与曲线 C1、C2 除原点之外的交点，求|AB|的最大值. 解析：(1)由曲线 C1 的参数方程消去参数 t 得 x2+(y﹣1)2=1，由此能求出曲线 C1 的极坐标方 程；由曲线 C2 的直角坐标方程转化为 x2+y2﹣4y=0，由此能求出曲线 C2 的极坐标方程. (2)联立 2 sin      ＝ ＝ ，得 A|OA|=2sinα ，联立 sin      ＝ ＝ 4 ，得 |OB|=4sinα .由此能求出|AB| 的最大值. 答案：(1)由曲线 C1 的参数方程 cos 1 sin xt yt    ＝ ＝ (t 为参数)消去参数 t 得 x2+(y﹣1)2=1， 即 x2+y2﹣2y=0， ∴曲线 C1 的极坐标方程为 ρ =2sinθ . 由曲线 C2 的直角坐标方程 x2+(y﹣2)2=4，得 x2+y2﹣4y=0， ∴曲线 C2 的极坐标方程 ρ =4sinθ . (2)联立 2 sin      ＝ ＝ ，得 A(2sinα ，α )，∴|OA|=2sinα ， 联立 sin      ＝ ＝ 4 ，得 B(4sinα ，α )，∴|OB|=4sinα . ∴|AB|=|OB|﹣|OA|=2sinα . ∵0＜α ＜π ，∴当 2 ＝ 时，|AB|有最大值 2. [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x﹣a|+3x，其中 a∈R. (1)当 a=1 时，求不等式 f(x)≥3x+|2x+1|的解集； (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求 a 的值. 解析：(1)问题转化为|x﹣1|≥|2x+1|，两边平方求出不等式的解集即可； (2)通过讨论 x 的范围，去掉绝对值得到关于 x 的不等式组，解出即可. 答案：(1)a=1 时，f(x)=|x﹣1|+3x 由 f(x)≥|2x+1|+3x，得|x﹣1|﹣|2x+1|≥0， 故|x﹣1|≥|2x+1|，解得：﹣2≤x≤0， ∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤0}. (2)由|x﹣a|+3x≤0，可得 40 xa xa    ，或 20 xa xa    ＜ . 即 4 xa ax    ，或 2 xa ax    ＜ . ①当 a＞0 时，不等式的解集为 2| axx . 由 12 a   ，得 a=2. ②当 a=0 时，解集为{0}，不合题意. ③当 a＜0 时，不等式的解集为 4| axx . 由 14 a  ，得 a=﹣4. 综上，a=2，或 a=﹣4.