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- 2021-06-11 发布
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2018 年辽宁省沈阳市高考一模数学文
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},集合 B={x|x<1},则 A∩B 等于( )
A.(1,3)
B.(﹣∞,﹣1)
C.(﹣1,1)
D.(﹣3,1)
解析:A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},集合 B={x|x<1},
则 A∩B={x|﹣1<x<1}=(﹣1,1).
答案:C
2.已知 i 为虚数单位,复数 1
12
i
i
的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵
1 1 2
12
1 1 3
1 2 5 512
ii
i
i i
ii
,
∴复数 1
12
i
i
的共扼复数为 13
55i ,在复平面内对应的点的坐标为( 13,55 ),位于第二象
限.
答案:B
3.已知平面向量 2 1 3a x b= , ,= , ,且 a b b,则实数 x 的值为( )
A. 23
B. 23
C. 43
D. 63
解析:根据题意,向量 ,
则 33a b x , ,
又由 ,则 3 1 3 3 0a b b x ,
解可得 x= .
答案:B
4.已知 tanθ =2,则 2sin cos sinsin
的值为( )
A.19
5
B.16
5
C. 23
10
D.17
10
解析:∵tanθ =2,则
2
2
22
sin cos 1 sinsin 1sin tan sin cos
2
2
1 tan 3 4 231 2 2 4 1 10tan 1
.
答案:C
5.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 时,输入的 x 的值为( )
A.﹣3
B.﹣3 或 9
C.3 或﹣9
D.﹣9 或﹣3
解析:输出才结果为零,有 y=0
由程序框图可知,当:y=( 1
2 )x﹣8=0 时,解得选 x=﹣3;
当 y=2﹣log3x=0,解得 x=9.
综上,有 x=﹣3,或者 9.
答案:B
6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( )
A. 4 4 2
B. 4 2 2
C.8 4 2
D. 8
3
解析:由四棱锥的三视图得到该四棱锥是 P﹣ABCD,
其中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PC⊥平面 ABCD,如图,
PB=PD= 222 2 2 2 ,
∴该四棱锥的侧面积是:
S=S△PBC+S△PDC+S△PAB+S△PAD
= 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 22 2 2 2 .
答案:A
7.在等差数列{an}中,若 Sn 为前 n 项和,2a7=a8+5,则 S11 的值是( )
A.55
B.11
C.50
D.60
解析:由等差数列{an}的性质可得:a6=2a7﹣a8=5,
则 1 11
11 6
11
11 552
aa
Sa
.
答案:A
8.甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知:丙的年龄比医生大;
甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是( )
A.甲是教师,乙是医生,丙是记者
B.甲是医生,乙是记者,丙是教师
C.甲是医生,乙是教师,丙是记者
D.甲是记者,乙是医生,丙是教师
解析:由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,
从而排除 B 和 D;
由丙的年龄比医生大,得到乙不是医生,从而乙是教师,甲是医生.
答案:C
9.已知函数 sin 2 3f x x = ,以下命题中假命题是( )
A.函数 f(x)的图象关于直线 12x 对称
B. 6x 是函数 f(x)的一个零点
C.函数 f(x)的图象可由 g(x)=sin2x 的图象向左平移 3
个单位得到
D.函数 f(x)在 0 12
, 上是增函数
解析:对于 A,当 12x 时,函数 f(x)=sin(2×12 3
)=1 为最大值,
∴f(x)的图象关于直线 12x 对称,A 正确;
对于 B,当 6x 时,函数 f(x)=sin(﹣2× 63
)=0,
∴ 6x 是函数 f(x)的一个零点,B 正确;
对于 C,函数 f(x)=sin(2x+ )=sin2(x+ 6
),
其图象可由 g(x)=sin2x 的图象向左平移 6
个单位得到,∴C 错误;
对于 D,x∈[0,12
]时, 2 3 3 2x
, ,
∴函数 f(x)=sin(2x+ 3
)在 上是增函数,D 正确.
答案:C
10.设函数 f(x)=xex+1,则( )
A.x=1 为 f(x)的极大值点
B.x=1 为 f(x)的极小值点
C.x=﹣1 为 f(x)的极大值点
D.x=﹣1 为 f(x)的极小值点
解析:由于 f(x)=xex,可得 f′(x)=(x+1)ex,
令 f′(x)=(x+1)ex=0 可得 x=﹣1,
令 f′(x)=(x+1)ex>0 可得 x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数
令 f′(x)=(x+1)ex<0 可得 x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数
所以 x=﹣1 为 f(x)的极小值点.
答案:D
11.已知双曲线
22
221yx
ab
= (a>0,b>0),O 为坐标原点,F 为双曲线的右焦点,以 OF
为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点 A,若 6AFO ,则双曲线 C 的离心率为( )
A.2
B. 3
C. 2
D. 23
3
解析:由直径所对的圆周角为直角,可得
∠OAF=90°,
在△OAF 中, 6AFO ,
可得 AF=OFcos30°= 3
2
c,
由 AF 为焦点(c,0)到渐近线 bx﹣ay=0 的距离,
即为
22
bc bc bcba
,
即有 b= 3
2
c,
22
21
2
c c ce a cb c
.
答案:A
12.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=f(2﹣x),当 x∈[﹣2,0]时,
2 12
x
fx
= ,则在区间(﹣2,6)内关于 x 的方程 f(x)﹣log8(x+2)=0 解的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:对于任意的 x∈R,都有 f(2+x)=f(2﹣x),
∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)﹣2]=f(x),
∴函数 f(x)是一个周期函数,且 T=4.
又∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( 2
2
)x﹣1,且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,
且 f(6)=1,则函数 y=f(x)与 y=log 8(x+2)在区间(﹣2,6)上的图象如下图所示:
根据图象可得 y=f(x)与 y=log 8(x+2)在区间(﹣2,6)上有 3 个不同的交点.
答案:C
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.设变量 x,y 满足约束条件: 2
1
yx
xy
x
,则 z=x﹣3y 的最小值为____.
解析:画出约束条件: 2
1
yx
xy
x
可行域如下图,
由 z=x﹣3y 得 1
33
zyx;
平移直线 1
33
zyx,
由图象可知当直线经过点 B 时,
直线 1
33
zyx的截距最大,此时 z 最小,
由 1
2
x
xy
=
=
解得,
B(﹣1,3);
故此时 z=﹣1﹣3×3=﹣10.
答案:﹣10
14.已知抛物线 y2=4x 的一条弦 AB 恰好以 P(1,1)为中点,则弦 AB 所在直线方程是____.
解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),
代入抛物线方程得 y1
2=4x1,①,y2
2=4x2,②,
①﹣②整理得 12
1 2 1 2
4 2yyk x x y y
,
则弦 AB 所在直线方程为 y﹣1=2(x﹣1),
即为 2x﹣y﹣1=0.
答案:2x﹣y﹣1=0
15.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=3an﹣2an﹣1(n≥2),则 an=____.
解析:∵an+1=3an﹣2an﹣1(n≥2),
∴an+1﹣an=2an﹣2an﹣1=2(an﹣an﹣1)(n≥2),
可得:
a3﹣a2=2(a2﹣a1)
a4﹣a3=2(a3﹣a2)
…
an+1﹣an=2(an﹣an﹣1)
相加可得:an+1﹣a2=2(an﹣a1),可得:an+1﹣2=2(an﹣1),即:an+1=2an,
∴数列{an}是等比数列,n∈N*,
∴an=2n-1(n∈N*).
答案:2n﹣1(n∈N*)
16.已知正四棱锥 S﹣ABCD 中, 63SA ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为____.
解析:设正四棱锥 S﹣ABCD 的底面边长为 a,则高
2 2
2 2 10822
ah SA a
,
∴体积
6
24111083 3 2
aV a h a ,
设 y=108a4﹣ 1
2 a6,
则 y′=432a3﹣3a5,
由 y′=432a3﹣3a5=0,解得 a=0 或 a=12,
∴当 a=12 时,体积最大,
此时 h= 144108 2 =6.
答案:6
三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 25cos 325
A AB AC= , = .
(1)求△ABC 的面积;
(2)若 b+c=6,求 a 的值.
解析:(1)利用二倍角公式求出余弦函数值,利用同角三角函数基本关系式求出正弦函数值,
利用向量的数量积求出 bc,然后求解三角形的面积.
(2)利用余弦定理以及(1)的结果,代入求解即可.
答案:(1)因为 25cos 25
A = ,
所以 2 34cos 2 cos 1 sin2 5 5
AAA= = , = .
又由 3AB AC = 得 bccosA=3,所以 bc=5
因此 1 sin 22ABCS bc A= = .
(2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6,
由余弦定理,得 22 2 2 162 cos 205a b c bc A b c bc = = = ,所以 25a
18.高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在
哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了 55 人,从美国某城市的高中
生中随机抽取了 45 人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占 2
5 、朋友聚集的地方
占 3
10 、个人空间占 3
10 .美国高中生答题情况是:朋友聚集的地方占 3
5 、家占 1
5 、个人空间
占 1
5 .
(Ⅰ)请根据以上调查结果将下面 2×2 列联表补充完整;并判断能否有 95%的把握认为“恋
家(在家里感到最幸福)”与国别有关;
在家里最幸福 在其它场所幸福 合计
中国高中生
美国高中生
合计
(Ⅱ)从被调查的不“恋家”的美国学生中,用分层抽样的方法选出 4 人接受进一步调查,再
从 4 人中随机抽取 2 人到中国交流学习,求 2 人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概
率.
附:
2
2 n ad bc
k
a b c d a c b d
= ,其中 n=a+b+c+d.
P(k2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 3.841 5.024 6.635 10.828
解析:(Ⅰ)根据题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;
(Ⅱ)根据分层抽样原理,利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.
答案:(Ⅰ)由已知得,
在家里最幸福 在其它场所幸福 合计
中国高中生 22 33 55
美国高中生 9 36 45
合计 31 69 100
∴ 2
2 100 22 36 9 33 100 11 3 4.628 3.84131 69 55 45 31 23K
= > ,
∴有 95%的把握认为“恋家”与否与国别有关;
(Ⅱ)用分层抽样的方法抽出 4 人,其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有 3 人,
在“个人空间”感到幸福的有 1 人,分别设为 a1,a2,a3,b;
∵Ω ={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a3),(a2,b),(a3,b)},∴n=6;
设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件 A,
A={(a1,b),(a2,b),(a3,b)},∴m=3;
则所求的概率为 31
62
mPA n
= = = .
19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥CD,AB=2,CD=3,M 为 PC 上一点,且
PM=2MC.
(1)求证:BM∥平面 PAD;
(2)若 AD=2,PD=3, 3BAD = ,求三棱锥 P﹣ADM 的体积.
解析:(1)法一、过 M 作 MN∥CD 交 PD 于点 N,连接 AN.由已知可得 MN= 2
3 CD.又 AB= 2
3 CD,
且 AB∥CD,可得 AB∥MN,AB=MN,则四边形 ABMN 为平行四边形,得到 BM∥AN.再由线面平
行的判定可得 BM∥平面 PAD.
法二、过点 M 作 MN⊥CD 于点 N,N 为垂足,连接 BN.由已知可证得四边形 ABND 为平行四边
形,则 BN∥AD.由线面垂直的性质可得 PD⊥DC.结合 MN⊥DC,得到 PD∥MN.再由面面平行的
判定可得平面 MBN∥平面 PAD.从而得到 BM∥平面 PAD;
(2)过 B 作 AD 的垂线,垂足为 E.可得 BE⊥平面 PAD.由(1)知,BM∥平面 PAD,可得 M 到平面
PAD 的距离等于 B 到平面 PAD 的距离,然后利用等积法求得三棱锥 P﹣ADM 的体积.
答案:(1)证明:法一、过 M 作 MN∥CD 交 PD 于点 N,连接 AN.
∵PM=2MC,∴MN= CD.
又∵AB= CD,且 AB∥CD,
∴AB∥MN,AB=MN,则四边形 ABMN 为平行四边形,
∴BM∥AN.
又∵BM⊄平面 PAD,AN⊂平面 PAD,
∴BM∥平面 PAD.
法二、过点 M 作 MN⊥CD 于点 N,N 为垂足,连接 BN.
由题意,PM=2MC,则 DN=2NC,
又∵DC=3,DN=2,∴AB=DN,AB∥DN,
∴四边形 ABND 为平行四边形,则 BN∥AD.
∵PD⊥平面 ABCD,DC⊂平面 ABCD,∴PD⊥DC.
又 MN⊥DC,∴PD∥MN.
又∵BN⊂平面 MBN,MN⊂平面 MBN,BN∩MN=N;
∵AD⊂平面 PAD,PD⊂平面 PAD,AD∩PD=D;
∴平面 MBN∥平面 PAD.
∵BM⊂平面 MBN,∴BM∥平面 PAD;
(2)过 B 作 AD 的垂线,垂足为 E.
∵PD⊥平面 ABCD,BE⊂平面 ABCD,∴PD⊥BE.
又∵AD⊂平面 PAD,PD⊂平面 PAD,AD∩PD=D.
∴BE⊥平面 PAD.
由(1)知,BM∥平面 PAD,
∴M 到平面 PAD 的距离等于 B 到平面 PAD 的距离,即 BE.
在△ABC 中,AB=AD=2, 3BAD = ,∴BE= 3 .
∴ 113 3 333P ADM M PAD PADV V S BE = = = = .
20.已知椭圆 C:
22
221yx
ab
= (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 21 2P
, 在椭圆上,
且有 1222PF PF = .
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,求△AOB 面积的最大值.
解析:(1)由已知求得 a,把已知点的坐标代入椭圆方程求得 b,则椭圆 C 的标准方程可求;
(2)由已知,直线 l 的斜率为零时,不合题意;设直线方程为 x﹣1=my,点 A(x1,y1),B(x2,
y2),联立直线方程与椭圆方程,化为关于 y 的一元二次方程,写出根与系数的关系,代入
三角形面积公式,整理后利用基本不等式求得△AOB 面积的最大值.
答案:(1)由 1222PF PF = ,得 2 2 2a= ,∴ 2a= .
将 代入
22
2 12
yx
b
= ,得 b2=1.
∴椭圆 C 的方程为
2
2 12
x y = ;
(2)由已知,直线 l 的斜率为零时,不合题意;
设直线方程为 x﹣1=my,点 A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
22
1
22
x m y
xy
=
=
,得(m2+2)y2+2my﹣1=0,
由韦达定理,得
12 2
12 2
2
2
1
2
myy
m
yy
m
=
=
,=12(y1+y2)2-4y1y2=12(-2mm2+2)2-4×(-1m2+2)
∴ 2 1 2
1
2AOBS OF y y =
2
2
1 2 1 2 22
1 1 2 1442222
my y y y
mm
22
4 2 222
1122
44 1 2 1 1
mm
mm mm
22 2
2 2
1 1 222121122 1 21 1
m mm m
,
当且仅当 2
2
11
1
m
m
,即 m=0 时,等号成立.
∴△AOB 面积的最大值为 2
2
.
21.已知函数 f(x)=(x+1)2﹣3alnx,a∈R.
(1)求函数 f(x)图象经过的定点坐标;
(2)当 a=1 时,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程及函数 f(x)单调区间;
(3)若对任意 x∈[1,e],f(x)≤4 恒成立,求实数 a 的取值范围.
解析:(1)根据对数函数的性质求出定点的坐标即可;
(2)求出函数的导数,计算 f(1),f′(1)的值,求出切线方程,解关于导函数的不等式,求
出函数的单调区间即可;
(3)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围求出 f(x)的最大值,定点关于 a 的不等式,解出即
可.
答案:(1)当 x=1 时,ln1=0,所以 f(1)=4,
所以函数 f(x)的图象无论 a 为何值都经过定点(1,4).
(2)当 a=1 时,f(x)=(x+1)2﹣3lnx.f(1)=4, 322f x x x = ,f'(1)=1,
则切线方程为 y﹣4=1×(x﹣1),即 y=x+3.
在 x∈(0,+∞)时,如果 32 2 0f x x x = ,
即 71
2[)x , 时,函数 f(x)单调递增;
如果 32 2 0f x x x = < ,
即 71
20x
, 时,函数 f(x)单调递减.
(3)
23 2 2 322a x x af x x xx
= = ,x>0.
当 a≤0 时,f'(x)>0,f(x)在[1,e]上单调递增.f(x)min=f(1)=4,f(x)≤4 不恒成立.
当 a>0 时,设 g(x)=2x2+2x﹣3a,x>0.
∵g(x)的对称轴为 x= 1
2 ,g(0)=﹣3a<0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,且存在唯一 x0∈(0,+∞),
使得 g(x0)=0.
∴当 x∈(0,x0)时,g(x)<0,即 f'(x)<0,f(x)在(0,x0)上单调递减;
∴当 x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,即 f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)上单调递增.
∴f(x)在[1,e]上的最大值 f(x)max=max{f(1),f(e)}.
∴
14
4
f
fe
,得(e+1)2﹣3a≤4,
解得 2
14
3
e
a
.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐
标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 的参数方程为 cos
1 sin
xt
yt
=
=
(t 为参数),曲线 C2
的直角坐标方程为 x2+(y﹣2)2=4.以直角坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系,射线 l 的极坐标方程为 θ =α ,(0<α <π )
(1)求曲线 C1、C2 的极坐标方程;
(2)设点 A、B 为射线 l 与曲线 C1、C2 除原点之外的交点,求|AB|的最大值.
解析:(1)由曲线 C1 的参数方程消去参数 t 得 x2+(y﹣1)2=1,由此能求出曲线 C1 的极坐标方
程;由曲线 C2 的直角坐标方程转化为 x2+y2﹣4y=0,由此能求出曲线 C2 的极坐标方程.
(2)联立
2 sin
=
=
,得 A|OA|=2sinα ,联立
sin
=
= 4
,得 |OB|=4sinα .由此能求出|AB|
的最大值.
答案:(1)由曲线 C1 的参数方程 cos
1 sin
xt
yt
=
=
(t 为参数)消去参数 t 得 x2+(y﹣1)2=1,
即 x2+y2﹣2y=0,
∴曲线 C1 的极坐标方程为 ρ =2sinθ .
由曲线 C2 的直角坐标方程 x2+(y﹣2)2=4,得 x2+y2﹣4y=0,
∴曲线 C2 的极坐标方程 ρ =4sinθ .
(2)联立
2 sin
=
=
,得 A(2sinα ,α ),∴|OA|=2sinα ,
联立
sin
=
= 4
,得 B(4sinα ,α ),∴|OB|=4sinα .
∴|AB|=|OB|﹣|OA|=2sinα .
∵0<α <π ,∴当 2
= 时,|AB|有最大值 2.
[选修 4-5:不等式选讲]
23.已知函数 f(x)=|x﹣a|+3x,其中 a∈R.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+|2x+1|的解集;
(2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},求 a 的值.
解析:(1)问题转化为|x﹣1|≥|2x+1|,两边平方求出不等式的解集即可;
(2)通过讨论 x 的范围,去掉绝对值得到关于 x 的不等式组,解出即可.
答案:(1)a=1 时,f(x)=|x﹣1|+3x
由 f(x)≥|2x+1|+3x,得|x﹣1|﹣|2x+1|≥0,
故|x﹣1|≥|2x+1|,解得:﹣2≤x≤0,
∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤0}.
(2)由|x﹣a|+3x≤0,可得
40
xa
xa
,或
20
xa
xa
<
.
即
4
xa
ax
,或
2
xa
ax
<
.
①当 a>0 时,不等式的解集为 2| axx .
由 12
a ,得 a=2.
②当 a=0 时,解集为{0},不合题意.
③当 a<0 时,不等式的解集为 4| axx .
由 14
a ,得 a=﹣4.
综上,a=2,或 a=﹣4.
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