高考数学二轮复习教案：仿真模拟卷三 15页

仿真模拟卷三 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为(　　)‎ A．1 B．5 C．6 D．无数个 答案　C 解析　由题得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，所以A中元素的个数为6.‎ ‎2．已知i是虚数单位，是z的共轭复数，若z(1＋i)＝，则的虚部为(　　)‎ A. B．－ C.i D．－i 答案　A 解析　由题意可得z＝＝＝－＝－i－，则＝－＋i，据此可得的虚部为.‎ ‎3．“0b，则(　　)‎ A．ln (a－b)>0 B．3a<3b C．a3－b3>0 D．|a|>|b|‎ 答案　C 解析　取a＝2，b＝1，满足a>b，但ln (a－b)＝0，则A错误；由9＝32>31＝3，知B错误；取a＝1，b＝－2，满足a>b ‎，但|1|<|－2|，则D错误；因为幂函数y＝x3是增函数，a>b，所以a3>b3，即a3－b3>0，C正确．‎ ‎5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于(　　)‎ A．30 B．31 C．62 D．63‎ 答案　B 解析　由流程图可知该算法的功能为计算S＝1＋21＋22＋23＋24的值，即输出的值为S＝1＋21＋22＋23＋24＝＝31.‎ ‎6.8的展开式的常数项为(　　)‎ A．－56 B．－28 C．56 D．28‎ 答案　D 解析　8展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·(－1)r·‎ x ，令8－r＝0，得r＝6，∴所求常数项为C·(－1)6＝28.‎ ‎7．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若·＝1，则λ的值为(　　)‎ A．3 B．2 C. D. 答案　B 解析　由题意可得·＝(＋)·(＋)＝·＝2＋‎ 2＋·，且2＝2＝4，·＝2×2×cos120°＝－2，故＋＋×(－2)＝1，解得λ＝2.‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0，则角A＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　∵a＝1，sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0，‎ ‎∴sinAcosC＋sinCcosA＝－bcosA，‎ ‎∴sin(A＋C)＝sinB＝－bcosA，‎ ‎∴asinB＝－bcosA，由正弦定理可得sinAsinB＝－sinBcosA，∵sinB>0，∴sinA＝－cosA，即tanA＝－，∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)＝的图象大致是(　　)‎ 答案　D 解析　因为函数f(x)＝，f(－x)＝＝≠f(x)，所以函数f(x ‎)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除A，B；又因为f(3)＝，f(4)＝，所以f(3)>f(4)，而C在x>0时是递增的，故排除C.‎ ‎10．已知5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)‎ A．－80 B．－40 C．40 D．80‎ 答案　D 解析　令x＝1，得展开式的各项系数和为5＝1＋a，∴1＋a＝2，∴a＝1，∴5＝5＝5＋5，所求展开式中常数项为5的展开式的常数项与含x项的系数和，5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·(－1)rr＝(－1)r25－r·Cx5－2r，令5－2r＝1得r＝2；令5－2r＝0，无整数解，∴展开式中常数项为8C＝80.‎ ‎11．在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为(　　)‎ A．1－ B．1－ C．1－ D．1－ 答案　A 解析　满足条件的正三角形ABC如图所示．‎ 设边长为2，其中正三角形ABC的面积S△ABC＝×4＝.满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影＝，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于1的概率P＝1－，故选A.‎ ‎12．若存在m，使得关于x的方程x＋a(2x＋2m－4ex)·[ln (x＋m)－ln x ‎]＝0成立，其中e为自然对数的底数，则非零实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0) B. C．(－∞，0)∪ D. 答案　C 解析　由题意得－＝ln ＝(t－2e)ln t，‎ 令f(t)＝(t－2e)ln t(t＞0)，则f′(t)＝ln t＋1－，‎ 令h(t)＝f′(t)，则h′(t)＝＋＞0，∴h(t)为增函数，即f′(t)为增函数．‎ 当t＞e时，f′(t)＞f′(e)＝0，当0＜t＜e时，f′(t)＜f′(e)＝0，‎ ‎∴f(t)≥f(e)＝－e，且当t→0时，f(t)→＋∞，‎ ‎∴－≥－e，解得a＜0或a≥，故选C.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若变量x，y满足约束条件则z＝的最小值是________．‎ 答案　－2‎ 解析　画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，‎ 联立 解得A(2,2)，‎ z＝的几何意义为可行域内的点与定点P(3,0)的连线的斜率．‎ ‎∵kPA＝＝－2，∴z＝的最小值是－2.‎ ‎14．已知三棱锥P－ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P－ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为________．‎ 答案　12π 解析　由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA，PB，PC两两垂直时，侧面积之和最大．此时PA，PB，PC可看成正方体一个顶点处的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R2＝3×22＝12，故球的表面积为4πR2＝12π.‎ ‎15．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．‎ 答案　＋1‎ 解析　设点M的坐标是(x，y)，∵C(0，－2)，且||＝1，∴＝1，x2＋(y＋2)2＝1，则点M的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．‎ ‎∵A(0,1)，B(1,0)，∴＋＋＝(x＋1，y＋1)，‎ 则|＋＋|＝，其几何意义表示圆x2＋(y＋2)2＝1上的点与点P(－1，－1)间的距离．‎ 又点P(－1，－1)在圆C的外部，‎ ‎∴|＋＋|max＝||＋1‎ ‎＝ ＋1＝＋1.‎ ‎16．函数y＝f(x)的定义域为D，若∀x∈D，∃a∈[1,2]，使得f(x)≥ax恒成立，则称函数y＝f(x)具有性质P，现有如下函数：‎ ‎①f(x)＝ex－1；②f(x)＝2cos2－1(x≤0)；‎ ‎③f(x)＝ 则具有性质P的函数f(x)为________．(填序号)‎ 答案　①②‎ 解析　①设φ(x)＝ex－1－x(x∈R)，则φ′(x)＝ex－1－1.‎ 当x>1时，φ′(x)>0；当x<1时，φ′(x)<0.‎ ‎∴φ(x)min＝φ(1)＝0，所以ex－1－x≥0，ex－1≥x，‎ 故∃a＝1，使f(x)≥ax在R上恒成立，①中函数f(x)具有性质P；‎ ‎②易知f(x)＝2cos2－1＝sin2x(x≤0)．‎ 令φ(x)＝f(x)－2x＝sin2x－2x(x≤0)，‎ 则φ′(x)＝2cos2x－2.‎ ‎∴φ′(x)≤0，∴φ(x)在(－∞，0]上是减函数，‎ ‎∴φ(x)min＝φ(0)＝0，故f(x)≥2x恒成立．‎ ‎∴∃a＝2，使得f(x)≥ax在(－∞，0]上恒成立，‎ ‎②中函数f(x)具有性质P；‎ ‎③作函数y＝f(x)与直线y＝ax的图象，显然当y＝ax过点O(0,0)，A(1,1)，B(2,2)时，斜率a＝1.‎ 根据图象知，不存在a∈[1,2]，使f(x)≥ax恒成立．‎ 因此③中函数f(x)不具有性质P.‎ 综上可知，具有性质P的函数为①②.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)已知锐角△ABC面积为S，角A，B，C所对边分别是a，b，c，角A，C的平分线相交于点O，b＝2且S＝(a2＋c2－b2)，‎ 求：(1)角B的大小；‎ ‎(2)△AOC周长的最大值．‎ 解　(1)∵S＝(a2＋c2－b2)，‎ ‎∴acsinB＝(a2＋c2－b2)，‎ 故acsinB＝×2accosB⇒tanB＝⇒B＝.‎ ‎(2)设△AOC的周长为l，∠OAC＝α，则α∈，‎ ‎∵OA，OC分别是角A，C的平分线，B＝，‎ ‎∴∠AOC＝.‎ 由正弦定理，得＝＝，‎ ‎∴l＝4sinα＋4sin＋2 ‎＝4sin＋2，‎ ‎∵α∈，∴α＋∈，‎ 当α＝时，△AOC周长的最大值为4＋2.‎ ‎18．(本小题满分12分)某商场营销人员在进行某商品M的市场营销调查时发现，每返还消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：‎ 返还点数t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销量(百件)/天 ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎1‎ ‎1.4‎ ‎1.7‎ ‎(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y(百件)与返还点数t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程＝ t＋，并预测若返还6个点时该商品每天的销量；‎ ‎(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：‎ 返还点数预 期值区间 ‎[1,3)‎ ‎[3,5)‎ ‎[5,7)‎ ‎[7,9)‎ ‎[9,11)‎ ‎[11,13]‎ 频数 ‎20‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎①求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；‎ ‎②将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“‎ 欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．‎ 参考公式及数据：(ⅰ)＝，＝－；‎ ‎(ⅱ)tiyi＝18.8.‎ 解　(1)易知＝＝3，‎ ＝＝1.04，‎ t＝12＋22＋32＋42＋52＝55，‎ ＝＝＝0.32，‎ ＝－＝1.04－0.32×3＝0.08.‎ 则y关于t的线性回归方程为＝0.32t＋0.08，当t＝6时，＝2.00，即返还6个点时该商品每天的销量约为2百件．‎ ‎(2)①根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值X的平均值及中位数的估计值分别为＝2×0.1＋4×0.3＋6×0.3＋8×0.15＋10×0.1＋12×0.05＝6，‎ 中位数的估计值为 ‎5＋2×＝5＋≈5.7.‎ ‎②抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为6×＝4，“欲望膨胀型”消费者人数为6×＝2.‎ 所以X的可能取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ 故随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成60°角，AA1⊥A1C，AC⊥BC，AC＝4，BC＝2.‎ ‎(1)求证：平面ABB1A1⊥平面A1BC；‎ ‎(2)求二面角B－A1B1－C的余弦值．‎ 解　(1)证明：∵平面ACC1A1⊥平面ABC且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，且BC⊥AC.‎ ‎∴BC⊥平面ACC1A1，‎ ‎∴BC⊥AA1，又∵AA1⊥A1C，∴AA1⊥平面A1BC ‎∵AA1⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴平面ABB1A1⊥平面A1BC.‎ ‎(2)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成60°角，‎ ‎∴∠A1AC＝60°.‎ 又∵AA1⊥A1C，AC＝4，∴A1A＝2，‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则A1(3,0，)，C(0,0,0)，B(0，2,0)，A(4，0,0)‎ 由＝，得B1(－1,2，)，‎ 设平面BA1B1，平面CA1B1的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则＝(3，－2，)，＝(－1,0，)，＝(3,0，)，＝(－1,2，)．‎ 由知可取n1＝(3,6，)，‎ 由知可取n2＝(－1，－2，)，‎ cosθ＝＝，‎ 所以二面角B－A1B1－C的余弦值为.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，离心率e＝，A是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，|AF|＝1，直线m：x＝－4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)直线l过点F与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线m交于M，N两点，试问：以MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．‎ 解　(1)由题意，得解得 ‎∵a2＝b2＋c2，‎ ‎∴b＝，故所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l斜率存在时，设直线l：y＝k(x＋1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PA：y＝(x＋2)．‎ 令x＝－4，得M，‎ 同理N.‎ 则以MN为直径的圆的方程为(x＋4)(x＋4)＋＝0，‎ 整理得，(x＋4)2＋y2＋2ky＋4k2·＝0，①‎ 由得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.②‎ 将②代入①，整理得，x2＋y2＋8x－y＋7＝0.‎ 令y＝0，得x＝－1或x＝－7.‎ 当直线l斜率不存在时，P，Q，M(－4，－3)，N(－4,3)，‎ 以MN为直径的圆为(x＋4)2＋y2＝9也过点(－1,0)，(－7,0)两点．‎ 综上，以MN为直径的圆能过两定点(－1,0)，(－7,0)．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－ax－b，g(x)＝ax2＋bx.‎ ‎(1)当a＝2，b＝－3时，求函数f(x)在x＝e处的切线方程，并求函数f(x)的最大值；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：g>1.‎ 解　(1)当a＝2，b＝－3时，f(x)＝－x＋3(x>0)，‎ f′(x)＝，‎ 则f′(e)＝－1，切点为，‎ 故函数f(x)在x＝e处的切线方程为x＋y－－3＝0.‎ 令h(x)＝1－ln x－x2，则h(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)是减函数，‎ 又h(1)＝0，∴x∈(0,1)，h(x)>0，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)，h(x)<0，‎ f′(x)<0，‎ ‎∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．‎ ‎∴f(x)max＝f(1)＝2.‎ ‎(2)证明：∵x1，x2是f(x)的两个零点，不妨设x11，‎ >1⇔ln t<⇔ln t－<0，‎ 令m(t)＝ln t－，t∈(0,1)，‎ m′(t)＝－＝>0，‎ ‎∴m(t)＝ln t－在(0,1)上是增函数，‎ 又∵m(1)＝0，∴t∈(0,1)时，m(t)<0，命题得证．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＋y＝1与曲线C2：(φ 为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)写出曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)在极坐标系中，已知l：θ＝α(ρ>0)与C1，C2的公共点分别为A，B，α∈，当＝4时，求α的值．‎ 解　(1)曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝1，即ρsin＝.‎ 曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.‎ ‎(2)由(1)知，|OA|＝ρA＝，‎ ‎|OB|＝ρB＝4cosα，‎ ‎∴＝4cosα(cosα＋sinα)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝‎ ‎2＋2sin，‎ ‎∵＝4，∴2＋2sin＝4，‎ sin＝，‎ 由0<α<，知<2α＋<，即2α＋＝，‎ ‎∴α＝.‎ ‎23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]‎ 已知函数f(x)＝|x＋2|－|2x－1|.‎ ‎(1)求f(x)>－5的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a≠0)能成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝|x＋2|－|2x－1|‎ ‎＝ 故f(x)>－5的解集为(－2,8)．‎ ‎(2)由|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a≠0)能成立，得≥|x＋1|＋|x－m|能成立，‎ 即－≥|x＋1|＋|x－m|能成立，‎ 令＝t，则|t＋2|－|2t－1|≥|x＋1|＋|x－m|能成立，‎ 由(1)知，|t＋2|－|2t－1|≤，‎ 又∵|x＋1|＋|x－m|≥|1＋m|，‎ ‎∴|1＋m|≤，∴实数m的取值范围是.‎