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- 2021-06-11 发布
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三水中学高一级2019-2020学年度下学期第二次统考
数学科试题
满分:150分 考试时间:120分钟 命题人: 审题人:
一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,1~10题只有一项是符合题意的;11~12题有多项是符合题意的,请把你认为正确的答案填写在答题框内。)
1.不等式的解集为( )
A.B. C. D.
2.已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第( )项
A.23 B.24 C.19 D.25
3.满足的的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中,八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数与方差分别为( )
A.85, B.86, C.85,3 D.86,3
5.设为等差数列的前n项和,,则的值为( )
A. B. C. D.
6.在中,内角的对边是,若,,则等于( ) A. B. C. D.
7.设中,三个角对应的三边分别是,且成等比数列,则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在∆ABC中,角的对边分别为,向量m=(a,cosB),n=(cosA,-b),若m⊥n,则∆ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
9.已知数列为等差数列,首项,若,则使得的的最大值为( ) A.2007 B.2008 C.2009 D.2010
10.已知∆ABC是边长为1的等边三角形,若对任意实数,不等式|kAB+tBC|>1恒成立,则实数的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
11.已知是边长为2的等边三角形,,分别是、上的两点,且AE=EB,AD=2DC,与交于点,则下列说法正确的是( )
A.AB∙CE=-1 B.OE+OC=0
C.OA+OB+OC=32 D.ED在BC方向上的投影为
12.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人,斐波那契数列被誉为是最美的数列,斐波那契数列满足:,,.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 某学校高一年级举行选课培训活动,共有1024名学生、家长、老师参加,其中家长256人.学校按学生、家长、老师分层抽样,从中抽取64人,进行某问卷调查,则抽到的家长有______人
14. 已知向量、满足,,且(),则_____.
15. 数列中,,其前项和为,且对任意正整数都有,则Sn=_______.
16.已知且,则a+b的取值范围是_______.
三、解答题(本大题共6小题,第17、18题满分10分,第22题满分14分,其余小题满分12分,共70.0分)
17.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ; (2)若=a,=b,求△ABC的面积.
18.已知在等比数列中,,且是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求的前项和.
19.随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机软件层出不穷,现从某市使用和两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下:
(1)使用订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家有多少个?
(2)试估计该市使用款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及中位数;
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从和两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?
(第19题图) (第21题图)
20.在中,已知,其中角所对的边分别为.求
(1)求角的大小; (2)若, 的面积为,求的值.
21.如图,某自行车手从O点出发,沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行,其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20 千米.该车手于上午8点整到达点A,8点20分骑至点C,其中点C位于点O南偏东(45°﹣α)(其中sinα= ,0°<α<90°)且与点O相距5 千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上). (1)求该自行车手的骑行速度;
(2)若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E,假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨.试问:该自行车手会不会进入降雨区,并说明理由.
22.已知数列的前项和,函数对任意的都有,数列满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若数列满足,是数列的前项和,是否存在正实数,使不等式对于一切的恒成立?若存在请求出的取值范围;若不存在请说明理由.
三水中学高一级2019-2020学年度下学期第二次统考
数学科试题答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
D
A
C
C
D
B
B
BCD
ABD
二、 填空题
13. 16 14. 5 15. 2n+1 16.
三、解答题
17.解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61…………..1分
又|a|=4,|b|=3,
所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6,…………..2分
所以cos θ===-.…………..4分
又0≤θ≤π,所以θ=.…………..6分
(2)因为与的夹角θ=,
所以∠ABC=π-=.…………..8分
又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,
所以S△ABC=×4×3×=3.…………..10分
18.解:(1)设等比数列的公比为,则,则,,
由于是和的等差中项,即,…………..2分
即,解得.…………..3分
因此,数列的通项公式为;.…………..5分
(2),
.
.…………..10分
19.解:(1)使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家共有个。…………..3分
(2)依题意可得,使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55,…………..4分
设中位数为x,则(x-30)0.012=0.1,解得x=。…………..7分
(3)使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为
.…………..9分
使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为
………11分
所以选款订餐软件.…………..12分
20.解:(1) 由正弦定理,得,…………..2分
∵, ∴. 即,而 …………..4分
∴, 则 …………..6分
(2)由,得,…………..8分
由及余弦定理得,
即,…………..10分
所以.…………..12分
21、 解:
(1)由题意知:OA=2,OC, ∠AOC=α,sinα=.
由于0°<α<90°,
所以.…………..1分
在△AOC中,由余弦定理得
,所以,…………..3分
所以该自行车手的行驶速度为(千米/小时).…………..4分
(2)如图,
设直线OE与AB相交于点M.
在△AOC中,由余弦定理得
cos∠OAC …………..6分
从而 sin∠OAC. …………..7分
在△AOM中,由正弦定理得,
所以,…………..9分
由于OE=27.5>40=OM,
所以点M位于点O和点E之间,且ME=OE﹣OM=7.5.…………..10分
过点E作EH AB于点H,则EH为点E到直线AB的距离.
在Rt△EHM中,EH=EM•sin∠EMH=EM•sin(45°﹣∠OAC).
所以该自行车手会进入降雨区.…………..12分
22.解:(1)
时满足上式,故 …………..3分
∵=1∴
∵ ①
∴ ②
∴①+②,得. …………..6分
(2)∵,∴
∴ ①
, ②
①-②得
即 …………..10分
要使得不等式恒成立,
恒成立对于一切的恒成立,
即 ,令,则
当且仅当时等号成立,故 所以为所求. …………..14分