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高三文科数学 第 1 页 共 12 页
珠海市 2019~2020 学年度第一学期普通高中学业质量监测
高三文科数学试题和答案
时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题列出的四个选项中,选
出符合题目要求的一项.)
1.已知集合 { } { }2 4 1,0,1,2,3A x x B= < = -, ,则 A B =
A.{ }0,1,2 B.{ }0,1 C.{ }1,0,1- D.{ }2, 1,0,1,2- -
【答案】C.
解析: { } { }2 1,0,1,2,3A x x B= - < < = -,2 .则 A B = { }1,0,1- .
2.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足1 2 1i iz
- = + ,则 z =
A. 5
2 B. 3 2
2 C. 10
2 D. 3
【答案】C.
解析: ( )( )1 2 11 2 1 3
1 2 2
i ii iz i
- -- - -= = =+
,所以 10| | 2z = .
3.已知命题 p :任意 4x ³ ,都有 2log 2x ³ ;命题 q : ba > ,则有 22 ba > .则下列命
题为真命题的是
A. qpÙ B. )( qp ØÙ C. )()( qp ØÙØ D. qp ÚØ )(
【答案】B.
解析: p 为真命题;命题 q 是假命题,比如当 ba >>0 或者取 =1 2a b = -, 时,则 22 ba >
不成立.
4.某学校有 800 名新生,其中有 500 名男生,300 名女生.为了了解学生的身体素质,现
用分层抽样的方法从中抽取 16 人进行检查,则应从男生中抽取
A.10 名学生 B.11 名学生 C.12 名学生 D.无法确定
【答案】A.
解析: 500
16 800
n =男 得 10n =男 .
5.已知 ABCD 的内角 A B C, , 的对边分别为 a b c, , , sin sina A b B= ,则 ABCD 一
定为
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A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】A.
解析:由 sin sin Ba A b= 结合正弦定理得, 2 2a b= ,从而 a b= .
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为
难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:
“有一个人走了 378 里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一
半,走了 6 天后到达目的地.”问此人第 5 天和第 6 天共走了
A.24 里 B.6 里 C.18 里 D.12 里
【答案】C.
解析:设第六天走了 a 里,则第五天走了 2a 里,…,依次下去,构成一个等比数列.所有路
程之和为:
6(1 2 ) 3781 2
a - =- ,解得 6a = ,可知 2 18a a+ = .
7.已知 ba
rr, 满足 32=ar , 3=b
r
, 6a b× = - ,则 ar 在b 上的投影为
A. 2- B. 1- C. 3- D.2
【答案】A.
解析: ar 在b
r 上的投影为 23
6cos -=-=×=
b
baa r
rrr q .
8.双曲线C :
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b- = > > 的两条渐近线与圆 2 2( 2) 1x y- + = 相切,则C 的离心
率为
A. 2 3
3 B. 3 C. 2 D. 2
【答案】A.
分析:数形结合可得, 3tan30 3
b
a = = ,
2 2
2 1 2 31 ( ) 1 3 3
c a b be a a a
+= = = + = + =
,
所以选 A.
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9.函数 2
2( ) 11
x
f x x= -+
在区间[ 4,4]- 附近的图象大致形状是
A B C D
【答案】B.
解析: 2
2( ) 11
x
f x x= -+
过点( )10, ,可排除选项 A,D.又 ( )2 0f < ,排除 C.
10.已知 3
0.2 0.3log 0.3, 0.3 , 0.2a b c= = = ,则
A. a b c< < B. a c b< < C.c a b< < D.b c a< <
【答案】B.
解析: 3log 0.3 0a = < ,由幂函数 0.2y x= 为( )0,+¥ 上的增函数可知 0.20.20 0.2.3 >
又由指数函数 0.2xy = 为 R 上的增函数可知 0.30.2 00 .2.2 0> > ,所以 a c b< < .
11.港珠澳大桥通车后,经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格
有升也有降,现刘先生有两种加油方案,第一种方案:每次均加 30 升的燃油;第二种方案,
每次加 200 元的燃油,则下列说法正确的是
A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定
【答案】B.
解析:任取其中两次加油,假设第一次的油价为 m 元/升,第二次的油价为 n 元/升.
第一种方案的均价: mnnmnm ³+=+
260
3030 ;
第二种方案的均价: mnnm
mn
nm
£+=
+
2
200200
400 .
所以无论油价如何变化,第二种都更划算.
本题可以从以下角度思考:第一种方案是无论价格多少都加固定升数;而第二种相当于
价格便宜时多加油,价格高时少加油.
12.已知函数
ln , 1
( ) 1 1, 12
x x
f x
x x
>ìï= í + £ïî
,若 ( ) ( )f m f n= ,则 n m- 的取值范围是
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A.[ ],3e B.[ ]4 2ln 2,3- C.
3
24 2ln 2, 1eé ù-ê ú
ë û
- D.[ ]2 2ln 2,3-
【答案】C.
解析:法一:不妨设 ( ) ( )f m f n t= = ,由题意可知,函数 ( )y f x= 的图象与直线 y t= 有两
个交点,其中 30 2t< £ ,由 ( )f m t= ,即 1 12 m t+ = ,解得 2 2m t= - ,
由 ( )f n t= ,即ln n t= ,解得 tn e= ,
记 ( ) 2 2tg t n m e t= - = - + ,其中 30 2t< £ , ( ) 2tg t e¢ = - ,
∴当0 ln 2t< < 时, ( ) 0g t¢ < ,函数 ( )g t 单调递减;
当 3ln 2 2t< £ 时, ( ) 0g t¢ > ,函数 ( )g t 单调递增.
所以函数 ( )g t 的最小值为: ln 2(ln 2) e 2ln 2 2 4 2ln 2g = - + = - ;而 0(0) e 2 3g = + = ,
3
23( ) e 1 32g = - > ,∴
3
24 2ln 2 ( ) e 1g t- £ £ - ,即
3
24 2ln 2 e 1n m- £ - £ - .
法二:数形结合,如图可将直线平移与曲线相切,利用导数求得切线,可得 n m- 最小值,
而 n m- 最大值为 0y = (取得到)或 3
2y = (取不到)时.
二、填空题(每题 4 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.函数 2ln)( xxxf += 的图象在点( )1, (1)f 处切线方程为 .
【答案】 3 2y x= - .
解析: xxxf 21)( +=¢ ,则 3)1( =¢f ,又 1)1( =f ,则切线方程为 23 -= xy
14.若
3
2)15sin( =+ oa ,则 =+ )105cos( oa ___________.
【答案】 2
3- .
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解析:
3
2)15sin()9015cos()105cos( -=+-=++=+ oooo aaa .
15.函数 π( ) sin(2 )3f x x= + 在区间[0, ]4
p 的最小值为___________.
【答案】 1
2
.
解析: 0, 4x pé ùÎê úë û
,则 52 ,3 3 6x p p pé ù+ Îê úë û
, 1sin 2 ,13 2x p é ù+ Îê úë û
( ) ,可知 ( )f x 的最小值
为 5π 1( ) sin 6 2f x æ ö= =ç ÷è ø
.
16.在半径为2 的球内有一个内三棱锥 P ABC- ,点 , , ,P A B C 都在球面上,且 ABCD
是边长为3 的等边三角形,那么三棱锥 P ABC- 体积的最大值为_________.
【答案】 9 3
4 .
解析:如图: 2 3 3 33 2CD = ´ ´ = .
在 OCDD 中, 2 2 1OD OC CD= - = .
三棱锥 P ABC- 体积的最大时,最长的高为 3OD OP+ = .
1 1 3 9 33 3 33 2 2 4P ABCV - = ´ ´ ´ ´ ´ = .
三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17〜21 题为必考题,每个试
题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题
17.(本小题满分 12 分)
已知正项等差数列{ }na 满足 2 5 9a a+ = , 3 4 20a a = ,等比数列{ }nb 的前 n 项和 nS 满足
2n
nS c= - ,其中 c 是常数.
(1)求 c 以及数列{ }na 、{ }nb 的通项公式;
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(2)设 n n nc a b= ,求数列{ }nc 的前 n 项和 nT .
解:(1) 数列{ }na 为正项等差数列,公差 0d > ,
2 5 3 4 9a a a a+ = + = ,又 3 4 20a a = ,
3 4a = , 4 5a = ,可得 1d = ,即可得 1na n= + ;
2n
nS c= - ¼①
当 1n = 时, 1 2b c= - ,
当 2n… 时, 1
1 2n
nS c-
- = - ¼②
① - ②即可得 12n
nb -= , 2n… ,又 { }nb 为等比数列,
0
1 2 1 2b c = = = - ,即可得 1c = , 12n
nb - = , *n NÎ ;
(2)由题意得 1( 1)2n
nc n -= + ,
0 1 12 2 3 2 ( 1) 2n
nT n -= + +¼+ + ,¼ ③
1 12 2 2 2 ( 1) 2n n
nT n n-= +¼+ + + ,¼ ④
③ - ④可得:
1
1 2 1 2(1 2 )2 2 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 21 2
n
n n n n
nT n n n
-
- -- = + + +¼+ - + = + - + = --
.
2n
nT n = .
18.(本小题满分 12 分)
为了调查一款手机的使用时间,研究人员对该款手机进行了相应的测试,将得到的数据统
计如下图所示:
高三文科数学 第 7 页 共 12 页
并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查,得到的数据如下表所示:
愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计
40 岁以下 600
40 岁以上 800 1000
总计 1200
(1)根据图中的数据,试估计该款手机的平均使用时间;
(2)请将表格中的数据补充完整,并根据表中数据,判断是否有 99.9%的把握认为“愿意
购买该款手机”与“市民的年龄”有关.
参考公式:
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
-= + + + +
,其中 n a b c d= + + + .
参考数据:
2
0( )P K k… 0.100 0.050 0.010 0.001
0k 2.706 3.841 6.635 10.828
解:(1) 4 0.05 2 4 0.09 6 4 0.07 10 4 0.03 14 4 0.01 18 7.76´ ´ + ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ =
该款手机的平均使用时间为 7.76 年.
(2)
愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计
40 岁以下 400 600 1000
40 岁以上 800 200 1000
总计 1200 800 2000
( )2
2 2000 400 200 600 800 333.3 10.8281200 800 1000 1000K ´ - ´= = >´ ´ ´
可知有 99.9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关.
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19.(本小题满分 12 分)
如图,四棱锥 S ABCD- 的底面 ABCD 为直角梯形, / /AB CD , AB BC^ ,
2 2 2AB BC CD= = = , SADD 为正三角形,点 M 为线段 AB 的中点.
(1)证明 SM AD^ ;
(2)当 1SM = 时,求点 B 到平面 SAD 的距离.
解:(1)取 AD 的中点 P ,连接 SP 、 MP ,
由题意可知: 1AM DM= =
MP AD^ .
SADD 为正三角形
SP AD ^ .
又 SP MP P= , SP , MP Ì 面 SMP ,
AD ^面 SMP .
SM Î面 SMP ,
SM AD ^ .
(2)由题意可知 DM AB^ ,且 1AM DM= = ,
2AD = ,且 1AM = ,
2SA = .
又 1SM AM= = ,
SM AM ^ .
由(1)知 SM AD ^ ,且 AD AM A= , AD AM Î, 面 ABCD ,
SM ^ 面 ABCD ,
三棱锥 S ABD- 的体积为 1 1
3 3S ABD ABDV S SM= =- ,
设点 B 到平面 SAD 的距离为h ,
则 1 1 3 1
3 3 2 3B SAD SADV S h h= = =- ,
高三文科数学 第 9 页 共 12 页
得 2 3
3h = .
20.(本小题满分 12 分)
中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆C 过 (0, 1)A - 、 1( 3, )2B 两点,
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线 1: ,( 0)2l y x m m= + ¹ 与椭圆C 交于 P ,Q 两点,求当 m 取何值时, OPQD
的面积最大.
解:(1)由题意可设椭圆C 的方程为
2 2
2 2 1x y
m n+ = ,代入 ( )0, 1A - 、 13, 2Bæ ö
ç ÷è ø
两点得
( )22
2 2
2
2
2 2
10 1
1
3 2 1
m n
m n
ì -+ =ï
ïïí æ öï ç ÷è øï + =ïî
解得 2 1n = , 2 4m = 得椭圆 :C
2
2 14
x y+ = .
(2)将直线 1: ,( 0)2l y x m m= + > 代入
2
2 14
x y+ = 得:
2
2 14 42x x mæ ö+ + =ç ÷è ø
.
整理得: 2 22 2 2 0x mx m+ + - = .
( ) ( )2 2 22 4 2 2 8 4 0m m mD = - - = - > 得 2 2m- < < .
由韦达定理得 1 2 2x x m+ = - , 2
1 2 2 2x x m= - .
( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2 1 24 4 4 2 2 8 4x x x x x x m m m- = + - = - - = -
2 4 2
1 2
1 2 22OPQS m x x m m m mD = - = - = - + .
由二次函数可知当 2 1m = 即 1m = 时, OPQD 的面积的最大.
21.(本小题满分 12 分)
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已知函数 ( ) sinf x ax x= - , [0, ]2x pÎ ,其中 a 为常数.
(1)若函数 ( )f x 在[0, ]2
p 上是单调函数,求 a 的取值范围;
(2)当 1a £ 时,证明: 31( ) 6f x x£ .
解:(1)求导得 ( ) cosf x a x¢ = - , [0, ]2x pÎ ,
①当 ( )f x 在[0, ]2
p 上为单调递减函数时,即 ( ) cos 0f x a x¢ = - „ 恒成立,
又 cos [0xÎ ,1], (cos ) 0mina x =„ .
②当 ( )f x 在[0, ]2
p 上为单调递增函数时,即 ( ) cos 0f x a x¢ = - … 恒成立,
又 cos [0xÎ ,1], (cos ) 1maxa x =… ;
综上所述: ( )f x 在[0, ]2
p 上为单调递减函数时, 0a„ ;
( )f x 在[0, ]2
p 上为单调递增函数时, 1a… .
(2)证明:要证 31( ) 6f x x„ ,只需证 31sin 06ax x x- - „ 恒成立,
令 31( ) sin 6g x ax x x= - - , [0, ]2x pÎ ,则 21( ) cos 2g x a x x¢ = - - ,
令 21( ) cos 2h x a x x= - - , [0, ]2x pÎ ,则 ( ) sinh x x x¢ = - .
易证当 [0, ]2x pÎ 时,sin x x„ .
( ) 0h x¢ < ,即 ( )h x 在[0, ]2
p 上递减,
( ) (0) 1 0h x h a = -剟 ,即 ( ) 0g x¢ „ , ( )g x 在[0, ]2
p 上递减,
( ) (0) 0g x g =„ 即 31sin 06ax x x- - „ ,命题得证.
(二)选考题
请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分 10 分)
高三文科数学 第 11 页 共 12 页
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的非负半轴重合,直线l 的极坐标
方程为: 1sin( )6 2
pr q - = ,曲线C 的参数方程为: 2 2cos (2sin
x
y
a aa
= +ì
í =î
为参数).
(1)写出直线l 的直角坐标方程;
(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.
解:(1) 直线l 的极坐标方程为: 1sin( )6 2
pr q - = ,
3 1 1( sin cos )2 2 2r q q - = ,
3 1 1
2 2 2y x- = , 3 1 0x y - + = .
(2)根据曲线C 的参数方程为: 2 2cos (2sin
x
y
a aa
= +ì
í =î
为参数).
得: 2 2( 2) 4x y- + = .
它表示一个以(2,0) 为圆心,以 2 为半径的圆,
圆心到直线的距离为: 3
2d = ,
曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值 3 722 2+ = .
23.(本小题满分 10 分)
已知 ( ) 1 3f x x x= - + - .
(1)解关于 x 的不等式 ( ) 4f x £ ;
(2)若 2( )f x m m> + 恒成立,求实数 m 的取值范围.
解:(1)当 3x ³ 时,不等式 ( ) 4f x £ 化为 2 4 4x - £ ,得 4x £ 即3 4x£ £
当1 3x< < 时,不等式 ( ) 4f x £ 化为 2 4£ ,成立,即1 3x< <
当 1x £ 时,不等式 ( ) 4f x £ 化为 4 2 4x- £ ,得 0x ³ 即0 1x£ £
综上所述:所求不等式的解集为{ }| 0 4x x£ £ .
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(2) ( ) 1 3 1 3 2f x x x x x= - + - ³ - - + =
若 ( ) 2f x m m> + 恒成立,则 22 m m> + .
解得 2 1m- £ £ .{ }| 2 1m m- £ £
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