高一数学专题练习：教师版任意角与弧度制(含答案) 8页

一、任意角 ‎1、角的推广 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。‎ ‎①、按逆时针方向旋 转所形成的角叫正角 ‎②、顺时针方向旋转所形成的角叫负角，‎ ‎③、当一条射线没有作任何旋转时，称为零角 ‎2、象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角 象限角的注意 ‎①主要是固定好始边看终边 ‎②坐标轴上的角不叫象限角 第一象限角的集合为 ‎ 第二象限 第三象限 ‎ 第四象限 终边在轴上的角的集合为 ‎ 终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 ‎3、终边相同的角的表示 ‎ S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 任意两个角α，β同终边的条件是：（或）‎ ‎4、角与二倍角、半角的象限关系。‎ 角a 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角2a 角1/2a 5、 已知α是第二象限的角，判断所在的象限.‎ ‎ 分析：由.‎ 法（1）按k=3n,k=3n+1,k=3n+2（以上n均为整数）讨论.‎ 法（2）把 ‎ 答案：是第一、二、四象限的角.‎ 探索：若α分别在第一、二、三、四象限，分别在第几象限？‎ 经典考点一、任意角的概念问题 ‎1．设集合，，，‎ ‎，则下列关系成立的是（ ）．‎ A．　　B．　　C．()　　D．‎ 解析．D 对于集合，即，再结合第一象限的条件，即得锐角．‎ ‎2、已知集合{第一象限的角}，{锐角}，{小于90o的角}，下列四个命题：‎ ‎ ① ② ③ ④‎ 正确的命题个数是 （ ）‎ ‎ A．1个 B .2个. C.3个. D.4个.‎ ‎3、下列命题是真命题的是（ ）‎ Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角 C．不相等的角终边一定不同D．=‎ 经典考点二、终边相同的角以及象限角 ‎1、－1120°角所在象限是 （ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．‎ 解析:‎ ‎3.与610°角终边相同的角表示为 （ ）‎ A. k·360°+230°(k∈Z) B. k·360°+250°(k∈Z)‎ C. k·360°+70°(k∈Z) D. k·360°+270°(k∈Z)‎ 答案 B ‎4．将化为的形式是（ ）．‎ A． B． ‎ C． D．‎ 解析：．B ‎ ‎5.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )‎ ‎(A){α|α=k·360°，k∈Z} (B){α|α=k·180°+90°，k∈Z}‎ ‎(C){α|α=k·180°，k∈Z} (D){α|α=k·90°，k∈Z}‎ ‎6．若；；，则下列关系中正确的是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ D 集合为终边在轴非负半轴上角的集合；集合为终边在轴上角的集合；‎ 集合为终边在坐标轴上角的集合；因此．‎ ‎7．已知集合，，‎ 若，且，则由角组成的集合为__________．‎ 解析： ‎ ‎，‎ ‎，角组成的集合为．‎ ‎8、设集合, ‎ ‎,求,. ‎ ‎、∵‎ ‎∴；‎ ‎ 。‎ ‎9．已知，判断角所在象限．‎ 解： ∵，‎ ‎∴可设，‎ 当时，在第一象限，‎ 当时，在第二象限,‎ ‎∴角在第一或第二象限．‎ ‎10.若角α、β的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z） ( )‎ ‎(A) α+β=π （B) α-β= (C) α-β=(2k+1)π (D) α+β=(2k+1)π 经典考点三、分角象限的确实 ‎1.若α是第四象限角，则180°－α是( ) ‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎2.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）‎ Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 解析：B ‎3.角α＝45°＋ｋ·90°的终边在第 象限.‎ ‎4.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 （ ） ‎ ‎(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α ‎5．下列说法中正确的是（ ）．‎ A．终边在轴非负半轴上的角是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．若，则与终边相同 解析：D 角终边在轴非负半轴上，但不是直角．角在第二象限，但不是钝角，角在第四象限，但不是负角．‎ ‎6、.试写出所有终边在直线上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.‎ 经典考点四、区域角的表示 ‎1．若集合，，‎ 则集合为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 解析：C ‎ ‎2、写出所夹区域内的角的集合。‎ ‎【解题思路】任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.‎ 解：当终边落在上时，角的集合为； ‎ 当终边落在上时，角的集合为；‎ 所以，按逆时针方向旋转有集合：．‎ ‎【名师指引】把一条直线分成两部分，分别写出它们对应角的集合，最后求并集即可．‎ ‎3、两角和差的范围 ‎（1）．设角、满足，则的范围是___________．‎ 解析： ∵，∴，又，，‎ ‎∴．综上可知的范围是 两角和差的范围的计算 ‎（2） 若，则 _____ ； ___ ； ___ ； _________ 。 ‎ 若为锐角，为钝角，则____________；_____________。‎ ‎4、如图所示的平面区域，试用角的区间表示这些角的集合（用绝对值最小的角表示，而不用表示）‎ ‎5．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）‎ ‎ （1） （2） （3）‎ 解析：（1）； ‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3）．‎ 二、弧度制的学习 ‎1、 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，‎ ‎2、弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。‎ ‎3、弧度制的注意点 ‎①弧度的角与所选择圆的半径无关 ‎②弧度的单位是rad 经常可以省略不写 ‎③弧度与角度除了零其他量都不能等同。‎ ‎④弧度是实数 ‎4、若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。‎ 弧长公式：. 扇形面积公式：‎ ‎5、弧度转化为角度： 1弧度＝°≈57.30°=57°18ˊ．‎ ‎6、角度换成弧度公式： 1°＝≈0.01745‎ ‎7、熟记常用的角度和弧度 角度 弧度 三、弧度制的考点分析 ‎（一）弧度制和角度制的意义 ‎[弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度]‎ ‎1、下列说法正确的是（ ）‎ A、1弧度是1度的圆心角所对的弧 B、1弧度是长度为半径的弧 C、1弧度是 1度的弧与1度的角之和 D、弧度是角的度量单位 ‎2、下列说法不正确的是（ ）‎ A、度和弧度是度量角的两种不同的单位 B、1弧度是圆周的所对的圆心角 C、有弧度的定义一定有180度等于弧度 D、弧度与角度都与圆的半径相关 ‎（二）弧度与角度的相互转化 ‎1弧度＝° 1°＝≈0.01745‎ ‎[我们要熟练的使用 两者的转化，学会灵活运用弧度制]‎ ‎1．化为弧度为（ ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ 解析．B ［］‎ ‎2．三角形三内角的比是7∶8∶15，各内角的弧度数分别是_______．‎ 解析：设三角形的三内角分别是，则故 所以各内角的弧度数分别是 ‎3、已知A=1，B=1度，C=，试比较这四个角的大小。‎ ‎4、把-1480度写成的形式。‎ ‎（三）弧长公式与扇形公式的运用 弧长公式：. 扇形面积公式：‎ ‎[学生自己理解和推导两个公式]‎ ‎1．半径为cm，中心角为120o的弧长为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.‎ ‎3.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 （ ） ‎ A. B. C.- D.-‎ 答案 C ‎4、已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎ ‎ ‎5.在扇形中，，弧的长为，求此扇形内切圆的面积．‎ 解：设扇形所在圆半径为，此扇形内切圆的半径为，如图所示，‎ 则有，．‎ 由此可得．‎ 则内切圆的面积．‎ ‎（四）角的度量单位的统一 ‎[表示的时候要注意统一好度量单位，还有用来表示集合形式时一定要注意]‎ 1、 分别用弧度制和角度制写出在第二象限的角的范围 ‎2、用弧度制表示出阴影部分的角的集合