2020届高三数学上学期第三次月考试题 理（含解析）新人教版 12页

‎2019学年第一学期高三第三次月考试卷 数学(理科)‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则的子集的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意，令，得，所以，其子集的个数为，故选B.‎ ‎2. 的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】 在中，则,即，若，则，即，‎ ‎ 所以是成立的充要条件，故选C.‎ ‎3. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由，故选D.‎ ‎4. 下列命题中正确的是（ ）‎ A. 命题“，使”的否定为“，都有”‎ B. 若命题为假命题，命题为真命题，则为假命题 C. 命题“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题 D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】 选择A：命题“ ，使”的否定为“，都有”；‎ ‎ 选项B：为真命题； 选项C：“若 ，则与 - 12 -‎ 的夹角为锐角”原命题为假命题，逆命题为真命题，故选D ‎5. 中，角的对边分别为，，，，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎..................‎ ‎ 由正弦定理，可得，进而得到，故选A.‎ ‎6. 已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为（ ）‎ A. 18 B. 27 C. 45 D. 54‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意得，这九个数的和 ‎ ‎ 根据等差数列的性质，得，‎ ‎ 又因为各列也构成等差数列，则，‎ 所以，故选C.‎ ‎7. 已知函数（），且导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B - 12 -‎ ‎【解析】 因为，所以，‎ ‎ 由图象可得，函数的最大值，‎ ‎ 又因为，所以，可得，‎ ‎ 所以，将代入，‎ 得，即，即，‎ 因为，所以，所以 所以，故选B.‎ ‎8. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在仿射坐标系中的坐标.若在此仿射坐标系下，的坐标为，的坐标为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 在平面直角坐标系可得：，‎ 则，‎ 所以，故选A.‎ ‎9. 函数（）的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ - 12 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意可知，‎ ‎ 所以函数是奇函数，依据图象排除A和C选项，‎ ‎ 由于，即，排除D选项，故选B.‎ ‎10. 将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（ ）‎ A. B. 不存在，使得 C. 对，且，都有 D. 以上说法都不对 ‎【答案】C ‎【解析】 由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时，，‎ 所以当，且时，是成立的，故选C.‎ ‎11. 已知，，，‎ 则函数（）的各极大值之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意得，，所以，‎ 则，所以的极大值点为，‎ - 12 -‎ 的各极大值之和为，故选A.‎ ‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用以及等比数列的求和问题，其中解答中涉及到归纳推理、利用导数研究函数的极值，以及等比数列求和公式等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中认真审题，利用导数判定出函数在定义域上的极大值点是解答的关键.‎ ‎12. 如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 因为，所以，所以，‎ 因为，且，‎ 所以，得，所以，‎ 又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了向量的运算和数列的通项公式的求解问题，其中解答中涉及到向量的线性运算，共线向量的表示和等差数列的判定和等差数列的通项公式的应用，试题综合性强，属于中档试题，解答中根据向量的运算和共线向量的表示，得出数列和的关系是解答的关键.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ - 12 -‎ ‎13. __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由，及，‎ 可得，所以.‎ ‎14. 已知函数，若，则实数的值是__________．‎ ‎【答案】0或或 ‎【解析】 由题意得，①当时，，符合题意；‎ ‎②当时，，解得，符合题意；‎ ‎③当时，，解得，符合题意，‎ 综上所述，或或.‎ ‎15. 若直线为函数图象的一条切线，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】 设切点，则，所以方程为，‎ ‎ 即，所以，，‎ ‎ 可得在上单调递减，在单调递增，‎ 所以当时，取得最小值.‎ ‎ 点睛：本题主要考查了导致在函数中的应用，其中解答中涉及到导数的几何意义求解切线的方程，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据导数的几何意义，得出切线方程，求得的解析式是解答的关键.‎ ‎16. 点为所在平面内的一点且满足 ，‎ ‎，动点满足，，则的最小值为__________．‎ - 12 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 因为，即点是外接圆的圆心，即外心，‎ ‎ 又因为 ，即点是外接圆的重心，‎ ‎ 所以是等边三角形，‎ 由，解得，即三角形的边长为，‎ 以点为原点建立坐标系，并且做单位元，点是圆上任意一点，‎ 则，点是的中点，‎ 所以，‎ ‎，‎ 当时，函数取得最小值，即 的最小值为.‎ ‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的综合应用问题，其中解答中涉及到三角形的性质，正弦定理解三角形，以及三角函数的恒等变换和三角函数的性质，试题综合性强，属于难题，解答中根据三角形的形式和正弦定理得到三角形为等边三角形，建立坐标系，利用坐标法求解是解答的关键.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知向量，，记函数.‎ ‎(1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合；‎ ‎(2)求函数在区间内的单调递减区间.‎ ‎【答案】（1）最大值，且取得最大值时的集合为；（2）和 ‎【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意，化简得，即可求解函数的最值，及其相应的的值.‎ - 12 -‎ ‎ (Ⅱ)由题意:根据三角函数的图象与性质，即可求解在的单调递减区间．‎ 试题解析：‎ 当，即时，取得最大值.‎ 此时，最大值.‎ 且取得最大值时的集合为.‎ ‎(2)由题意: ，即，．‎ 于是，在的单调递减区间是和．‎ ‎18. 在等差数列中，，.记数列的前项和为.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)设数列的前项和为，若成等比数列，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意，求得等差数列的公差，进而得到数列的通项公式，即可求解数列的前项和.‎ ‎ (Ⅱ)由成等比数列，求解，进而得到数列通项公式，再猜裂项相消求和即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎．‎ ‎(2)若成等比数列，则，即，∴，‎ ‎∵ ‎ - 12 -‎ ‎∴ .‎ ‎19. 设分别为三个内角的对边，若向量，‎ ‎，且.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的最小值(其中表示的面积).‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意得，得出向量的坐标，根据，利用，化简即可到结论；‎ ‎ (Ⅱ)由三角形的面积公式及余弦定理，得，在中，得出，再利用正切的两角和公式和基本不等式，即可求解结论. ‎ 试题解析：‎ ‎(1) ∵ ，，且，‎ ‎ ∴即 ，‎ ‎ ，‎ 因此.‎ ‎(2)由及余弦定理，得 在中，∵，易知，‎ ‎∴ ‎ 即当且仅当时， ．‎ ‎20. 设函数.‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ - 12 -‎ ‎(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)由定义域为，求得，分，两种情况讨论，即可得出函数的单调性；‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)可知得到，则恒成立，转化为函数，‎ 得出，令令，利用导数得出的单调性和最值，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由定义域为，，‎ 当时，，在单调增．‎ 当时，，；‎ 在单调增，在单调减．‎ 综上所述:当时，在单调增；‎ 当时，在单调增，在单调减．‎ ‎(2)由(Ⅰ)可知，，则恒成立．‎ 令，显然，‎ 再令，，当，当．‎ 在单调减，单调增．，，∴，‎ 在单调增，，∴．‎ ‎21. 设正项数列的前项和为，且满足，，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若正项等比数列满足，且，数列的前项和为.‎ ‎①求；‎ ‎②若对任意，，均有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ - 12 -‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意，可化简得，进而求得，所以，‎ 利用等差数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)由（1）得出，利用乘公比错位相减法，求解数列 的和，在利用 恒成立，分类参数转化为恒成立，即可求解结论.‎ 试题解析：‎ ‎(1) ，，∴，‎ ‎∴ 且各项为正，∴‎ 又，所以，再由得，所以 ‎∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴‎ ‎(2)∴，‎ ‎①，②‎ ‎∴ ，‎ ‎ 恒成立 ‎ ‎∴ ，即恒成立.‎ 设，‎ 当时，；时，‎ ‎∴，∴.‎ 点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎(1)若，试判断函数的零点个数；‎ ‎(2)若函数在上为增函数，求整数的最大值，(可能要用的数据: ；).‎ - 12 -‎ ‎【答案】（1）1个；（2）6‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)根据导数求解函数的单调性，利用零点的存在定理，即可判定函数在上的零点的个数.‎ ‎ (Ⅱ)由题意，把在上恒成立，在上恒成立，进而转化为 在上恒成立，令，即，利用导数求解函数的单调性和最小值，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为，易知在上为增函数，则，‎ 故在上为增函数，又，，‎ 所以函数在上的零点有且只有1个.‎ ‎(2)因为，由题意在上恒成立，‎ 因为显然成立，故只需在上恒成立，‎ 令，则 因为 由(1)可知: 在上为增函数，故在上有唯一零点记为， ， ，‎ 则， ，‎ 则在为减函数，‎ 在为增函数，‎ 故时，有最小值.‎ 令，则最小值有 ，‎ 因，则的最小值大约在之间，故整数的最大值为6.‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及恒成立问题的求解，试题综合性强，属于难题，此类问题的解答中，根据题意合理利用分离参数转化为新函数的性质是解答的关键.‎ - 12 -‎