2015年高考真题——理科数学（广东卷） 原卷版 4页

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分. 1．若集合 { | ( 4)( 1) 0}M x x x= + + = ， { | ( 4)( 1) 0}N x x x= - - = ，则 MN= A． B． 1, 4 C． 0 D． 1,4 2．若复数 z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则 z = A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ． xexy  B ． xxy 1 C ． x xy 2 12  D． 21 xy  4．袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球。从袋中任取 2 个球，所 取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 A．1 B. 21 11 C. 21 10 D. 21 5 5．平行于直线 012  yx 且与圆 522  yx 相切的直线的方程是 A． 052  yx 或 052  yx B. 052  yx 或 052  yx C. 052  yx 或 052  yx D. 052  yx 或 052  yx 6．若变量 x，y 满足约束条件       20 31 854 y x yx 则 yxz 23  的最小值为 A． 5 31 B. 6 C. 5 23 D. 4 7．已知双曲线 C： 12 2 2 2  b y a x 的离心率 e= 4 5 ，且其右焦点 F2( 5 , 0 )，则双曲线 C 的方程 为 A． 134 22  yx B. 1916 22  yx C. 1169 22  yx D. 143 22  yx 8．若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值 A．大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于 4 D. 至多等于 3 二、填空题:本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（9-13 题） 9．在 4)1( x 的展开式中，x 的系数为 。 10．在等差数列{ na }中，若 2576543  aaaaa ，则 82 aa  = 。 11．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.若 a = 3 ，sinB= 2 1 ，C= 6 π ，则 b = 。 13．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写 了 条毕业留言。（用数字做答） （二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的极坐标方程为 24sin(2  ）π ，点 A 的极 坐标为 A( 22 , 4 7π )，则点 A 到直线 l 的距离为 。 15.（几何证明选讲选作题）如图 1，已知 AB 是圆 O 的直径，AB=4，EC 是圆 O 的切线，切 点为 C， BC=1，过圆心 O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD= 。 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文 字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m=（ 2 2 ， 2 2 ）， n=（sin x，cos x）， x∈（0， 2  ）。 （1）若 m⊥n，求 tan x 的值 （2）若 m 与 n 的夹角为 3  ，求 x 的值。 17．（本小题满分 12 分） 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 图1 P O E C D A B 8 42 9 43 17 38 18 36 26 44 27 42 35 49 36 39 （1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到 的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的平均值 x 和方差 2s ； （3）36 名工人中年龄在 sx  与 sx  之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01％）？ 18．（本小题满分 14 分） 如图 2，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直， 4PD PC==， 6AB = ， 3BC = .点 E 是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段AB，BC 上，且 2AF FB= ， 2CG GB= . （1）证明： PE FG ； （2）求二面角 P AD C--的正切值； （3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. 19．（本小题满分 14 分） 设 a>1，函数 aexxf x  )1()( 2 。 (1) 求 )(xf 的单调区间 ； (2) 证明： )(xf 在（  ，+∞）上仅有一个零点； (3) 若曲线 ()y f x= 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 ( , )M m n 处的切线与直线 OP 平 行（O 是坐标原点）,证明： 123  eam 20．（本小题满分 14 分） 已知过原点的动直线l 与圆 22 1 : 6 5 0C x y x+ - + = 相交于不同的两点 A，B. （1）求圆 1C 的圆心坐标； （2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数 k ，使得直线 : ( 4)L y k x=-与曲线 C 只有一个交点：若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分 14 分） 数列 na 满足 121 2 242   nn nnaaa , *Nn . 图2 A D C B H F G E (1) 求 3a 的值； (2) 求数列 na 前 n 项和 Tn； (3) 令 11b a ， n n n ann Tb ）1 3 1 2 11(1   （ 2n ），证明：数列{ nb }的前 n 项和 nS 满足 nSn ln22  2015 广东高考数学（理）试题答案下载_2015 高考答案抢先版 （答案及评分标准仅供参考） 1、A 2、D 3、A 4、C 5、D 6、C 7、B 8、C 9、6 10、10 11、1 12、1560 13、 1 3 14、 5 22 15、8 16、（ 1）tanx=1 （2） 22sin cos cos2 2 3xx， 1sin( )42x ， 1 46x   5 12x  17、（ 1）44 40 36 43 36 37 44 43 37 （2） x ＝40， 2s ＝100 9 （3）40－10 3 ＝110 3 ，40＋ ＝130 3 ，在（ ， ）有 25 个，占 69.44%