重庆市广益中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 21页

www.ks5u.com 重庆市广益中学 高2022级12月月考数学试题卷 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。‎ ‎2.选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.‎ ‎1.集合，，则集合=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合A和集合B公共元素为1，则集合A和集合B的并集为.‎ ‎【详解】 ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】考查集合的概念，并集的基本运算.集合的概念：集合中的元素 具有确定性、互异性和无序性.‎ ‎2.已知角终边上一点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出斜边OP的长，再根据余弦 的定义解即可，其中O为坐标系原点.‎ ‎【详解】设角的终边过,则有.‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】考查三角函数定义式的推广式.‎ 设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P的坐标是，‎ 它与原点的距离是，则.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. 4 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由自变量x的值正负代入相应的解析式，先求，，代入，‎ 再解出的值，判断正负代入相应的解析式的值即可.‎ ‎【详解】先求，，代入，解得，‎ 又∵，代入，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】考查复合函数，分段函数的应用，根据自变量的取值代入相应的解析式解即可.题目难度较易.‎ ‎4.半径为2的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形的面积公式，代入相应值即可.‎ ‎【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为r，‎ 则由，得,解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】考查扇形的面积公式，若扇形的圆心角为（弧度制）且为正值，半径 为r，弧长为，周长为，面积为，则，，.‎ ‎5.函数在区间上的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将二次函数化成顶点式，再根据其对称轴求出函数 在区间上的值域.可知最小，最大.‎ ‎【详解】由函数，可知函数对称轴为，‎ 所以函数在区间上最小值为，最大值 为.则值域为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】考查二次函数在给定区间上的值域，二次函数解析式的顶点形式.‎ 顶点式.‎ ‎6.已知为奇函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，可得到的表达式，然后利用奇函数的性质，即可得到时，的表达式，即为的表达式．‎ ‎【详解】当时，，则，‎ 由于函数是奇函数，满足，‎ 故时，，‎ 即.‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了奇函数的性质，属于基础题．‎ ‎7.要得到函数的图象，可由余弦函数的图像经过下述哪种变换得到（ ）‎ A. 横坐标缩小到原来的倍,再向左平移个单位 B. 横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 C. 先向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍 D. 先向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将余弦函数按A，B，C，D项的要求进行图形 变换，得出变换后符合的图象.‎ ‎【详解】A.函数，横坐标缩小到原来的倍,得，‎ 再向左平移个单位，得.不符.‎ B.函数，横坐标伸长为原来的2倍，得，‎ 再向左平移个单位,得.不符.‎ C.函数，先向右平移个单位，得，‎ 横坐标缩小到原来的倍，得.不符.‎ D.函数，先向左平移个单位，得，‎ 横坐标缩小到原来的倍，得.符合.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】考查三角函数的平移伸缩变换.具体变换方法如下：‎ ‎①函数的图象上所有点向左（右）平移个单位 长度，得到函数的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍 ‎（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 A倍（横坐标不变），得到函数的图象．‎ ‎②函数图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍 ‎（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的 图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数 的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到 原来的A倍（横坐标不变），得到函数的图象．‎ ‎8.函数的部分图像象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴为奇函数，所以排除答案，‎ 令，则或，所以或，所以，当时，‎ 所以选A.‎ 考点：1.函数的奇偶性；2.函数图象.‎ ‎9.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将根据函数是定义在上的偶函数化成，再将，和1比大小. 再根据函数在区间上是增函数，得出a，b，c的大小.‎ ‎【详解】∵是定义在上的偶函数，∴，‎ 由，，则有，‎ 又∵函数在区间上是增函数，‎ ‎∴，则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】考查函数的奇偶性，单调性. 如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ‎,那么函数叫做偶函数.偶函数图象关于y轴对称. 如果对于函数定义域内任意一个x，都有,那么函数叫做奇函数.奇函数图象关于原点对称.‎ ‎10.已知是上的单调递增函数，那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是上的单调递增函数，可得到，解不等式组即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意得解得.‎ 故答案为C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了分段函数的性质、指数函数的性质及一次函数的性质，属于基础题．‎ ‎11.已知，函数在区间内单调递减，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的减区间，可判断 其最小正周期T大于等于，再根据函数满足正弦函数的减区 间，进而求解即可.‎ ‎【详解】∵,∴.‎ ‎∵函数在上单调递减，∴，解得.‎ ‎∵函数的减区间满足：‎ ‎，‎ ‎∴当时，则有，解得.‎ 综上：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】考查正弦函数的单调区间，周期.根据正弦函数的性质确定解析式的 参数范围.题目难度较难.解题的关键为的 减区间满足.‎ ‎12.函数满足：，已知函数与的图象共有4个交点，交点坐标分别为,,,，则：（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的图象和的图象都关于（0，2）对称，从而可知4个交点两两关于点（0，2）对称，即可求出的值．‎ ‎【详解】因为函数满足：，所以的图象关于（0，2）对称，‎ 函数，由于函数的图象关于（0，0）对称，故的图象也关于（0，2）对称，‎ 故.‎ 故答案为C.‎ ‎【点睛】若函数满足，则函数的图象关于点对称．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13.___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将写成的形式，再根据诱导公式进行求解.‎ ‎【详解】由题意得： .‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】考查三角函数的诱导公式.‎ ‎ ，，,‎ ‎,.‎ ‎14.函数的单调增区间为__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因函数为对数函数的复合函数，则要使有意义，‎ 则要使，再用换元法令，将化成顶点式的形式，分析其单调性进行求解.‎ ‎【详解】由题意得函数要有意义，则有，‎ 解得.∴函数的定义域为.‎ 令，则有，∴函数在区 间为减函数，在区间上为增函数.‎ 又∵函数在区间为减函数，‎ ‎∴函数的单调增区间为，当x取时，也成立.‎ ‎∴函数的单调增区间为或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】考查复合函数额单调性. 对于复合函数，令 ‎，若为增，为增，则为增；若 为减，为减，则为增；若为增，‎ 为减，则为减；若为减，为增，则为减.‎ ‎15.如果，那么的值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可得的值.而，‎ 再将分子分母同除以化成关于的分式即可解.‎ 详解】由，得.‎ 则有.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】考查同角三角函数基本关系式.‎ ‎，，.‎ ‎16.函数f (x)＝(－6≤x≤10)的所有零点之和为____________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数g（x）＝（）|x﹣2|，h（x）＝﹣2cos，由于﹣6≤x≤10时，函数g（x），h（x）的图象都关于直线x＝2对称，可得函数f（x）在﹣6≤x≤10的图象关于直线x＝2对称．运用﹣6≤x≤10时，函数g（x），h（x）的图象的交点共有8个，即可得到f（x）的所有零点之和．‎ ‎【详解】构造函数g（x）＝（）|x﹣2|，‎ h（x）＝﹣2cos，‎ ‎∵﹣6≤x≤10时，‎ 函数g（x），h（x）的图象 都关于直线x＝2对称，‎ ‎∴函数f（x）＝（）|x﹣2|+2cos ‎（﹣6≤x≤10）‎ 的图象关于直线x＝2对称．‎ ‎∵﹣6≤x≤10时，函数g（x），h（x）的图象的交点共有8个，‎ ‎∴函数f（x）的所有零点之和等于4×4＝16．‎ 故答案为16．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点，解题的关键是构造函数，确定函数图象的对称性及图象的交点的个数．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. ‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称中心坐标；‎ ‎（2）求函数在区间的值域.‎ ‎【答案】(1) 最小正周期，对称中心为;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）形如函数的最小正周期公式和对称中心坐标公式代入可得. ‎ ‎（2）根据，求得，再根据正弦函数图象性质可得函数在区间的值域.‎ ‎【详解】解：（1）由 ‎ 由 ‎ 解得： ‎ 故函数的对称中心为 ‎ ‎（2）令所以 ‎ 结合图象 分析得.‎ 故函数的值域为.‎ ‎【点睛】考查形如函数的最小正周期，对称中心坐标 ‎ 以及正弦函数的图象性质.‎ ‎18.已知全集，集合，集合.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出集合和，即可求出，；(2)由，可知集合是的子集，分两种情况：和，分别讨论即可．‎ ‎【详解】（1）由，解得或，故，‎ 则，,.‎ ‎（2）因为，所以 若，即，即，符合题意；‎ 若，即，因为，所以，所以 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集、并集和补集，考查了集合间的包含关系，考查了不等式的解法，属于基础题．‎ ‎19.已知.‎ ‎（1）将化为最简形式；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角函数诱导公式化简即可；（2）由（1）知，从而得到，结合的范围可以得到，即可求出的值，即可得到答案．‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎（2）①. ‎ 平方可得，，又，所以，，‎ ‎，所以②. ‎ 由①②可得：，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系，考查了三角函数求值，属于中档题．‎ ‎20.已知对数函数过点，.‎ ‎（1）求的解析式，并指出的定义域；‎ ‎（2）设，求函数的零点.‎ ‎【答案】(1) ，定义域为; (2) 答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设函数，带入点可解出a的值，则可得出的解析式.‎ 再将代入函数f(x)中，由，则可得出的解析式，再根据对数函数的定义可得出的定义域.‎ ‎（2）将函数的零点转化为方程的解来求零点，再分类讨论当，‎ ‎，时方程的解.‎ ‎【详解】解：（1）设函数，∵过点，∴，‎ 解得,∴. ‎ ‎，解不等式组可得的定义域为 ‎ ‎（2）函数的零点是方程的解. ‎ ‎，‎ 因为，所以，所以，即的值域为 ‎ 若，则方程无解； ‎ 若，则，所以，方程有且只有一个解； ‎ 若，则，所以，方程有两个解 综上所述：若，则无零点； 若，则有且只有一个零点；‎ 若，则有两个零点.‎ ‎【点睛】（1）考查对数函数的解析式求法，解题（1）的关键为设 函数，再代入定点求出a的值，则可求出对数函数的解析式.‎ ‎（2）考查函数零点求法,（代数法）求方程实数根；‎ ‎（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象 联系起来，并利用函数的性质找出零点．‎ 补充：函数零点的概念：对于函数，把使成立的 实数叫做函数的零点。‎ 函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即 函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数 根函数的图象与轴有交点函数有零点.‎ ‎21.已知函数的部分图像如图所示，其中.‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间； ‎ ‎（3）解不等式．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据直线过的两个点的坐标，求得的值.利用三角函数图像部分的零点和最小值点间的距离，求得的值，利用，求得的值.（II）先利用三角函数的单调性，求得当时函数的递增区间，结合函数图像可求得函数函数的递增区间.（III）根据图像可知函数在时符合题意.当时，，解三角不等式求得的取值范围.两个取值范围合并求得不等式的解集.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题知 ‎ 由的图像知，‎ 得 ‎ 由 故 ‎ ‎（Ⅱ）当时．‎ 令得 ‎.‎ 所以函数的增区间为 ‎ ‎（Ⅲ）由图像知当时恒成立 当时，解得 综上，不等式的解集是 ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的图像求函数的解析式，考查三角函数的单调区间以及解三角不等式，属于中档题.‎ ‎22.已知函数 且是奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设 且，若，是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2） (3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由奇函数的性质，可求出的值；（2）由，可以求出的范围，进而可以得到的单调性，然后利用奇函数的性质，可以得到 ‎，从而得到对任意都有恒成立，利用二次函数的性质即可求出的取值范围；（3）由可求出，假设存在实数，构造函数，则，对进行分类讨论，即可判断的值．‎ ‎【详解】（1）因为的定义域为，且为奇函数，‎ 所以，解得.检验：当时，，‎ 对任意，都有，即是奇函数，所以成立．‎ ‎（2）由（1）可得，由可得 因为，所以，解得，‎ 则在单调递减，在单调递增，‎ 所以在单调递减，‎ 由可得，‎ 所以对任意都有恒成立，‎ 即对任意恒成立，‎ 所以，解得.‎ ‎（3），‎ 由可得，即，‎ 因为，所以.‎ 所以，易知在单调递增.‎ 令，则，‎ 再令，则 因为，，‎ ‎，‎ 所以.因为在有意义，‎ 所以对任意，都有恒成立，‎ 所以，即 所以，所以. ‎ 二次函数图像开口向上，对称轴为直线，‎ 因为，所以，‎ 对称轴始终在区间的左侧 所以在区间单调递增，‎ 当时，，‎ 时，，‎ 假设存在满足条件的实数，则：‎ 若，则为减函数，，‎ 即，所以，舍去；‎ 若，则为增函数，，‎ 即，所以，舍去.‎ 综上所述，不存在满足条件的实数.‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了函数单调性的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了二次函数、指数函数、对数函数的综合问题，属于较难题．‎ ‎ ‎