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高考适应考试数学(文科) 第 1 页 共 2 页
高 2017 级高考适应性考试数学(文科)试题
命题人:高 2017 级数学备课组
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合 2{ | 1 3}, { | log ( 2)}A x x B x y x ,则集合 AB ( )
A. | 1 2xx B. | 2 3xx C. |1 3xx D. |2xx
2.已知i 是虚数单位,且 1 iz i
,则 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知椭圆C 的焦点为 1( 1,0)F , 2 (1,0)F .过点 1F 的直线与 交于 A,B 两点.若 2ABF 的周长为8 ,
则椭圆 的标准方程为( )
A.
22
116 15
xy B.
22
187
xy C.
22
143
xy D.
22
134
xy
4.若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ,则记为 (mod )N n m ,例如
10 2(mod4) .如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.
执行该程序框图,则输出的 等于( )
A. 4 B.8 C.16 D.32
5.已知函数 ( ) 2 sinf x x x ,若 3(3 )af , ( 2)bf , 2(log 7)cf ,
则 ,,abc的大小关系为( )
A. abc B.b c a C.c a b D. a c b
6. 函数 2
sin() cos
xxfx xx
在[ , ] 的图像大致为( )
A. B.
C. D.
7.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑(biē nào).
如图,网格纸上小正方形的边长 1,粗实线画出的是某鳖臑的三视图,则该
鳖臑表面积为( )
A.6 B. 21 C. 27 D.54
8. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则 f π
2 等于
( )
A.3 2
2 B.-3 2
2 C.-3
2 D.3
2
9.已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 ()PA PB PC 的最小值是
( )
A.-2 B. 3
2 C. 4
3 D.-1
10.如图,已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 4 ,P 是 1AA 的中点,点 M 在
侧面 11AA B B 内,若 1D M CP ,则 BCM 面积的最小值为( )
A.8 B.4 C.82 D. 85
5
11.已知双曲线
22
22: 1 0, 0xyC a bab 的左,右焦点分别为 12,FF,O 为坐标原点, P 为双曲线在
第一象限上的点,直线 PO , 2PF 分别交双曲线C 的左,右支于另一点 12, , 3M N PF PF若 ,且
2 60MF N,则双曲线的离心率为( )
A. 5
2
B.3 C.2 D. 7
2
12.设函数 sin cosf x a x b x 0 在区间 ,62
上单调,且 2
2 3 6f f f
,
当
12x 时, fx取到最大值 4 ,若将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到函数
gx的图象,则函数 3y g x x 零点的个数为( )
A. B.5 C.6 D. 7
高考适应考试数学(文科) 第 2 页 共 2 页
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.圆心在原点且与直线 20xy 相切的圆的方程为 .
14.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材
料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润
为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工
时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.
15.已知 ABC 中,D 在边 BC 上且 AD=BD, 23tan 2tan 3 0BA ,则 BD
DC
的最大值是__________.
16.设函数 .①若 ,则 的最大值为______________;
②若 无最大值,则实数 的取值范围是________.(本题第一空 2 分,第二空 3 分.)
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17. (本题满分 12 分)已知函数 ( ) log ( 0 1)kf x x k k k 为常数, 且
(1)在下列条件中选择一个,使数列 na 是等比数列,并说明理由.
①数列 nfa 是首项为 2,公比为 2 的等比数列;
②数列 是首项为 4,公差为 2 的等差数列;
③数列 是首项为 2,公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列.
(2)在(1)的条件下,设
1
2
2 , k 2 .41
n
n n n na b b n Tn
当 时,求数列 的前 项和
18. (本题满分 12 分) 在菱形 ABCD 中, ,3ADC AB a ,O 为线段CD 的中点(如图 1).将 AOD△
沿 AO 折起到 'AOD△ 的位置,使得平面 'AOD 平面 ABCO , M 为线段 'BD 的中点(如图 2).
(Ⅰ)求证: 'OD BC ;
(Ⅱ)求证:CM ∥平面 'AOD ;
(Ⅲ)当四棱锥 'D ABCO 的体积为 3
2
时,求 a 的值.
19. (本题满分 12 分)设椭圆 的中心为原点,焦点在坐标轴上,且过点 3 2 61, , ,1 .23MN
(1)求椭圆 的方程;
(2)设直线l 的方程为 : 1 ,y k x点 A 为椭圆 在 x 轴正半轴上的顶点,过点 作 AB l ,垂足为 ,M
点 B 在椭圆上(不同于点 )且满足: 2 5 ,MB AM 求直线 的斜率 .k
20. (本题满分 12 分)“五一小长假”后,某商场开业一周累计生成 2 万张购物单,从中随机抽出 100 张,
对每单消费进行统计得到下表:
消费金额(单位:元) (0,200] (200,400] (400,600] (600,800] (800,1000]
购物单张数 25 25 30 ? ?
由于工作人员失误,后两栏数据已无法辨识,但当时记录表明,根据由以上数据绘制成的频率分布直方
图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等(用频率估计概率),完成下列问题:
(1)估计该商场开业一周累计生成的购物单中,单笔消费额超过 800 元的购物单张数;
(2)为鼓励顾客消费,拉动内需,该商场打算在今年端午节期间进行促销活动,凡单笔消费超过 600 元者,
可抽奖一次,中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值 300 元、100 元、50 元的奖品,已知
中奖率为 100%,且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等差数列,其中一等奖的中奖率为 1
21
,
若今年端午节期间该商场的购物单数量预计比“五一小长假”后后开业一周的购物单数量增长 5%,试预测
商场今年端午节期间采办奖品的开销。
21. (本题满分 12 分) lnxf x e x
(1) e ,判断 fx的单调性
(2) 0,e ,记 最小值为 h ,证明: he
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 cos ()sin
x
y
为参数 ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2
2
12
3 sin .
(1)求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程;
(2)若直线l 与曲线 1C 相切于第二象限的点 P ,与曲线 2C 交于 A 、B 两点,且 7| | | | 3PA PB,求直线l
的倾斜角.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)已知函数 .
(1)解不等式 ( ) 4 | 1|f x x ;
(2)已知 1( 0, 0)m n m n ,若 11| | ( ) ( 0)x a f x amn 恒成立,求实数 a 的取值范围.
3 3,()
2,
x x x afx
x x a
0a ()fx
()fx a
( ) |3 2 |f x x
高考适应考试数学(文科) 第 3 页 共 2 页
高 2017 级高考适应性考试数学(文科)试题参考答案
一、选择题:
1—5:B B C C D ; 6—10:D C C B D; 11—12:D D.
二、填空题:
13. 222xy; 14. 216000; 15.2; 16. , .
三、解答题:
17. 【解】:(1)条件②能使数列 na 是等比数列,证明如下:
2 2 4
1
2 1 2
2 4 21
22
4 1 2 2 2, log 2 2 , 0,
,
n
n k n n
n
n
nn
n
f a n n a n a k a k
a k k a k kak
即 且
又 数列 是以 为首项, 为公比的等比数列.
6分
(2)由(1)知:
4 2 1 2 2 1
1
22
, 2 2 ,
2 1 1 1 1,,4 1 4 1 2 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 11.2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 1 2 1
n n n
nn
n
n n n
n
a k k k k a
a b bn n n n
nT n n n n
当 时,
18.【解】:(Ⅰ)证明:因为在菱形 ABCD 中,
3ADC ,O 为线段CD 的中点,
所以 'OD AO .因为平面 'AOD 平面 ABCO ,平面 'AOD 平面 ABCO AO ,
'OD 平面 'AOD ,所以 'OD 平面 .因为 BC 平面 ,所以 'OD BC .
(Ⅱ)证明:如图,取 P 为线段 'AD 的中点,连接 OP,PM;因为在 'ABD 中, ,M 分别是线段 ,
'BD 的中点,所以 //PM AB , 1
2PM AB . 因为 是线段 的中点,菱形 中,AB DC a,
//AB DC ,所以 1
22
aOC CD.所以OC / /AB, 1
2OC AB .所以 //PM OC , PM OC .所
以四边形OCMP 为平行四边形,所以 //CM OP ,因为CM 平面 ,OP 平面 ,所以
//CM 平面 ;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 平面 . 所以 'OD 是四棱锥 'D ABCO 的高,
又 S= 2
3
3322
28
a aa
a
, '
2
aOD
因为
31 3 3'3 16 2
aV S OD , 所以 2a .
19.【解】:⑴ 设椭圆 的方程为 221mx ny( ,0mn 且 mn )
3 2 61, , ,123MN
在椭圆 上,
9 14 ,8 13
mn
mn
解之,得
1
4.1
3
m
n
则椭圆 的方程为
22
1.43
xy 4分
⑵ 椭圆 的右顶点 A 为 2,0 .
由题可知 0,k 直线 1: 1,l x yk直线 AB 的方程为 2,x ky
由
1 1 ,
2
xyk
x ky
可知 2 .1M
ky k
由 22
2 ,3 4 12 0
x ky
xy
得 223 4 12 0,k y ky 则 2
12 ,34B
ky k
2 5 ,MB AM 2 5 0 ,B M My y y 则 2 2 2
12 52,3 4 1 1
k k k
k k k
0,k 2 4 ,3k 解
之, 23.3k 12分
2 ( , 1)
高考适应考试数学(文科) 第 4 页 共 2 页
20. 【解】:(1)因为 25 25 1
100 2
,所以中位数为 400,又因为 25 25 30 0.8100
21. 解:(1) lnxf x e e x , x ef x e x
, 10f 2 0x ef x e x
,
0,1 , 0,x f x f x , 1, , 0,x f x f x ,
(2) xf x e x
, 2 0xf x e x
, 0, , 1 0x f x f e
000,1 , 0x f x , 00, , 0,x x f x f x , 0, , 0,x x f x f x
00lnoxh f x e x ……………(1) 因为 0 0fx ,所以 0
0
xxe ………………(2)
设 xm x xe ,易知 mx在 0+, 单增, 00m , 1me ,
因为 0,e ,所以 0 0,1x
将(2)代入(1)得: 0 0 01 lnoxh f x e x x ,
设 1 ln , 0,1xu x e x x x , 1 lnxu x e x x ,
0,1 , 0x u x, ux单调递增,所以 1u x u e,所以 he
22. 【解】:(1)解 22
1 :1C x y, 2 2 2
2 : C x y , siny ,
2C 为:
22
143
xy.
(2)设 00( , )P x y 直线l 设为 0
0
cos
sin
x x t
y y t
(t 为参数),代入椭圆方程化简整理得
2 2 2 2 2
0 0 0 03cos 4sin 6 cos 8 sin 3 4 12 0t x y t x y ,
方程两根设为 1t , 2t ,则
22
00
12 22
7 3 4 12
3 3cos 4sin
xytt
,由题意知
0
0
cos( ) sin2
sin( ) cos2
x
y
, 代入上式化简得 2 3sin 4 ,得 3sin 2 ,又
(0, ) ,
3
或 2
3
. 因为 P 在单位圆的第二象限上,所以
3
,即直线l 倾斜角为
60.
23. 【解】:(1)由题知|3 2 | | 1| 4xx ,
当 2
3x 时, 3 2 1 4xx ,解得 52
43x ,
当 2 13 x 时,即3 2 1 4xx ,解得 21
32x ,
当 1x 时,即3 2 1 4xx ,无解,综上可得 51( , )42x .
(2) 1 1 1 1( )( ) 1 1 4nmmnm n m n m n ,(当且仅当 nm 时取等号)
令
22 2 3
2( ) | | ( ) | | | 3 2 | 4 2 3
2 2
x a x
g x x a f x x a x x a x a
x a x a
2
3x 时, max
2() 3g x a,要使不等式恒成立,只需 max
2( ) 43g x a 即 100 3a .
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