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- 2021-06-11 发布
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2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:(共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)已知集合M={y|y=2x,x>0},N={y|y=},则M∩N等于( )
A.∅ B.{1} C.{y|y>1} D.{y|y≥1}
2.(5分)设复数z=1+(其中i为虚数单位),则等于( )
A.1﹣2i B.1+2i C.﹣2i D.2i
3.(5分)下列说法正确的是( )
A.“f (0)=0”是“函数 f (x) 是奇函数”的充要条件
B.若 p:∃x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:∀x∈R,x2﹣x﹣1<0
C.若p∧q为假命题,则p,q 均为假命题
D.“若α=,则sinα=”的否命题是“若α≠,则sinα≠”
4.(5分)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9=( )
A.60 B.75 C.90 D.105
5.(5分)为了得到函数的图象,可以将函数y=cos2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
6.(5分)已知非零向量,的夹角为60°,且||=1,|2﹣|=1,则||=( )
A. B.1 C. D.2
7.(5分)函数的图象大致是( )
A. B. C.
D.
8.(5分)已知,则=( )
A. B. C. D.
9.(5分)已知偶函数,当时,,设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则( )
A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b
10.(5分)函数f(x)的定义域为R,f(﹣2)=2018,对任意的x∈R,都有f′(x)<2x成立,则不等式f(x)<x2+2014的解集为( )
A.(﹣2,+∞) B.(2,2) C.(﹣∞,2) D.R
11.(5分)过点P(﹣1,1)作圆C:(x﹣t)2+(y﹣t+2)2=1(t∈R)的切线,切点分别为A,B,则•的最小值为( )
A. B. C. D.2﹣3
12.(5分)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且an>0,6Sn=an2+3an,n∈N*,bn=,若∀n∈N*,k>Tn恒成立,则k的最小值是( )
A. B.49 C. D.
二.填空题(本题共4小题,共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上)
13.(5分)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2,a5,a14成等比数列,,则a10= .
14.(5分)在△
ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=2sinB,且a+b=c,则角C的大小为 .
15.(5分)已知函数f(x)=若关于x的函数y=f2(x)﹣bf(x)+1有8个不同的零点,则实数b的取值范围是 .
16.(5分)已知函数f(x)=﹣xlnx+ax在区间(0,e)内是增函数,函数g(x)=|ex﹣a|+(其中e为自然对数的底数),当x∈[0,1n3]时,函数g(x)的最大值M与最小值m的差为.则实数a= .
三、解答题:本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知幂函数f(x)=(m﹣1)2x在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x﹣k
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若命题p是q成立的必要条件,求实数k的取值范围.
18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)求的取值范围.
19.(12分)已知函数 f(x)=sinωxcosωx﹣sin2ωx+1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)如图,在锐角三角形ABC中有f(B)=1,若在线段BC上存在一点D使得AD=2,且 AC=,CD=﹣1,求三角形ABC的面积.
20.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令,设数列{cn}的前n项和Tn,求T2n.
21.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+1,其中a∈R,且a≠0
(Ⅰ)设h(x)=(2x﹣3)f(x),若函数y=h(x)图象与x轴恰有两个不同的交点,试求a的取值集合;
(Ⅱ)当a>﹣2时,求函数y=|f(x)|在[0,1]上最大值.
22.(12分)已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)
(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:(共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)已知集合M={y|y=2x,x>0},N={y|y=},则M∩N等于( )
A.∅ B.{1} C.{y|y>1} D.{y|y≥1}
【解答】解:M={y|y=2x,x>0}={y|y>1},N={y|y=}={y|y==∈[0,1]}={y|0≤y≤1},
则M∩N=∅,
故选:A.
2.(5分)设复数z=1+(其中i为虚数单位),则等于( )
A.1﹣2i B.1+2i C.﹣2i D.2i
【解答】解:∵z=1+=,
∴,
故选:B.
3.(5分)下列说法正确的是( )
A.“f (0)=0”是“函数 f (x) 是奇函数”的充要条件
B.若 p:∃x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:∀x∈R,x2﹣x﹣1<0
C.若p∧q为假命题,则p,q 均为假命题
D.“若α=,则sinα=”的否命题是“若α≠,则sinα≠”
【解答】解:对于A,f (0)=0时,函数 f (x)不一定是奇函数,如f(x)=x2,x∈R;
函数 f (x) 是奇函数时,f(0)不一定=0,如f(x)=,x≠0;
是即不充分也不必要条件,A错误;
对于B,命题p:∃x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,
则¬p:∀x∈R,x2﹣x﹣1≤0,∴B错误;
对于C,若p∧q为假命题,则p,q至少有一假命题,∴C错误;
对于D,若α=,则sinα=的否命题是
“若α≠,则sinα≠”,∴D正确.
故选:D.
4.(5分)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9=( )
A.60 B.75 C.90 D.105
【解答】解:∵等差数列{an}中,Sn为其前n项和,a3+a4+a8=25,
∴3a1+12d=25,∴,
∴S9==9a5=9×=75.
故选:B.
5.(5分)为了得到函数的图象,可以将函数y=cos2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
【解答】解:由题意y=cos2x=sin(2x+),
函数y=sin(2x+)的图象经过向右平移,得到函数y=sin[2(x﹣)+]=sin(2x﹣)的图象,
故选:B.
6.(5分)已知非零向量,的夹角为60°,且||=1,|2﹣|=1,则||=( )
A. B.1 C. D.2
【解答】解:∵非零向量,的夹角为60°,且||=1,∴=||•1•=,
∵|2﹣|=1,∴=4﹣4+=4﹣2||+1=1,∴4﹣2||=0,∴||=,
故选:A.
7.(5分)函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意知当x>1或x<﹣1时,y>0,故排除A、B;又当x→0时,函数的值也趋近于0,故排除C,
故选D.
8.(5分)已知,则=( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵,
∴===
===,
故选:B.
9.(5分)已知偶函数,当时,,设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则( )
A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b
【解答】解:∵当时,y=sinx单调递增,y=x也为增函数,
∴函数,也为增函数.
∵函数为偶函数,
∴,
∴f(2)=f(π﹣2),f(3)=f(π﹣3),
∵0<π﹣3<1<π﹣2,
∴f(π﹣3)<f(1)<f(π﹣2),
即c<a<b,
故选:D.
10.(5分)函数f(x)的定义域为R,f(﹣2)=2018,对任意的x∈R,都有f′(x)<2x成立,则不等式f(x)<x2+2014的解集为( )
A.(﹣2,+∞) B.(2,2) C.(﹣∞,2) D.R
【解答】解:根据题意,令g(x)=f(x)﹣x2﹣2014,则g′(x)=f′(x)﹣2x<0,
∴函数g(x)在R上单调递减,
而f(﹣2)=2018,
∴g(﹣2)=f(﹣2)﹣(﹣2)2﹣2014=0.
∴不等式f(x)<x2+2014,可化为g(x)<g(﹣2),
∴x>﹣2.
即不等式f(x)>x2+2014的解集为(﹣2,+∞);
故选:A.
11.(5分)过点P(﹣1,1)作圆C:(x﹣t)2+(y﹣t+2)2=1(t∈R)的切线,切点分别为A,B,则•的最小值为( )
A. B. C. D.2﹣3
【解答】解:圆C:(x﹣t)2+(y﹣t+2)2=1的圆心坐标为(t,t﹣2),半径为1,
∴|PC|2=(t+1)2+(t﹣3)2=2t2﹣4t+10,
∴|PA|2=|PB|2=|PC|2﹣1=(t+1)2+(t﹣3)2﹣1=2t2﹣4t+9,cos∠APC==,
∴cos∠PAB=2cos2∠APC﹣1=2×()﹣1==
∴•=||•||cos∠PAB=(2t2﹣4t+9)•=[(t2﹣2t+5)+(t2﹣2t+4)]•,
设t2﹣2t+4=x,则x≥3,
则•=f(x)=(x+x+1)•=,
∴f′(x)=>0恒成立,
∴f(x)在[3,+∞)单调递增,
∴f(x)min=f(3)=,
∴•的最小值为
故选:C
12.(5分)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且an>0,6Sn=an2+3an,n∈N*,bn=,若∀n∈N*,k>Tn恒成立,则k的最小值是( )
A. B.49 C. D.
【解答】解:∵6Sn=an2+3an,∴6Sn+1=an+12+3an+1,
∴6an+1=(an+1+an)(an+1﹣an)+3(an+1﹣an)
∴(an+1+an)(an+1﹣an)=3(an+1+an),
∵an>0,
∴an+1+an>0,
∴an+1﹣an=3,
又6a1=a12+3a1,a1>0,∴a1=3.
∴{an}是以3为首项,以3为公差的等差数列,
∴an=3n,
∴bn==(﹣)=(﹣),
∴Tn=(﹣+﹣+…+﹣)
=(﹣)<=.
∴k≥.
故选C.
二.填空题(本题共4小题,共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上)
13.(5分)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2,a5,a14成等比数列,,则a10= 19 .
【解答】解:设数列的公差为d,(d≠0)
∵S5=a32,得:5a3=a32,
∴a3=0或a3=5;
∵a2,a5,a14成等比数列,
∴a52=a2•a14,
∴(a3+2d)2=(a3﹣d)(a3+11d)
若a3=0,则可得4d2=﹣11d2即d=0不符合题意,
若a3=5,则可得(5+2d)2=(5﹣d)(5+11d),
解可得d=0(舍)或d=2,
∴a10=a3+7d=5+7×2=19,
故答案为:19.
14.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=2sinB,且a+b=c,则角C的大小为 60° .
【解答】解:∴sinA=2sinB,
由正弦定理:可得a=2b.即a2=4b2.
∵a+b=c,即3b=c,
由余弦定理:2abcosC=a2+b2﹣c2.
可得:cosC=.
∵0<C<π.
∴C=60°.
故答案为:60°.
15.(5分)已知函数f(x)=若关于x的函数y=f2(x)﹣bf(x)+1有8个不同的零点,则实数b的取值范围是 (2,] .
【解答】解:作函数f(x)=的图象如右图,
∵关于x的函数y=f2(x)﹣bf(x)+1有8个不同的零点,
∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解,且在(0,4]上;
∴,
解得,2<b≤;
故答案为:(2,].
16.(5分)已知函数f(x)=﹣xlnx+ax在区间(0,e)内是增函数,函数g(x)=|ex﹣a|+(其中e为自然对数的底数),当x∈[0,1n3]时,函数g(x)的最大值M与最小值m的差为.则实数a= .
【解答】解:∵f(x)=﹣xlnx+ax,∴f'(x)=﹣lnx+a﹣1
∵函数f(x)=﹣xlnx+ax在(0,e)上是增函数
∴f'(x)=﹣lnx+a﹣1≥0在(0,e)恒成立
∵y=﹣lnx是(0,e)上的减函数
∴f'(x)=﹣lnx+a+1的最小值大于等于0即可,即﹣1+a﹣1≥0
∴a≥2
∵x∈[0,ln3],∴ex∈[1,3]
∴ex=a时,函数取得最小值为
∵x=0时,;x=ln3时,
3>a≥2时,函数g(x)的最大值M=
∵函数g(x)的最大值M与最小值m的差为
∴3>a≥2时,
∴a=
a>3时,x0>ln3,此时x在[0,ln3]内单调递减,所以函数在f(0)处取最大值,在f(ln3)处取最小值,a=不符合a大于3,所以舍去.
故答案为:
三、解答题:本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知幂函数f(x)=(m﹣1)2x在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x﹣k
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若命题p是q成立的必要条件,求实数k的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)依题意得:(m﹣1)2=1,⇒m=0或m=2,
当m=2时,f(x)=x﹣2在(0,+∞)上单调递减,
与题设矛盾,舍去,
∴m=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:f(x)=x2,
当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4),
当x∈[1,2)时,g(x)∈[2﹣k,4﹣k),即B=[2﹣k,4﹣k),
若命题p是q成立的必要条件,则B⊆A,
则,即,
解得:0≤k≤1.
18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)求的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)∵.
∴由正弦定理,可得:,整理可得:a2+b2﹣c2=ab,
∴由余弦定理可得:cosC===,
∴C∈(0,π),
∴C=;
(Ⅱ)∵由(Ⅰ)可得:B=﹣A,
∴由正弦定理可得:====
=2sin(A+),
∵0<A<,<A+<,<sin(A+)≤1,
∴从而解得:=2sin(A+)∈(1,2].
19.(12分)已知函数 f(x)=sinωxcosωx﹣sin2ωx+1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)如图,在锐角三角形ABC中有f(B)=1,若在线段BC上存在一点D使得AD=2,且 AC=,CD=﹣1,求三角形ABC的面积.
【解答】解:(Ⅰ)函数 f(x)=sinωxcosωx﹣sin2ωx+1=sin2ωx﹣cos2ωx+1=sin(2ωx)
∵图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
∴,即T=π
那么:T=,
可得ω=1
那么f(x)=sin(2x)
由2x
得:≤x≤.
∴函数f(x)的单调递减区间为[:,],k∈Z.
(Ⅱ)由f(B)=1,即f(B)=sin(2B)=1.
∵,
<2B
∴:2B=
解得:B=.
在△ADC中,AD=2,且 AC=,CD=﹣1,
利余弦定理:cosC==.
∵,
∴C=.
由A+B+C=π,
∴A==
由正弦定理:,可得AB=2.
那么三角形ABC的面积S=AB•ACsinA=.
20.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令,设数列{cn}的前n项和Tn,求T2n.
【解答】解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公式为q,
由b2+S2=10,a5﹣2b2=a3.
得,解得.
∴.
(2)由a1=3,an=2n+1得Sn=n(n+2),
则n为奇数,,n为偶数,.
∴T2n=(c1+c3+…+c2n﹣1)+(c2+c4+…+c2n)
=
=.
21.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+1,其中a∈R,且a≠0
(Ⅰ)设h(x)=(2x﹣3)f(x),若函数y=h(x)图象与x轴恰有两个不同的交点,试求a的取值集合;
(Ⅱ)当a>﹣2时,求函数y=|f(x)|在[0,1]上最大值.
【解答】解:(Ⅰ)若f(x)=0恰有一解,且解不为,
即a2﹣4=0,解得a=±2;
若f(x)=0有两个不同的解,且其中一个解为,
代入得+a+1=0,
解得a=﹣,检验满足△>0;
综上所述,a的取值集合为{﹣,﹣2,2}.
(Ⅱ)(1)若﹣≤0,即a≥0时,
函数y=|f(x)|在[0,1]上单调递增,
故ymax=f(1)=2+a;
(2)若0<﹣<1,即﹣2<a<0时,
此时△=a2﹣4<0,且f(x)的图象的对称轴在(0,1)上,且开口向上;
故ymax=max{f(0),f(1)}=max{1,a+2}=,
综上所述,ymax=
22.(12分)已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)
(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
【解答】解:(1)∵函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,
∴f′(x)=a+lnx+1≥0在区间[e,+∞)上恒成立,∴a≥(﹣lnx﹣1)max=﹣2.
∴a≥﹣2.
∴a的取值范围是[﹣2,+∞).
(2)a=1时,f(x)=x+lnx,k∈Z时,不等式k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,
∴k<,
令 g(x)=,则g′(x)=,
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1).
则h′(x)=1﹣=>0,∴h(x) 在 (1,+∞)上单增,
∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0,
存在x0∈(3,4),使 h(x0)=0.
即当 1<x<x0时h(x)<0 即 g′(x)<0
x>x0时 h(x)>0 即 g′(x)>0
g(x)在 (1,x0)上单减,在 (x0+∞)上单增.
令h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即lnx0=x0﹣2,
g(x)min=g(x0)===x0∈(3,4).
k<g(x)min=x0∈(3,4),且k∈Z,
∴kmax=3.