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  • 2021-06-11 发布

河北省张家口市宣化区宣化第一中学2019-2020学年高一下学期5月月考数学试卷

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河北省张家口市宣化区宣化第一中学2019-2020学年 高一下学期5月月考数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,共36.0分)‎ 1. 在中,若,则    ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 若一个数列的前三项依次为6,18,54,则此数列的一个通项公式为 A. B. C. D. ‎ 3. 等差数列前n项的和为,若,则的值是 A. 36 B. 48 C. 54 D. 64‎ 4. 若a,b,,且,则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. ‎ 5. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为,上底为1,腰为的等腰梯形,那么原平面图形的面积是 A. B. C. D. ‎ 6. 如图,三棱锥中,M、N分别是AP、AB的中点,E、F分别是PC、BC 上的点,且,下列命题正确的是 A. B. ME与NF是异面直线 C. 平面MNFE D. 直线ME、NF、AC相交于同一点 ‎ 7. 已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形,且平面BCD,,若该四面体的四个顶点都在球O的表面上,则球O的表面积为          ‎ A. B. C. D. ‎ 8. 一个圆锥的表面积为,它的侧面展开图是圆心角为的扇形,该圆锥的母线长为 A. B. 4 C. D. ‎ 9. 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,为使此三角形有两个,则a满足的条件是 A. B. C. D. 或 10. 在三棱锥中,,,面ABC,M,N,Q分别为AC,PB,AB的中点,,则异面直线PQ与MN所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ 11. 已知等差数列,,前n项和为,,则 A. 0 B. 1 C. 2018 D. 2019‎ 12. 已知数列的前n项和为,,若存在两项,使得,则的最小值为    ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,共12.0分)‎ 1. 已知数列满足,且,则__________.‎ 2. 不等式的解集是______.‎ 3. 已知正数a,b满足,则的最小值是______.‎ 4. 如图,点P在正方体的面对角线上运动,则下列四个命题: 平面 平面平面 三棱锥的体积不变 其中正确的命题序号是______.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)‎ 5. 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知满足Ⅰ求角B的大小;Ⅱ若,求的面积的取值范围. ‎ 6. 已知数列为等比数列,且.Ⅰ求公比q和的值;Ⅱ若的前n项和为,求证:,,成等差数列. ‎ 7. 如图1所示,在等腰梯形ABCD,,,垂足为E,,将沿EC折起到的位置,使平面平面ABCE,如图2所示,点G为棱的中点.Ⅱ求证:平面;Ⅱ求证:平面;Ⅲ求三棱锥的体积. ‎ ‎ ‎ 1. 若是各项均为正数的数列的前n项和,且. 求,的值; 设,求数列的前n项和. ‎ 2. 某家用轿车的购车费万元,保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元,每年行车里程按1万公里,前5年性能稳定,每年的油费5000元,由于磨损,从第6年开始,每年的油费以500元的速度增加,按这种标准,这种车开多少年报废比较合算? ‎ 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是边长为2的菱形,平面ABCD,,. 证明:平面平面BDEF; 求二面角的余弦值. ‎ ‎ 数学试卷(5月份)答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解:在中,, 由余弦定理得:, 又, . 故选:A. 利用余弦定理表示出cosA,由A为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数. 此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用,余弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于基础题. 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解:依题意,,,, 所以此数列的一个通项公式为, 故选:C. ,,,可以归纳出数列的通项公式. 本题考查了数列的通项公式,主要考查归纳法得到数列的通项公式,属于基础题. 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解:由等差数列的性质可得:, 则. 故选:C. 由等差数列的性质可得:,再利用求和公式即可得出. 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 4.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 直接利用不等式的基本性质推出结果即可. 本题考查不等式的基本性质,是基本知识的考查. 【解答】 解:a,b,,且,可得,因为, 所以. 故选:B. 5.【答案】C ‎ ‎【解析】‎ ‎ 解:依题意,如图四边形ABCD是一个底角为,上底为1,腰为的等腰梯形, 过C,D分别做,‎ ‎, 则三角形ADE,和三角形BCF为斜边长为的等腰直角三角形, 所以,又, 所以梯形ABCD的面积. 又因为在斜二测画直观图时,直观图的面积与原图的面积之比为, 所以, 所以. 故选:C. 先计算出该梯形的斜二测直观图的面积,再根据直观图的面积与原图的面积之比为,即可得到原图的面积. 本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系,可以还原图形求原图的面积,也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积.属于基础题. 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解:依题意,M、N分别是AP、AB的中点,E、F分别是PC、BC上的点,且, 所以,,,,故A选项错,B选项错. 因为M、平面APC,N,平面ABC,平面平面,由公理3,,且,即直线ME、NF、AC相交于同一点G. 故D正确,C错误. 故选:D. 根据MN分别为AP、AB中点,E、F分别是PC、BC上的点,且,可得,,,,可以排除AB,根据公理3,D成立,排除C. 本题考查了空间线线、线面的位置关系,考查了公理1,公理3,本题属于基础题. 7.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 将四个面都为直角三角形的四面体放到长方体中,根据,求解长方体对角线,可得球O的半径,从而求解球O的表面积. 本题考查多面体外接球表面积与体积的求法,考查分割补形法,是中档题. 【解答】‎ ‎ 解:由题意,四面体有四个面都为直角三角形,四面体放到长方体中,平面BCD,, 可得长方体的对角线为. 球O的半径. 球O的表面积. 故选:D. 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l, 它的侧面展开图是圆心角为的扇形, , , 又圆锥的表面积为, , 解得, 母线长为. 故选:B. 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,利用圆锥的表面积公式和侧面展开图,求出圆锥的底面圆半径和母线长. 本题考查了圆锥的结构特征与应用问题,是基础题. 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解:C到AB的距离, 当时,符合条件的三角形有两个, 故选:C. 计算三角形AB边上的高即可得出结论. 本题考查了三角形解的个数的判断,属于基础题. 10.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查异面直线所成角的求法,考查运算求解能力,是中档题. 推导出,又面ABC,以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PQ与MN所成角的余弦值. 【解答】 解:在三棱锥中,,, , ‎ ‎,又面ABC, 以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 设, ,N,Q分别为AC,PB,AB的中点,, 0,,0,,0,,2,,1,, ,解得, 0,,0,,0,, 0,,, 设异面直线PQ与MN所成角为, 则, 异面直线PQ与MN所成角的余弦值为. 故选B. 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解:因为数列为等差数列, 设其首项为,公差为d,, 所以, 可得 则是等差数列, 又因为, 所以是为首项是,公差为1的等差数列, 所以 ‎, 所以. 故选:A. 等差数列,设其公差为d,则,由此推出为等差数列,又因为,所以是为首项是,公差为1的等差数列,所以可求,可得. 本题考查了等差数列的前n项和、等差数列的定义、通项公式,属于中档题. 12.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查数列的通项公式的求法,考查基本不等式的运用,注意检验等号成立的条件,属于中档题. 运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得求得,,运用基本不等式,检验等号成立的条件,即可得到所求最小值. 【解答】 解:,可得,即, 时,,又, 相减可得,即, 是首项为2,公比为2的等比数列. 所以. ,即, 得, 所以 , 当且仅当时取等号,即为,. 因为m、n取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则, 验证可得,当,时,取得最小值为. 故选:B. 13.【答案】24 ‎ ‎【解析】解:数列满足, 可得 ‎, 可得. 故答案为:24. 利用递推关系式,通过累积法求解即可. 本题考查数列的递推关系式的应用,考查转化思想以及计算能力. 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解:不等式可化为, 解得, 所求不等式的解集是 故答案为: 把不等式化为,求出解集即可. 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题. 15.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,解题的关键是进行1的代换. 由已知可得,,从而,利用基本不等式即可求解. 【解答】‎ 解:正数a,b满足, , 则, 当且仅当即,时取得等号, 故答案为:.‎ ‎ 16.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查棱柱的结构特征,考查命题的真假判断与应用,考查空间想象能力与思维能力,是中档题. 由面面平行的判定与性质判断正确;由线面垂直的判定与性质判断正确;由线面垂直的判定及面面垂直的判定判断正确;利用等积法说明正确. 【解答】‎ 解:对于,连接,AC,可得,, 平面,, 从而有平面,故 正确; 对于,由,,且, 得平面,则,故正确; 对于,连接,由且,, 可得平面, 又平面,由面面垂直的判定知平面平面,故正确; 对于,容易证明,从而平面,故B上任意一点到平面的距离均相等, 以P为顶点,平面为底面,则三棱锥的体积不变,故正确. 正确命题的序号是. 故答案为:.‎ ‎ 17.【答案】本小题满分12分 解:Ⅰ, ,分 , 分 , ,分 ,分 ,分 分Ⅱ由正弦定理得:, ,分 同理:, ,分 分 分 , ‎ ‎, ,分 , 的面积的取值范围为分 ‎ ‎【解析】Ⅰ由已知利用正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得,结合,可求,结合范围,可求B的值.Ⅱ由正弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形的面积公式可求,结合范围,可求,利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围. 本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角函数恒等变换的应用,三角形的面积公式,正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 18.【答案】Ⅰ解:由题设得, 为等比数列,, ,又, , ,经检验,此时成立,且为等比数列, ;Ⅱ证明:, ,, ,, , ,,成等差数列. ‎ ‎【解析】Ⅰ由题设得,结合为等比数列即可求得首项与公比,进一步求得的值;Ⅱ由,可得,,然后利用等差中项的概念证明,,成等差数列. 本题考查等差数列的性质,考查等比数列的前n项和,考查计算能力,是中档题. 19.【答案】‎ Ⅰ证明:在图1的等腰梯形ABCD内,过B作AE的垂线,垂足为F, ,, 又,,, 四边形BCEF为正方形,且,F为AE中点. 在图2中,连结GF, 点G是的中点, E. 又,,GF,平面BFG,,平面, 平面平面, 又面GFB,平面;Ⅱ证明:平面平面ABCE, 平面平面,,平面, 平面ABCE. 又平面ABCE, . 又,满足, . 又, 平面;Ⅲ解:,,, 面. 又线段CE为三棱锥底面的高, . ‎ ‎【解析】Ⅰ在图1的等腰梯形ABCD内,过B作AE的垂线,垂足为F,可得四边形BCEF为正方形,且,F为AE中点.在图2中,连结GF,证明E.结合,利用平面与平面平行的判定可得平面平面,从而得到平面;Ⅱ由平面平面ABCE,,得平面进一步得到求解三角形证明再由线面垂直的判定可得平面;Ⅲ证明面,可得线段CE为三棱锥底面的高,然后利用等积法求三棱锥的体积. 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题. 20.【答案】解:当时,,解得. 数列为正项数列,. 当时,,又,解得. 由,解得. . ,. . 当时,. 当时,. ‎ 时也符合上式. . . 故 . ‎ ‎【解析】当时,,解得由数列为正项数列,可得当时,,又,解得由,解得; 由可得,可得当时,当时,,可得. 利用裂项求和方法即可得出. 本题考查了数列递推关系、通项公式、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 21.【答案】解:设这种车开x年报废比较合算, 当时,总费用为: , 平均费用: , 当,即时,取最小值. 当时,平均费用:. 这种车开20年,平均使用费用最底,故这种车开20年报废比较合算. ‎ ‎【解析】本题考查函数在生产生活中的应用,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于中档题. 设这种车开x年报废比较合算,当时,总费用为,平均费用:,当,即时,取最小值.当时,平均费用:,由此得到这种车开20年报废比较合算. 22.【答案】解:连接BD交AC于点O,因为ABCD是菱形, 所以,平面ABCD,, 又平面BDEF,平面BDEF,, 平面BDEF,又平面ACF, 平面平面BDEF. ‎ 连接BD交AC于点O,则, 取EF的中点G,连接OG,则,平面ABCD,平面ABCD,,AC,BD两两垂直. 以AC,BD,OG所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图, 则,1,,,,, ,,,, 则,, 所以,,且, 所以平面AFC, 所以平面AFC的一个法向量为. 设平面AEC的一个法向量为y,,则, , 得, 令, 得平面AEC的一个法向量, 从而, 二面角的余弦值为. ‎ 1. ‎【解析】本题考查空间向量的数量积的应用,二面角的平面角的求法,直线与平面垂直的判断定理的应用. 连接BD交AC于点O,证明,,推出平面BDEF,得到平面平面BDEF. 连接BD交AC于点O,则,取EF的中点G,连接OG,则,说明OG,AC,BD两两垂直.以AC,BD,OG所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系求出平面AFC的一个法向量,平面AEC的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可. ‎