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  • 2021-06-11 发布

广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案

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珠海市2020-2021学年度第一学期高三 摸底测试     数学    2020.9‎ 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合,,则 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2. ‎ A.1 B.‎2 C.−i D.−2i ‎3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测,甲、乙两个单位各需三名医生,丙需两名医生,其中医生a不能去甲医院,则不同的选派方式共有 ‎ A.280种 B.350种 C.70种 D.80种 ‎4.一球内接一圆锥,圆锥的轴截面为正三角形,过作与球相切的平面,则直线与平面所成的角为 ‎ A.30° B.45° C.15° D.60°‎ ‎5.现有8位同学参加音乐节演出,每位同学会拉小提琴或会吹长笛,已知5人会拉小提琴,5人会吹长笛,现从这8人中随机选一人上场演出,恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若定义在上的奇函数f(x)在单调递增,且,则满足的解集是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点,则的最大值是 ‎ A. B.‎2 C. D. ‎ 16‎ ‎8.直线是曲线和曲线的公切线,则 ‎ A.2 B. C. D. ‎ 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。‎ ‎9.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,渐近线方程为,则双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.如图是函数的部分图象,则 ‎ ‎(第10题图)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11.已知,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知随机变量的取值为不大于的非负整数,它的概率分布列为  ‎ ‎…‎ ‎…‎ 其中满足,且.定义由生成的函数,为函数的导函数,为随机变量的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子,四个面分别标有1,2,‎ 16‎ ‎3,4个点数,这枚骰子连续抛掷两次,向下点数之和为,此时由生成的函数为,则 ‎ A.  B.   C.  D.‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.椭圆的左、右焦点分别为、,过原点的直线与交于A,B两点,、都与轴垂直,则=________. ‎ ‎14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前10项和为________(用数字作答). ‎ ‎15.已知、为锐角三角形的两个内角,,,则    . ‎ ‎16.一半径为的球的表面积为,球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形,则该长方体体积的最大值为     . ‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10分)‎ 在①, ②, ③‎ 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.‎ 问题:是否存在非直角,它的内角的对边分别为,‎ 且,,________?‎ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.‎ ‎18.(12分)‎ 已知数列是正项等比数列,满足,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ 16‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎19.(12分)如图,三棱锥中,,,平面PBC⊥底面ABC,,分别是,的中点. ‎ ‎(1)证明:PD⊥平面ABC;‎ ‎(2)求二面角的正切值.‎ ‎(第19题图)‎ ‎20.(12分)某药企对加工设备进行升级,现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品,每件售价240元;质量指标值落在和内的为一等品,每件售价为180元;质量指标值落在内的为二等品,每件售价为120元;其余为不合格品,全部销毁.每件产品生产销售全部成本50元.‎ 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图 ‎(第20题图)‎ 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 质量指标值 频数 ‎(1) 以样本估计总体,若生产的合格品全部在当年内可以销售出去,计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值.‎ 16‎ ‎(2)以样本估计总体,若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件,设其支付的费用为(单位:元),求(元)的分布列.‎ ‎21.(12分)已知函数,.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)讨论的零点的个数.‎ ‎22.(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点到直线的距离为,为直线上的点,过作抛物线的切线、,切点为.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2) 若,求直线的方程;‎ ‎(3)若为直线上的动点,求的最小值.‎ 16‎ 珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试     ‎ 数学    2020.9解析及评分参考 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合,,则 A A. B. C. D.‎ ‎2. B A.1 B.‎2 C.−i D.−2i ‎3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测,甲、乙两个单位各需三名医生,丙需两名医生,其中医生a不能去甲医院,则不同的选派方式共有 B A.280种 B.350种 C.70种 D.80种 ‎4.一球内接一圆锥,圆锥的轴截面为正三角形,过作与球相切的平面,则直线与所成的角为 D A.30° B.45° C.15° D.60°‎ ‎5.现有8位同学参加音乐节演出,每位同学会拉小提琴或会吹长笛,已知5人会拉小提琴,5人会吹长笛,现从这8人中随机选一人上场演出,恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A A. B. C. D.‎ ‎6.若定义在上的奇函数f(x)在单调递增,且,则满足的解集是 D A. B. C. D. ‎ ‎7.已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点,则的最大值是 C A. B.‎2 C. D. ‎ 16‎ ‎8.直线是曲线和曲线的公切线,则 C A.2 B. C. D. ‎ 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。‎ ‎9.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,渐近线方程为,则双曲线的离心率为 AB A. B. C. D. ‎ ‎10.如图是函数的部分图象,则 BCD A. B.‎ C. D.‎ ‎11.已知,则 ACD A. B. C. D. ‎ ‎12.已知随机变量的取值为不大于的非负整数,它的概率分布列为  ‎ ‎…‎ ‎…‎ 其中满足,且.定义由生成的函数,为函数的导函数,为随机变量的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子,四个面分别标有1,2,3,4个点数,这枚骰子连续抛掷两次,向下点数之和为,此时由生成的函数为,则 CD 16‎ A.  B.   C.  D.‎ 提示:‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.椭圆的左、右焦点分别为、,过原点的直线与交于A,B两点,、都与轴垂直,则=________.‎ ‎14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前10项和为________(用数字作答). 2046‎ ‎15.已知、为锐角三角形的两个内角,,,则    .‎ ‎16.一半径为的球的表面积为,球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形,则该长方体体积的最大值为     .‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10分)‎ 在①, ②, ③‎ 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.‎ 问题:是否存在非直角,它的内角的对边分别为,‎ 16‎ 且,,________?‎ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.‎ 解:中,由 得 ‎ ‎ ………………………………………………………………………1分 ‎∴………………………………………………………………………2分 ‎∵不是直角三角形 ‎∴‎ ‎∴………………………………………………………………………3分 即………………………………………………………………………4分 ‎∵‎ ‎∴………………………………………………………………………6分 选①:由,及 得…………………………………………………7分 由 得……………………………………………………9分 不合理,故不存在.………………………………………………………………………10分 选②:由 得………………………………………………………………………8分 ‎∴………………………………………………………………………9分 ‎∴为直角,不合题设,故不存在.…………………………………………………10分 选③:由 ‎ 16‎ 得.………………………………………………………10分 ‎18.(12分)‎ 已知数列是正项等比数列,满足,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ 解:(1)设正项等比数列的公比为 由得解得………………………………2分 所以的通项公式 ……………………………………………………………4分 ‎(2)………………………………………………6分 故………………………………………………………………8分 所以的前项和:‎ ‎.……………………………………………12分 ‎19.(12分)如图,三棱锥中,,‎ 16‎ ‎,平面PBC⊥底面ABC,,分别是,的中点. ‎ ‎(1)证明:PD⊥平面ABC;‎ ‎(2)求二面角的正切值.‎ ‎(1)证明:∵,是中点 ‎∴PD⊥BC…………………………………………1分 ‎∵平面PBC⊥底面ABC,PD平面PBC,平面PBC底面ABC ‎∴PD⊥平面ABC.………………………………………………4分 ‎(2)解:如图,取中点,连接,‎ 则………………………………………………5分 ‎∵,是的中点,‎ ‎∴,……………………………………………………6分 ‎,‎ ‎∴,…………………………………………………………7分 ‎∵PD⊥平面ABC ‎∴,‎ ‎∴平面………………………………………………………………………8分 ‎∴………………………………………………………………………9分 ‎∴为二面角的平面角.……………………………………………………10分 在中,…………………………………………11分 ‎∴二面角的正切值为2.……………………………………………………………12分 16‎ ‎20.(12分)某药企对加工设备进行升级,现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品,每件售价240元;质量指标值落在和内的为一等品,每件售价为180元;质量指标值落在内的为二等品,每件售价为120元;其余为不合格品,全部销毁.每件产品生产销售全部成本50元.‎ 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 质量指标值 频数 ‎(1) 以样本估计总体,若生产的合格品全部在当年内可以销售出去,计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值.‎ ‎(2)以样本估计总体,若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件,设其支付的费用为(单位:元),求(元)的分布列.‎ 解:(1)由题设知,………………………………………1分 的分布列为 ‎………………………………………………………………………3分 16‎ 设备升级前利润的期望值为 ‎……………………4分 ‎∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元.………………………5分 ‎ (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元)‎ 则………………………………………………………………………6分 患者购买一件合格品的费用的分布列为 ‎……………………………8分 则………………………………………………10分 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为 ‎………………………………………………………………………12分 ‎21.(12分)已知函数,.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)讨论的零点的个数.‎ 解:(1)∵‎ ‎∴…………………………………………………1分 16‎ 时时,时.……………………………3分 ‎∴时,的减区间是,增区间是.………………………4分 ‎(2)①时,∵且的减区间是,增区间是 ‎∴是的极小值,也是最小值…………………………………5分 ‎,………………………………6分 取且……………………………7分 则…………………………8分 ‎∴在和上各一个零点………………………………………9分 ‎②时,只一个零点…………………………………10分 综上,时,有两个零点;…………………………………………11分 时,一个零点.………………………………………………………………………12分 ‎22.(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点到直线的距离为,为直线上的点,过作抛物线的切线、,切点为.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2) 若,求直线的方程;‎ ‎(3)若为直线上的动点,求的最小值.‎ 解:(1)由到直线的距离为 得 16‎ 得或………………………………………………………2分 ‎∵‎ ‎∴…………………………………………………………………3分 ‎∴抛物线.……………………………………………………4分 ‎(2) 由知 ‎∴…………………………………………………………………5分 设切点, ‎ 则 ‎ 即 ‎……………………………………………………6分 ‎∵,‎ ‎∴即………………………………7分 ‎∴.………………8分 ‎(3)若为直线上的动点,设,则 由(2)知 ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴与联立消得 ‎…………“*” ……………………………………9分 16‎ 则,是“*”的二根 ‎∴………………………………………………………………………10分 ‎………………………………………………………………………11分 当时,得到最小值为.…………………………12分 16‎