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- 2021-06-11 发布
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第
2
课时 函数奇偶性的应用
关键能力
·
合作学习
类型一 利用奇偶性求函数的解析式
(
逻辑推理
)
【
典例
】
1.
若函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数
,
当
x>0
时
,f(x)=x
2
-2x-1,
求函数
f(x)
的解析式
.
2.
设
f(x)
是偶函数
,g(x)
是奇函数
,
且
f(x)+g(x)=x
2
+2x,
求函数
f(x),g(x)
的解析式
.
【
思路导引
】
1.
已知
x>0
时的解析式
,
用奇偶性求
x<0
时的解析式
,
应通过
(-x)
进行过渡
,
但别忽视
x=0
的情况
.
2.
根据函数的奇偶性
,
用
-x
代替原式中的
x,
再利用方程思想分别求出
f(x),g(x)
的解析式
.
【
解析
】
1.
当
x<0
时
,-x>0,
f(-x)=(-x)
2
-2(-x)-1=x
2
+2x-1,
因为函数
f(x)
是奇函数
,
所以
f(x)=-f(-x),
所以
x<0
时
,f(x)=-x
2
-2x+1,
又
f(0)=0,
故
f(x)=
2.
因为
f(x)
是偶函数
,g(x)
是奇函数
,
所以
f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由
f(x)+g(x)=2x+x
2
.
①
用
-x
代替
x
得
f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)
2
,
所以
f(x)-g(x)=-2x+x
2
,
②
(
①
+
②
)
÷
2,
得
f(x)=x
2
.(
①
-
②
)
÷
2,
得
g(x)=2x.
【
解题策略
】
利用奇偶性求函数解析式的思路
(1)“
求谁设谁”
,
即在哪个区间求解析式
,x
就设在哪个区间内
.
(2)
利用已知区间内的解析式代入
,
求未知区间内的解析式
.
(3)
利用
f(x)
的奇偶性写出
-f(x)
或
f(-x),
从而解出
f(x).
【
跟踪训练
】
函数
f(x)
是定义域为
R
的奇函数
,
当
x>0
时
,f(x)=-x+1,
求
f(x)
的解析式
.
【
解析
】
设
x<0,
则
-x>0,
所以
f(-x)=-(-x)+1=x+1,
又因为函数
f(x)
是定义域为
R
的奇函数
,
所以
f(-x)=-f(x)=x+1
所以当
x<0
时
f(x)=-x-1.
又
x=0
时
,f(0)=0,
所以
f(x)=
类型二 奇偶性、单调性关系的应用
(
逻辑推理
)
角度
1
比较大小问题
【
典例
】
设偶函数
f(x)
的定义域为
R,
当
x∈[0,+∞)
时
,f(x)
单调递增
,
则
f(-2),f(π),f(-3)
的大小关系是
(
)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)3>2,
所以
f(
π
)>f(3)>f(2),
故
f(
π
)>f(-3)>f(-2).
【
变式探究
】
将典例改为
:
函数
y=f(x)
在
[0,2]
上单调递增
,
且函数
f(x+2)
是偶函数
,
则下列结论成立的是
(
)
【
解析
】
选
B.
因为函数
f(x+2)
是偶函数
,
所以函数
f(x)
的图象关于直线
x=2
对称
,
所以
又
f(x)
在
[0,2]
上单调递增
,
所以
角度
2
解不等式问题
【
典例
】
已知定义在
[-2,2]
上的奇函数
f(x)
在区间
[0,2]
上单调递减
,
若
f(1-m)b
C.|a|<|b| D.0≤a0,1+ >0.
又
-10.
所以
f(x
1
)-f(x
2
)<0,
所以
f(x)
在
(-1,1)
上是增函数
.
(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).
因为
f(x)
在
(-1,1)
上是增函数
,
所以
-10
时
,f(x-1)≥0=f(2),
即
00
时
,y=x+1,
所以在
(0,+∞)
上单调递增
;
另外函数
y=x
3
不是偶函数
;y=-x
2
+
1
在
(0,+∞)
上单调递减
;y=
不是偶函数
.
3.(
教材二次开发
:
练习改编
)
一个偶函数定义在区间
[-7,7]
上
,
它在
[0,7]
上的图象如图
,
下列说法正确的是
(
)
A.
这个函数仅有一个单调增区间
B.
这个函数有两个单调减区间
C.
这个函数在其定义域内有最大值是
7
D.
这个函数在其定义域内有最小值是
-7
【
解析
】
选
C.
根据偶函数在
[0,7]
上的图象及其对称性
,
作出函数在
[-7,0]
上的图象
,
如图所示
,
可知这个函数有三个单调增区间
;
有三个单调减区间
;
在其定义域内有最大值是
7;
在其定义域内最小值不是
-7.
4.
如果奇函数
f(x)
在区间
[1,5]
上单调递减
,
且最小值为
3,
那么
f(x)
在区间
[-5,-1]
上
(
)
A.
单调递增且最小值为
3
B.
单调递增且最大值为
3
C.
单调递减且最小值为
-3
D.
单调递减且最大值为
-3
【
解析
】
选
D.
当
-5≤x≤-1
时
,1≤-x≤5,
所以
f(-x)≥3,
即
-f(x)≥3.
从而
f(x)≤-3,
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同
,
故
f(x)
在
[-5,-1]
上单调递减
.
5.
偶函数
f(x)
在
(0,+∞)
内的最小值为
2 020,
则
f(x)
在
(-∞,0)
上的最小值为
.
【
解析
】
由于偶函数的图象关于
y
轴对称
,
所以
f(x)
在对称区间内的最值相等
.
又当
x∈(0,+
∞
)
时
,f(x)
min
=2 020,
故当
x∈(-
∞
,0)
时
,f(x)
min
=2 020.
答案
:
2 020