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  • 2021-06-11 发布

高考数学二轮复习教案:仿真模拟卷三

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仿真模拟卷三 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为(  )‎ A.1 B.5 C.6 D.无数个 答案 C 解析 由题得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.‎ ‎2.已知i是虚数单位,是z的共轭复数,若z(1+i)=,则的虚部为(  )‎ A. B.- C.i D.-i 答案 A 解析 由题意可得z===-=-i-,则=-+i,据此可得的虚部为.‎ ‎3.“0b,则(  )‎ A.ln (a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b|‎ 答案 C 解析 取a=2,b=1,满足a>b,但ln (a-b)=0,则A错误;由9=32>31=3,知B错误;取a=1,b=-2,满足a>b ‎,但|1|<|-2|,则D错误;因为幂函数y=x3是增函数,a>b,所以a3>b3,即a3-b3>0,C正确.‎ ‎5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S的值等于(  )‎ A.30 B.31 C.62 D.63‎ 答案 B 解析 由流程图可知该算法的功能为计算S=1+21+22+23+24的值,即输出的值为S=1+21+22+23+24==31.‎ ‎6.8的展开式的常数项为(  )‎ A.-56 B.-28 C.56 D.28‎ 答案 D 解析 8展开式的通项公式为Tr+1=C·x8-r·r=C·(-1)r·‎ x ,令8-r=0,得r=6,∴所求常数项为C·(-1)6=28.‎ ‎7.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF,若·=1,则λ的值为(  )‎ A.3 B.2 C. D. 答案 B 解析 由题意可得·=(+)·(+)=·=2+‎ 2+·,且2=2=4,·=2×2×cos120°=-2,故++×(-2)=1,解得λ=2.‎ ‎8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,sinAcosC+(sinC+b)cosA=0,则角A=(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵a=1,sinAcosC+(sinC+b)cosA=0,‎ ‎∴sinAcosC+sinCcosA=-bcosA,‎ ‎∴sin(A+C)=sinB=-bcosA,‎ ‎∴asinB=-bcosA,由正弦定理可得sinAsinB=-sinBcosA,∵sinB>0,∴sinA=-cosA,即tanA=-,∵A∈(0,π),∴A=.‎ ‎9.我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如函数f(x)=的图象大致是(  )‎ 答案 D 解析 因为函数f(x)=,f(-x)==≠f(x),所以函数f(x ‎)不是偶函数,图象不关于y轴对称,故排除A,B;又因为f(3)=,f(4)=,所以f(3)>f(4),而C在x>0时是递增的,故排除C.‎ ‎10.已知5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(  )‎ A.-80 B.-40 C.40 D.80‎ 答案 D 解析 令x=1,得展开式的各项系数和为5=1+a,∴1+a=2,∴a=1,∴5=5=5+5,所求展开式中常数项为5的展开式的常数项与含x项的系数和,5展开式的通项为Tr+1=C(2x)5-r·(-1)rr=(-1)r25-r·Cx5-2r,令5-2r=1得r=2;令5-2r=0,无整数解,∴展开式中常数项为8C=80.‎ ‎11.在正三角形ABC内任取一点P,则点P到A,B,C的距离都大于该三角形边长一半的概率为(  )‎ A.1- B.1- C.1- D.1- 答案 A 解析 满足条件的正三角形ABC如图所示.‎ 设边长为2,其中正三角形ABC的面积S△ABC=×4=.满足到正三角形ABC的顶点A,B,C的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示,其加起来是一个半径为1的半圆,则S阴影=,则使取到的点到三个顶点A,B,C的距离都大于1的概率P=1-,故选A.‎ ‎12.若存在m,使得关于x的方程x+a(2x+2m-4ex)·[ln (x+m)-ln x ‎]=0成立,其中e为自然对数的底数,则非零实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,0) B. C.(-∞,0)∪ D. 答案 C 解析 由题意得-=ln =(t-2e)ln t,‎ 令f(t)=(t-2e)ln t(t>0),则f′(t)=ln t+1-,‎ 令h(t)=f′(t),则h′(t)=+>0,∴h(t)为增函数,即f′(t)为增函数.‎ 当t>e时,f′(t)>f′(e)=0,当0<t<e时,f′(t)<f′(e)=0,‎ ‎∴f(t)≥f(e)=-e,且当t→0时,f(t)→+∞,‎ ‎∴-≥-e,解得a<0或a≥,故选C.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若变量x,y满足约束条件则z=的最小值是________.‎ 答案 -2‎ 解析 画出满足约束条件的可行域,如图中阴影部分所示(含边界),‎ 联立 解得A(2,2),‎ z=的几何意义为可行域内的点与定点P(3,0)的连线的斜率.‎ ‎∵kPA==-2,∴z=的最小值是-2.‎ ‎14.已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为________.‎ 答案 12π 解析 由于三条侧棱相等,根据三角形面积公式可知,当PA,PB,PC两两垂直时,侧面积之和最大.此时PA,PB,PC可看成正方体一个顶点处的三条侧棱,其外接球直径为正方体的体对角线,即4R2=3×22=12,故球的表面积为4πR2=12π.‎ ‎15.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0,1),B(1,0),C(0,-2),O为坐标原点,动点M满足||=1,则|++|的最大值是________.‎ 答案 +1‎ 解析 设点M的坐标是(x,y),∵C(0,-2),且||=1,∴=1,x2+(y+2)2=1,则点M的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.‎ ‎∵A(0,1),B(1,0),∴++=(x+1,y+1),‎ 则|++|=,其几何意义表示圆x2+(y+2)2=1上的点与点P(-1,-1)间的距离.‎ 又点P(-1,-1)在圆C的外部,‎ ‎∴|++|max=||+1‎ ‎= +1=+1.‎ ‎16.函数y=f(x)的定义域为D,若∀x∈D,∃a∈[1,2],使得f(x)≥ax恒成立,则称函数y=f(x)具有性质P,现有如下函数:‎ ‎①f(x)=ex-1;②f(x)=2cos2-1(x≤0);‎ ‎③f(x)= 则具有性质P的函数f(x)为________.(填序号)‎ 答案 ①②‎ 解析 ①设φ(x)=ex-1-x(x∈R),则φ′(x)=ex-1-1.‎ 当x>1时,φ′(x)>0;当x<1时,φ′(x)<0.‎ ‎∴φ(x)min=φ(1)=0,所以ex-1-x≥0,ex-1≥x,‎ 故∃a=1,使f(x)≥ax在R上恒成立,①中函数f(x)具有性质P;‎ ‎②易知f(x)=2cos2-1=sin2x(x≤0).‎ 令φ(x)=f(x)-2x=sin2x-2x(x≤0),‎ 则φ′(x)=2cos2x-2.‎ ‎∴φ′(x)≤0,∴φ(x)在(-∞,0]上是减函数,‎ ‎∴φ(x)min=φ(0)=0,故f(x)≥2x恒成立.‎ ‎∴∃a=2,使得f(x)≥ax在(-∞,0]上恒成立,‎ ‎②中函数f(x)具有性质P;‎ ‎③作函数y=f(x)与直线y=ax的图象,显然当y=ax过点O(0,0),A(1,1),B(2,2)时,斜率a=1.‎ 根据图象知,不存在a∈[1,2],使f(x)≥ax恒成立.‎ 因此③中函数f(x)不具有性质P.‎ 综上可知,具有性质P的函数为①②.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)已知锐角△ABC面积为S,角A,B,C所对边分别是a,b,c,角A,C的平分线相交于点O,b=2且S=(a2+c2-b2),‎ 求:(1)角B的大小;‎ ‎(2)△AOC周长的最大值.‎ 解 (1)∵S=(a2+c2-b2),‎ ‎∴acsinB=(a2+c2-b2),‎ 故acsinB=×2accosB⇒tanB=⇒B=.‎ ‎(2)设△AOC的周长为l,∠OAC=α,则α∈,‎ ‎∵OA,OC分别是角A,C的平分线,B=,‎ ‎∴∠AOC=.‎ 由正弦定理,得==,‎ ‎∴l=4sinα+4sin+2 ‎=4sin+2,‎ ‎∵α∈,∴α+∈,‎ 当α=时,△AOC周长的最大值为4+2.‎ ‎18.(本小题满分12分)某商场营销人员在进行某商品M的市场营销调查时发现,每返还消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到下表:‎ 返还点数t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销量(百件)/天 ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎1‎ ‎1.4‎ ‎1.7‎ ‎(1)经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品销量y(百件)与返还点数t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程= t+,并预测若返还6个点时该商品每天的销量;‎ ‎(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:‎ 返还点数预 期值区间 ‎[1,3)‎ ‎[3,5)‎ ‎[5,7)‎ ‎[7,9)‎ ‎[9,11)‎ ‎[11,13]‎ 频数 ‎20‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎①求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到0.1);‎ ‎②将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“‎ 欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.‎ 参考公式及数据:(ⅰ)=,=-;‎ ‎(ⅱ)tiyi=18.8.‎ 解 (1)易知==3,‎ ==1.04,‎ t=12+22+32+42+52=55,‎ ===0.32,‎ =-=1.04-0.32×3=0.08.‎ 则y关于t的线性回归方程为=0.32t+0.08,当t=6时,=2.00,即返还6个点时该商品每天的销量约为2百件.‎ ‎(2)①根据题意,这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值X的平均值及中位数的估计值分别为=2×0.1+4×0.3+6×0.3+8×0.15+10×0.1+12×0.05=6,‎ 中位数的估计值为 ‎5+2×=5+≈5.7.‎ ‎②抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为6×=4,“欲望膨胀型”消费者人数为6×=2.‎ 所以X的可能取值为0,1,2.‎ P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,‎ 故随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)=0×+1×+2×=1.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直,侧棱与底面所在平面成60°角,AA1⊥A1C,AC⊥BC,AC=4,BC=2.‎ ‎(1)求证:平面ABB1A1⊥平面A1BC;‎ ‎(2)求二面角B-A1B1-C的余弦值.‎ 解 (1)证明:∵平面ACC1A1⊥平面ABC且平面ACC1A1∩平面ABC=AC,且BC⊥AC.‎ ‎∴BC⊥平面ACC1A1,‎ ‎∴BC⊥AA1,又∵AA1⊥A1C,∴AA1⊥平面A1BC ‎∵AA1⊂平面ABB1A1,‎ ‎∴平面ABB1A1⊥平面A1BC.‎ ‎(2)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直,侧棱与底面所在平面成60°角,‎ ‎∴∠A1AC=60°.‎ 又∵AA1⊥A1C,AC=4,∴A1A=2,‎ 如图建立空间直角坐标系,‎ 则A1(3,0,),C(0,0,0),B(0,2,0),A(4,0,0)‎ 由=,得B1(-1,2,),‎ 设平面BA1B1,平面CA1B1的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则=(3,-2,),=(-1,0,),=(3,0,),=(-1,2,).‎ 由知可取n1=(3,6,),‎ 由知可取n2=(-1,-2,),‎ cosθ==,‎ 所以二面角B-A1B1-C的余弦值为.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),离心率e=,A是椭圆的左顶点,F是椭圆的左焦点,|AF|=1,直线m:x=-4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)直线l过点F与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与直线m交于M,N两点,试问:以MN为直径的圆是否过定点,如果是,请求出定点坐标;如果不是,请说明理由.‎ 解 (1)由题意,得解得 ‎∵a2=b2+c2,‎ ‎∴b=,故所求椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)当直线l斜率存在时,设直线l:y=k(x+1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PA:y=(x+2).‎ 令x=-4,得M,‎ 同理N.‎ 则以MN为直径的圆的方程为(x+4)(x+4)+=0,‎ 整理得,(x+4)2+y2+2ky+4k2·=0,①‎ 由得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.‎ 则x1+x2=,x1x2=.②‎ 将②代入①,整理得,x2+y2+8x-y+7=0.‎ 令y=0,得x=-1或x=-7.‎ 当直线l斜率不存在时,P,Q,M(-4,-3),N(-4,3),‎ 以MN为直径的圆为(x+4)2+y2=9也过点(-1,0),(-7,0)两点.‎ 综上,以MN为直径的圆能过两定点(-1,0),(-7,0).‎ ‎21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-ax-b,g(x)=ax2+bx.‎ ‎(1)当a=2,b=-3时,求函数f(x)在x=e处的切线方程,并求函数f(x)的最大值;‎ ‎(2)若函数y=f(x)的两个零点分别为x1,x2,且x1≠x2,求证:g>1.‎ 解 (1)当a=2,b=-3时,f(x)=-x+3(x>0),‎ f′(x)=,‎ 则f′(e)=-1,切点为,‎ 故函数f(x)在x=e处的切线方程为x+y--3=0.‎ 令h(x)=1-ln x-x2,则h(x)=1-ln x-x2在(0,+∞)是减函数,‎ 又h(1)=0,∴x∈(0,1),h(x)>0,f′(x)>0,x∈(1,+∞),h(x)<0,‎ f′(x)<0,‎ ‎∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.‎ ‎∴f(x)max=f(1)=2.‎ ‎(2)证明:∵x1,x2是f(x)的两个零点,不妨设x11,‎ >1⇔ln t<⇔ln t-<0,‎ 令m(t)=ln t-,t∈(0,1),‎ m′(t)=-=>0,‎ ‎∴m(t)=ln t-在(0,1)上是增函数,‎ 又∵m(1)=0,∴t∈(0,1)时,m(t)<0,命题得证.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.‎ ‎22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:x+y=1与曲线C2:(φ 为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)写出曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)在极坐标系中,已知l:θ=α(ρ>0)与C1,C2的公共点分别为A,B,α∈,当=4时,求α的值.‎ 解 (1)曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=1,即ρsin=.‎ 曲线C2的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.‎ ‎(2)由(1)知,|OA|=ρA=,‎ ‎|OB|=ρB=4cosα,‎ ‎∴=4cosα(cosα+sinα)=2(1+cos2α+sin2α)=‎ ‎2+2sin,‎ ‎∵=4,∴2+2sin=4,‎ sin=,‎ 由0<α<,知<2α+<,即2α+=,‎ ‎∴α=.‎ ‎23.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知函数f(x)=|x+2|-|2x-1|.‎ ‎(1)求f(x)>-5的解集;‎ ‎(2)若关于x的不等式|b+2a|-|2b-a|≥|a|(|x+1|+|x-m|)(a≠0)能成立,求实数m的取值范围.‎ 解 (1)f(x)=|x+2|-|2x-1|‎ ‎= 故f(x)>-5的解集为(-2,8).‎ ‎(2)由|b+2a|-|2b-a|≥|a|(|x+1|+|x-m|)(a≠0)能成立,得≥|x+1|+|x-m|能成立,‎ 即-≥|x+1|+|x-m|能成立,‎ 令=t,则|t+2|-|2t-1|≥|x+1|+|x-m|能成立,‎ 由(1)知,|t+2|-|2t-1|≤,‎ 又∵|x+1|+|x-m|≥|1+m|,‎ ‎∴|1+m|≤,∴实数m的取值范围是.‎