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- 2021-06-11 发布
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珠海市2020-2021学年度第一学期高三
摸底测试 数学 2020.9
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,,则
A. B.
C. D.
2.
A.1 B.2 C.−i D.−2i
3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测,甲、乙两个单位各需三名医生,丙需两名医生,其中医生a不能去甲医院,则不同的选派方式共有
A.280种 B.350种 C.70种 D.80种
4.一球内接一圆锥,圆锥的轴截面为正三角形,过作与球相切的平面,则直线与平面所成的角为
A.30° B.45° C.15° D.60°
5.现有8位同学参加音乐节演出,每位同学会拉小提琴或会吹长笛,已知5人会拉小提琴,5人会吹长笛,现从这8人中随机选一人上场演出,恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是
A. B. C. D.
6.若定义在上的奇函数f(x)在单调递增,且,则满足的解集是
A. B.
C. D.
7.已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点,则的最大值是
A. B.2 C. D.
16
8.直线是曲线和曲线的公切线,则
A.2 B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,渐近线方程为,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
10.如图是函数的部分图象,则
(第10题图)
A. B.
C. D.
11.已知,则
A. B. C. D.
12.已知随机变量的取值为不大于的非负整数,它的概率分布列为
…
…
其中满足,且.定义由生成的函数,为函数的导函数,为随机变量的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子,四个面分别标有1,2,
16
3,4个点数,这枚骰子连续抛掷两次,向下点数之和为,此时由生成的函数为,则
A. B. C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.椭圆的左、右焦点分别为、,过原点的直线与交于A,B两点,、都与轴垂直,则=________.
14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前10项和为________(用数字作答).
15.已知、为锐角三角形的两个内角,,,则 .
16.一半径为的球的表面积为,球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形,则该长方体体积的最大值为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在①, ②, ③
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在非直角,它的内角的对边分别为,
且,,________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)
已知数列是正项等比数列,满足,.
(1)求的通项公式;
16
(2)设,求数列的前项和.
19.(12分)如图,三棱锥中,,,平面PBC⊥底面ABC,,分别是,的中点.
(1)证明:PD⊥平面ABC;
(2)求二面角的正切值.
(第19题图)
20.(12分)某药企对加工设备进行升级,现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品,每件售价240元;质量指标值落在和内的为一等品,每件售价为180元;质量指标值落在内的为二等品,每件售价为120元;其余为不合格品,全部销毁.每件产品生产销售全部成本50元.
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
(第20题图)
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
质量指标值
频数
(1) 以样本估计总体,若生产的合格品全部在当年内可以销售出去,计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值.
16
(2)以样本估计总体,若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件,设其支付的费用为(单位:元),求(元)的分布列.
21.(12分)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)讨论的零点的个数.
22.(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点到直线的距离为,为直线上的点,过作抛物线的切线、,切点为.
(1)求抛物线的方程;
(2) 若,求直线的方程;
(3)若为直线上的动点,求的最小值.
16
珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试
数学 2020.9解析及评分参考
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,,则 A
A. B. C. D.
2. B
A.1 B.2 C.−i D.−2i
3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测,甲、乙两个单位各需三名医生,丙需两名医生,其中医生a不能去甲医院,则不同的选派方式共有 B
A.280种 B.350种 C.70种 D.80种
4.一球内接一圆锥,圆锥的轴截面为正三角形,过作与球相切的平面,则直线与所成的角为 D
A.30° B.45° C.15° D.60°
5.现有8位同学参加音乐节演出,每位同学会拉小提琴或会吹长笛,已知5人会拉小提琴,5人会吹长笛,现从这8人中随机选一人上场演出,恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A
A. B. C. D.
6.若定义在上的奇函数f(x)在单调递增,且,则满足的解集是 D
A. B. C. D.
7.已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点,则的最大值是 C
A. B.2 C. D.
16
8.直线是曲线和曲线的公切线,则 C
A.2 B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,渐近线方程为,则双曲线的离心率为 AB
A. B. C. D.
10.如图是函数的部分图象,则 BCD
A. B.
C. D.
11.已知,则 ACD
A. B. C. D.
12.已知随机变量的取值为不大于的非负整数,它的概率分布列为
…
…
其中满足,且.定义由生成的函数,为函数的导函数,为随机变量的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子,四个面分别标有1,2,3,4个点数,这枚骰子连续抛掷两次,向下点数之和为,此时由生成的函数为,则 CD
16
A. B. C. D.
提示:
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.椭圆的左、右焦点分别为、,过原点的直线与交于A,B两点,、都与轴垂直,则=________.
14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前10项和为________(用数字作答). 2046
15.已知、为锐角三角形的两个内角,,,则 .
16.一半径为的球的表面积为,球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形,则该长方体体积的最大值为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在①, ②, ③
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在非直角,它的内角的对边分别为,
16
且,,________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解:中,由
得
………………………………………………………………………1分
∴………………………………………………………………………2分
∵不是直角三角形
∴
∴………………………………………………………………………3分
即………………………………………………………………………4分
∵
∴………………………………………………………………………6分
选①:由,及 得…………………………………………………7分
由 得……………………………………………………9分
不合理,故不存在.………………………………………………………………………10分
选②:由
得………………………………………………………………………8分
∴………………………………………………………………………9分
∴为直角,不合题设,故不存在.…………………………………………………10分
选③:由
16
得.………………………………………………………10分
18.(12分)
已知数列是正项等比数列,满足,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
解:(1)设正项等比数列的公比为
由得解得………………………………2分
所以的通项公式 ……………………………………………………………4分
(2)………………………………………………6分
故………………………………………………………………8分
所以的前项和:
.……………………………………………12分
19.(12分)如图,三棱锥中,,
16
,平面PBC⊥底面ABC,,分别是,的中点.
(1)证明:PD⊥平面ABC;
(2)求二面角的正切值.
(1)证明:∵,是中点
∴PD⊥BC…………………………………………1分
∵平面PBC⊥底面ABC,PD平面PBC,平面PBC底面ABC
∴PD⊥平面ABC.………………………………………………4分
(2)解:如图,取中点,连接,
则………………………………………………5分
∵,是的中点,
∴,……………………………………………………6分
,
∴,…………………………………………………………7分
∵PD⊥平面ABC
∴,
∴平面………………………………………………………………………8分
∴………………………………………………………………………9分
∴为二面角的平面角.……………………………………………………10分
在中,…………………………………………11分
∴二面角的正切值为2.……………………………………………………………12分
16
20.(12分)某药企对加工设备进行升级,现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品,每件售价240元;质量指标值落在和内的为一等品,每件售价为180元;质量指标值落在内的为二等品,每件售价为120元;其余为不合格品,全部销毁.每件产品生产销售全部成本50元.
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
质量指标值
频数
(1) 以样本估计总体,若生产的合格品全部在当年内可以销售出去,计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值.
(2)以样本估计总体,若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件,设其支付的费用为(单位:元),求(元)的分布列.
解:(1)由题设知,………………………………………1分
的分布列为
………………………………………………………………………3分
16
设备升级前利润的期望值为
……………………4分
∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元.………………………5分
(2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元)
则………………………………………………………………………6分
患者购买一件合格品的费用的分布列为
……………………………8分
则………………………………………………10分
则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为
………………………………………………………………………12分
21.(12分)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)讨论的零点的个数.
解:(1)∵
∴…………………………………………………1分
16
时时,时.……………………………3分
∴时,的减区间是,增区间是.………………………4分
(2)①时,∵且的减区间是,增区间是
∴是的极小值,也是最小值…………………………………5分
,………………………………6分
取且……………………………7分
则…………………………8分
∴在和上各一个零点………………………………………9分
②时,只一个零点…………………………………10分
综上,时,有两个零点;…………………………………………11分
时,一个零点.………………………………………………………………………12分
22.(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点到直线的距离为,为直线上的点,过作抛物线的切线、,切点为.
(1)求抛物线的方程;
(2) 若,求直线的方程;
(3)若为直线上的动点,求的最小值.
解:(1)由到直线的距离为
得
16
得或………………………………………………………2分
∵
∴…………………………………………………………………3分
∴抛物线.……………………………………………………4分
(2) 由知
∴…………………………………………………………………5分
设切点,
则
即
……………………………………………………6分
∵,
∴即………………………………7分
∴.………………8分
(3)若为直线上的动点,设,则
由(2)知
∵,
∴
∴与联立消得
…………“*” ……………………………………9分
16
则,是“*”的二根
∴………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………………11分
当时,得到最小值为.…………………………12分
16
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