2017年高考试题——数学理（新课标Ⅰ卷）原卷版 11页

绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则 A． B． C． D． 2．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形 的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 3．设有下面四个命题 ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； 3 1x  { | 0}A B x x  A B  R { | 1}A B x x  A B   1 4 π 8 1 2 π 4 1p z 1 z R z R 2p z 2z R z R 3p 1 2,z z 1 2z z R 1 2z z ：若复数 ，则 . 其中的真命题为 A． B． C． D． 4．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 5．函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取值范围 是 A． B． C． D． 6． 展开式中 的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 8．右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000 和 n=n+1 B．A>1 000 和 n=n+2 C．A 1 000 和 n=n+1 D．A 1 000 和 n=n+2 9．已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是 4p z R z R 1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p nS { }na n 4 5 24a a  6 48S  { }na ( )f x ( , )  ( 11)f   21 ( ) 1xf    x [ 2,2] [ 1,1] [0,4] [1,3] 6 2 1(1 )(1 )xx  2x   2π 3 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度， 得到曲线 C2 10．已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点， 直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 11．设 xyz 为正数，且 ，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数 学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4， 1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20， 21，22，依此类推.求满足如下条件的&最小整数 N：N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软 件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 14．设 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为 . 15．已知双曲线 C： （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°，则 C 的离心率为________。 16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别 以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的 边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。 π 6 π 12 1 2 π 6 1 2 π 12 2 3 5x y z  2 1 2 1 0 x y x y x y          3 2z x y  2 2 2 2 1x y a b  三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长. 18.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19．（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其 尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数， 求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 2 3sin a A 90BAP CDP     90APD   2( , )N   ( 3 , 3 )     ( 1)P X  X ( 3 , 3 )     经计算得 ， ，其中 为抽取 的第 个零件的尺寸， ． 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当 天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， ． 20.（12 分） 已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有 三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过 定点. 21.（12 分） 已知函数 ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），直线 l 的参数方程为 . （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a. 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围. 16 1 1 9.9716 i i x x    16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x         ix i 1,2, ,16i   x  ˆ s  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )       Z 2( , )N   ( 3 3 ) 0.997 4P Z        160.997 4 0.959 2 0.008 0.09 2 2 2 2 =1x y a b 3 2 3 2 )f x （ ( )f x ( )f x 3cos , sin , x y      4 , 1 , x a t ty t      （ 为参数） 17 2017 年新课标 1 理数答案 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A 13. 14. 15. 16. 17.解：（1）由题设得 ，即 . 由正弦定理得 . 故 . （2）由题设及（1）得 ，即 . 所以 ，故 . 由题设得 ，即 . 由余弦定理得 ，即 ，得 . 2 3 5 2 3 3 4 15 21 sin2 3sin aac B A 1 sin2 3sin ac B A 1 sinsin sin2 3sin AC B A 2sin sin 3B C  1cos cos sin sin ,2B C B C   1cos( ) 2B C   2π 3B C  π 3A  21 sin2 3sin abc A A 8bc  2 2 9b c bc   2( ) 3 9b c bc   33b c  故 的周长为 . 18.解：（1）由已知 ，得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD. （2）在平面 内做 ，垂足为 ， 由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 . 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由（1）及已知可得 ， ， ， . 所以 ， ， ， . 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 可取 . 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 可取 . ABC△ 3 33 90BAP CDP      PAD PF AD F AB  PAD AB PF PF  ABCD F FA x | |AB F xyz 2( ,0,0)2A 2(0,0, )2P 2( ,1,0)2B 2( ,1,0)2C  2 2( ,1, )2 2PC    ( 2,0,0)CB  2 2( ,0, )2 2PA   (0,1,0)AB  ( , , )x y zn PCB 0 0 PC CB        n n 2 2 02 2 2 0 x y z x       (0, 1, 2)  n ( , , )x y zm PAB 0 0 PA AB        m m 2 2 02 2 0 x z y      (1,0,1)n 则 ， 所以二面角 的余弦值为 . 19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在 之外的概率为 0.0026，故 .因此 . 的数学期望为 . （2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这 种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程 进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. （ii）由 ，得 的估计值为 ， 的估计值为 ，由样本数据可以看出 有一个零件的尺寸在 之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除 之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 ，因此 的估计 值为 10.02. ，剔除 之外的数据 9.22，剩下数据的样本方 差为 ， 因此 的估计值为 . 20.（12 分）解： （1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点. 又由 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上. 因此 ，解得 . 3cos , | || | 3   < > n mn m n m A PB C  3 3 ( 3 , 3 )     ( 3 , 3 )     ~ (16,0.0026)X B ( 1) 1 ( 0) 1 0.9974 0.0408P X P X       X 16 0.0026 0.0416EX    ( 3 , 3 )     ( 3 , 3 )     9.97, 0.212x s   ˆ 9.97   ˆ 0.212  ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     1 (16 9.97 9.22) 10.0215     16 2 2 2 1 16 0.212 16 9.97 1591.134i i x       ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     2 21 (1591.134 9.22 15 10.02 ) 0.00815      0.008 0.09 3P 4P 3P 4P 2 2 2 2 1 1 1 3 4a b a b   2 2 2 1 1 1 3 14 b a b      2 2 4 1 a b    故 C 的方程为 . （2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2， 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知 ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为（t， ），（t， ）. 则 ，得 ，不符合题设. 从而可设 l： （ ）.将 代入 得 由题设可知 . 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2= ，x1x2= . 而 . 由题设 ，故 . 即 . 解得 . 当且仅当 时， ，欲使 l： ，即 ， 所以 l 过定点（2， ） 21.解：（1） 的定义域为 ， ， （ⅰ）若 ，则 ，所以 在 单调递减. （ⅱ）若 ，则由 得 . 2 2 14 x y  0t  | | 2t  24 2 t 24 2 t 2 2 1 2 4 2 4 2 12 2 t tk k t t         2t  y kx m  1m  y kx m  2 2 14 x y  2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m     2 2=16(4 1) 0k m    2 8 4 1 km k  2 2 4 4 4 1 m k   1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x     1 2 1 2 1 1kx m kx m x x      1 2 1 2 1 2 2 ( 1)( )kx x m x x x x    1 2 1k k   1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x     2 2 2 4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1 m kmk mk k         1 2 mk   1m   0  1 2 my x m   11 ( 2)2 my x    1 ( )f x ( , )  2( ) 2 ( 2) 1 ( 1)(2 1)x x x xf x ae a e ae e        0a  ( ) 0f x  ( )f x ( , )  0a  ( ) 0f x  lnx a  当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减， 在 单调递增. （2）（ⅰ）若 ，由（1）知， 至多有一个零点. （ⅱ）若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，最小值为 . ①当 时，由于 ，故 只有一个零点； ②当 时，由于 ，即 ，故 没有零点； ③当 时， ，即 . 又 ，故 在 有一个零点. 设正整数 满足 ，则 . 由于 ，因此 在 有一个零点. 综上， 的取值范围为 . 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 解：（1）曲线 的普通方程为 . 当 时，直线 的普通方程为 . 由 解得 或 . 从而 与 的交点坐标为 ， . （2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为 . 当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 ； ( , ln )x a   ( ) 0f x  ( ln , )x a   ( ) 0f x  ( )f x ( , ln )a  ( ln , )a  0a  ( )f x 0a  lnx a  ( )f x 1( ln ) 1 lnf a aa    1a  ( ln ) 0f a  ( )f x (1, )a  11 ln 0aa   ( ln ) 0f a  ( )f x (0,1)a 11 ln 0aa   ( ln ) 0f a  4 2 2( 2) e ( 2)e 2 2e 2 0f a a           ( )f x ( , ln )a  0n 0 3ln( 1)n a  0 0 0 0 0 0 0 0( ) e ( e 2) e 2 0n n n nf n a a n n n         3ln( 1) ln aa    ( )f x ( ln , )a  a (0,1) C 2 2 19 x y  1a   l 4 3 0x y   2 2 4 3 0 19 x y x y      3 0 x y    21 25 24 25 x y      C l (3,0) 21 24( , )25 25 l 4 4 0x y a    C (3cos ,sin )  l | 3cos 4sin 4 | 17 ad     4a   d 9 17 a  9 17 17 a   8a  当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 . 综上， 或 .、 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 解：（1）当 时，不等式 等价于 .① 当 时，①式化为 ，无解； 当 时，①式化为 ，从而 ； 当 时，①式化为 ，从而 . 所以 的解集为 . （2）当 时， . 所以 的解集包含 ，等价于当 时 . 又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 . 所以 的取值范围为 . 4a   d 1 17 a  1 17 17 a   16a   8a  16a   1a  ( ) ( )f x g x 2 | 1| | 1| 4 0x x x x       1x   2 3 4 0x x   1 1x   2 2 0x x   1 1x   1x  2 4 0x x   1 171 2x    ( ) ( )f x g x 1 17{ | 1 }2x x     [ 1,1]x  ( ) 2g x  ( ) ( )f x g x [ 1,1] [ 1,1]x  ( ) 2f x  ( )f x [ 1,1] ( 1)f  (1)f ( 1) 2f   (1) 2f  1 1a   a [ 1,1]