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  • 2021-06-11 发布

广东省佛山市三水中学2019-2020学年高一下学期第二次统考数学试卷

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三水中学高一级2019-2020学年度下学期第二次统考 数学科试题 满分:150分 考试时间:120分钟 命题人: 审题人: ‎ 一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,1~10题只有一项是符合题意的;11~12题有多项是符合题意的,请把你认为正确的答案填写在答题框内。)‎ ‎1.不等式的解集为( )‎ A.B. C. D.‎ ‎2.已知数列‎2‎‎、‎6‎、‎10‎、‎14‎、3‎‎2‎……那么‎7‎‎2‎是这个数列的第( )项 A.23 B.24 C.19 D.25‎ ‎3.满足的的个数是( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎4.在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中,八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数与方差分别为( )‎ A.85, B.86, C.85,3 D.86,3‎ ‎5.设为等差数列的前n项和,,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在中,内角的对边是,若,,则等于( ) A. B. C. D.‎ ‎7.设中,三个角对应的三边分别是,且成等比数列,则角的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在‎∆ABC中,角的对边分别为,向量m‎=(a,cosB)‎,n‎=(cosA,-b)‎,若m‎⊥‎n,则‎∆ABC一定是( )‎ A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ‎9.已知数列为等差数列,首项,若,则使得的的最大值为( ) A.2007 B.2008 C.2009 D.2010‎ ‎10.已知‎∆ABC是边长为1的等边三角形,若对任意实数,不等式|kAB‎+tBC|‎>‎1恒成立,则实数的取值范围是( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11.已知是边长为2的等边三角形,,分别是、上的两点,且AE‎=‎EB,AD=2DC,与交于点,则下列说法正确的是( )‎ A.AB‎∙CE=-1‎ B.‎OE‎+OC=‎‎0‎ C.OA‎+OB+‎OC‎=‎‎3‎‎2‎ D.ED在BC方向上的投影为 ‎12.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人,斐波那契数列被誉为是最美的数列,斐波那契数列满足:,,.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则下列结论正确的是( )‎ A. B.‎ C. ‎ D.‎ 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ 13. 某学校高一年级举行选课培训活动,共有1024名学生、家长、老师参加,其中家长256人.学校按学生、家长、老师分层抽样,从中抽取64人,进行某问卷调查,则抽到的家长有______人 14. 已知向量、满足,,且(),则_____.‎ 15. 数列中,,其前项和为,且对任意正整数都有,则Sn‎=‎_______.‎ ‎16.已知且,则a+b的取值范围是_______.‎ 三、解答题(本大题共6小题,第17、18题满分10分,第22题满分14分,其余小题满分12分,共70.0分)‎ ‎17.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ; (2)若=a,=b,求△ABC的面积.‎ ‎18.已知在等比数列中,,且是和的等差中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求的前项和.‎ ‎19.随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机软件层出不穷,现从某市使用和两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下:‎ ‎(1)使用订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家有多少个?‎ ‎(2)试估计该市使用款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及中位数;‎ ‎(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从和两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?‎ ‎(第19题图) (第21题图)‎ ‎20.在中,已知,其中角所对的边分别为.求 ‎(1)求角的大小; (2)若, 的面积为,求的值.‎ ‎21.如图,某自行车手从O点出发,沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行,其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20 千米.该车手于上午8点整到达点A,8点20分骑至点C,其中点C位于点O南偏东(45°﹣α)(其中sinα= ,0°<α<90°)且与点O相距5 千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上). (1)求该自行车手的骑行速度; ‎ ‎(2)若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E,假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨.试问:该自行车手会不会进入降雨区,并说明理由. ‎ ‎22.已知数列的前项和,函数对任意的都有,数列满足. ‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,是数列的前项和,是否存在正实数,使不等式对于一切的恒成立?若存在请求出的取值范围;若不存在请说明理由.‎ 三水中学高一级2019-2020学年度下学期第二次统考 数学科试题答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B D A C C D B B BCD ABD 二、 填空题 ‎13. 16 14. ‎5‎ 15.‎ ‎‎2‎n+1‎ 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,‎ 所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61…………..1分 又|a|=4,|b|=3,‎ 所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6,…………..2分 所以cos θ===-.…………..4分 又0≤θ≤π,所以θ=.…………..6分 ‎ (2)因为与的夹角θ=,‎ 所以∠ABC=π-=.…………..8分 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,‎ 所以S△ABC=×4×3×=3.…………..10分 ‎18.解:(1)设等比数列的公比为,则,则,,‎ 由于是和的等差中项,即,…………..2分 即,解得.…………..3分 因此,数列的通项公式为;.…………..5分 ‎(2),‎ ‎.‎ ‎.…………..10分 ‎19.解:(1)使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家共有个。…………..3分 ‎(2)依题意可得,使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55,…………..4分 设中位数为x,则(x-30)0.012=0.1,解得x=。…………..7分 ‎(3)使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 ‎.…………..9分 使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 ‎………11分 ‎ 所以选款订餐软件.…………..12分 ‎20.解:(1) 由正弦定理,得,…………..2分 ‎∵, ∴. 即,而 …………..4分 ‎ ∴, 则 …………..6分 ‎(2)由,得,…………..8分 由及余弦定理得,‎ 即,…………..10分 所以.…………..12分 ‎21、 解:‎ ‎(1)由题意知:OA=2,OC, ∠AOC=α,sinα=.‎ 由于0°<α<90°,‎ 所以.…………..1分 在△AOC中,由余弦定理得 ‎,所以,…………..3分 所以该自行车手的行驶速度为(千米/小时).…………..4分 ‎(2)如图, ‎ 设直线OE与AB相交于点M.‎ 在△AOC中,由余弦定理得 cos∠OAC …………..6分 从而 sin∠OAC. …………..7分 在△AOM中,由正弦定理得, ‎ 所以,…………..9分 由于OE=27.5>40=OM,‎ 所以点M位于点O和点E之间,且ME=OE﹣OM=7.5.…………..10分 过点E作EH AB于点H,则EH为点E到直线AB的距离. ‎ 在Rt△EHM中,EH=EM•sin∠EMH=EM•sin(45°﹣∠OAC).‎ 所以该自行车手会进入降雨区.…………..12分 ‎22.解:(1) ‎ 时满足上式,故 …………..3分 ‎ ‎∵=1∴ ‎ ‎∵     ①‎ ‎∴    ②‎ ‎∴①+②,得. …………..6分 ‎(2)∵,∴ ‎ ‎∴     ①‎ ‎, ②‎ ‎①-②得 ‎ 即 …………..10分 ‎ 要使得不等式恒成立,‎ 恒成立对于一切的恒成立,‎ 即 ,令,则 当且仅当时等号成立,故 所以为所求. …………..14分