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  • 2021-06-11 发布

高一数学专题练习:教师版任意角与弧度制(含答案)

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一、任意角 ‎1、角的推广 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。‎ ‎①、按逆时针方向旋 转所形成的角叫正角 ‎②、顺时针方向旋转所形成的角叫负角,‎ ‎③、当一条射线没有作任何旋转时,称为零角 ‎2、象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角 象限角的注意 ‎①主要是固定好始边看终边 ‎②坐标轴上的角不叫象限角 第一象限角的集合为 ‎ 第二象限 第三象限 ‎ 第四象限 终边在轴上的角的集合为 ‎ 终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 ‎3、终边相同的角的表示 ‎ S={β|β=α+k×3600,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和 任意两个角α,β同终边的条件是:(或)‎ ‎4、角与二倍角、半角的象限关系。‎ 角a 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角2a 角1/2a 5、 已知α是第二象限的角,判断所在的象限.‎ ‎ 分析:由.‎ 法(1)按k=3n,k=3n+1,k=3n+2(以上n均为整数)讨论.‎ 法(2)把 ‎ 答案:是第一、二、四象限的角.‎ 探索:若α分别在第一、二、三、四象限,分别在第几象限?‎ 经典考点一、任意角的概念问题 ‎1.设集合,,,‎ ‎,则下列关系成立的是( ).‎ A.  B.  C.()  D.‎ 解析.D 对于集合,即,再结合第一象限的条件,即得锐角.‎ ‎2、已知集合{第一象限的角},{锐角},{小于90o的角},下列四个命题:‎ ‎ ① ② ③ ④‎ 正确的命题个数是 ( )‎ ‎ A.1个 B .2个. C.3个. D.4个.‎ ‎3、下列命题是真命题的是( )‎ Α.三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 C.不相等的角终边一定不同D.=‎ 经典考点二、终边相同的角以及象限角 ‎1、-1120°角所在象限是 ( )‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________.‎ 解析:‎ ‎3.与610°角终边相同的角表示为 ( )‎ A. k·360°+230°(k∈Z) B. k·360°+250°(k∈Z)‎ C. k·360°+70°(k∈Z) D. k·360°+270°(k∈Z)‎ 答案 B ‎4.将化为的形式是( ).‎ A. B. ‎ C. D.‎ 解析:.B ‎ ‎5.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )‎ ‎(A){α|α=k·360°,k∈Z} (B){α|α=k·180°+90°,k∈Z}‎ ‎(C){α|α=k·180°,k∈Z} (D){α|α=k·90°,k∈Z}‎ ‎6.若;;,则下列关系中正确的是( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ D 集合为终边在轴非负半轴上角的集合;集合为终边在轴上角的集合;‎ 集合为终边在坐标轴上角的集合;因此.‎ ‎7.已知集合,,‎ 若,且,则由角组成的集合为__________.‎ 解析: ‎ ‎,‎ ‎,角组成的集合为.‎ ‎8、设集合, ‎ ‎,求,. ‎ ‎、∵‎ ‎∴;‎ ‎ 。‎ ‎9.已知,判断角所在象限.‎ 解: ∵,‎ ‎∴可设,‎ 当时,在第一象限,‎ 当时,在第二象限,‎ ‎∴角在第一或第二象限.‎ ‎10.若角α、β的终边关于y轴对称,则α、β的关系一定是(其中k∈Z) ( )‎ ‎(A) α+β=π (B) α-β= (C) α-β=(2k+1)π (D) α+β=(2k+1)π 经典考点三、分角象限的确实 ‎1.若α是第四象限角,则180°-α是( ) ‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎2.若α是第四象限角,则180°+α一定是( )‎ Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 解析:B ‎3.角α=45°+k·90°的终边在第 象限.‎ ‎4.若α是第一象限角,则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) ‎ ‎(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α ‎5.下列说法中正确的是( ).‎ A.终边在轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若,则与终边相同 解析:D 角终边在轴非负半轴上,但不是直角.角在第二象限,但不是钝角,角在第四象限,但不是负角.‎ ‎6、.试写出所有终边在直线上的角的集合,并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.‎ 经典考点四、区域角的表示 ‎1.若集合,,‎ 则集合为( ).‎ A. B. C. D.‎ 解析:C ‎ ‎2、写出所夹区域内的角的集合。‎ ‎【解题思路】任一与角α终边相同的角,都可以表示成α与整数个周角的和.‎ 解:当终边落在上时,角的集合为; ‎ 当终边落在上时,角的集合为;‎ 所以,按逆时针方向旋转有集合:.‎ ‎【名师指引】把一条直线分成两部分,分别写出它们对应角的集合,最后求并集即可.‎ ‎3、两角和差的范围 ‎(1).设角、满足,则的范围是___________.‎ 解析: ∵,∴,又,,‎ ‎∴.综上可知的范围是 两角和差的范围的计算 ‎(2) 若,则 _____ ; ___ ; ___ ; _________ 。 ‎ 若为锐角,为钝角,则____________;_____________。‎ ‎4、如图所示的平面区域,试用角的区间表示这些角的集合(用绝对值最小的角表示,而不用表示)‎ ‎5.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(这括边界)‎ ‎ (1) (2) (3)‎ 解析:(1); ‎ ‎ (2);‎ ‎ (3).‎ 二、弧度制的学习 ‎1、 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,‎ ‎2、弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。‎ ‎3、弧度制的注意点 ‎①弧度的角与所选择圆的半径无关 ‎②弧度的单位是rad 经常可以省略不写 ‎③弧度与角度除了零其他量都不能等同。‎ ‎④弧度是实数 ‎4、若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。‎ 弧长公式:. 扇形面积公式:‎ ‎5、弧度转化为角度: 1弧度=°≈57.30°=57°18ˊ.‎ ‎6、角度换成弧度公式: 1°=≈0.01745‎ ‎7、熟记常用的角度和弧度 角度 弧度 三、弧度制的考点分析 ‎(一)弧度制和角度制的意义 ‎[弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度]‎ ‎1、下列说法正确的是( )‎ A、1弧度是1度的圆心角所对的弧 B、1弧度是长度为半径的弧 C、1弧度是 1度的弧与1度的角之和 D、弧度是角的度量单位 ‎2、下列说法不正确的是( )‎ A、度和弧度是度量角的两种不同的单位 B、1弧度是圆周的所对的圆心角 C、有弧度的定义一定有180度等于弧度 D、弧度与角度都与圆的半径相关 ‎(二)弧度与角度的相互转化 ‎1弧度=° 1°=≈0.01745‎ ‎[我们要熟练的使用 两者的转化,学会灵活运用弧度制]‎ ‎1.化为弧度为( ) ‎ A、 B、 C、 D、‎ 解析.B []‎ ‎2.三角形三内角的比是7∶8∶15,各内角的弧度数分别是_______.‎ 解析:设三角形的三内角分别是,则故 所以各内角的弧度数分别是 ‎3、已知A=1,B=1度,C=,试比较这四个角的大小。‎ ‎4、把-1480度写成的形式。‎ ‎(三)弧长公式与扇形公式的运用 弧长公式:. 扇形面积公式:‎ ‎[学生自己理解和推导两个公式]‎ ‎1.半径为cm,中心角为120o的弧长为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.‎ ‎3.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ( ) ‎ A. B. C.- D.-‎ 答案 C ‎4、已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎ ‎ ‎5.在扇形中,,弧的长为,求此扇形内切圆的面积.‎ 解:设扇形所在圆半径为,此扇形内切圆的半径为,如图所示,‎ 则有,.‎ 由此可得.‎ 则内切圆的面积.‎ ‎(四)角的度量单位的统一 ‎[表示的时候要注意统一好度量单位,还有用来表示集合形式时一定要注意]‎ 1、 分别用弧度制和角度制写出在第二象限的角的范围 ‎2、用弧度制表示出阴影部分的角的集合