江西省抚州市南城县第二中学2019-2020学年高一上学期月考数学试题 18页

www.ks5u.com 南城二中2019-2020年上学期第二次月考 高一数学 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁BA=（）‎ A. [3，+∞） B. （3，+∞） C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，，所以；故选A.‎ ‎2.已知实数集，集合，集合，则（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意和函数的定义域求出集合B，由补集的运算求出∁RB，由交集的运算求出A∩（∁RB）．‎ ‎【详解】由x﹣2＞0得x＞2，则集合B＝{x|x＞2}，‎ 所以∁RB＝{x|x≤2}，‎ 又集合A＝{x|1＜x＜3}，‎ 则A∩（∁RB）＝{x|1＜x≤2}，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，以及函数的定义域，属于基础题．‎ ‎3.角的终边经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据三角函数定义，，，，所以，故选择D.‎ ‎4.函数的一个单调递增区间是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.‎ ‎【详解】函数的解析式即：，‎ 其单调增区间满足：，‎ 解得：，‎ 令可得函数的一个单调递增区间为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．‎ ‎【详解】，，‎ 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最大值为，‎ 所以函数的值域为，故选C ‎【点睛】本题考查函数的值域，解题的关键是通过三角恒等式将函数变形为，属于一般题．‎ ‎6.若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在上的单调性，结合指数函数、一次函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于足对任意的实数都有成立，所以在上递增，所以，即，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数单调性判断，考查指数函数、一次函数单调性，属于基础题.‎ ‎7.已知函数在上是增函数，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．‎ ‎【详解】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，‎ 则当x∈[2，+∞）时，‎ x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数 即，f（2）=4+a＞0‎ 解得﹣4＜a≤4‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键．‎ ‎8.若关于x的不等式x2＋ax－2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. (－∞，1) B. (－∞，1]‎ C. (1，＋∞) D. [1，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，‎ 等价于a＜，x∈[1，4]；‎ 设f（x）=﹣x，x∈[1，4]，‎ 则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，‎ 且当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=1；‎ 所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．‎ 故选A．‎ ‎9.f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)‎ A. (8，＋∞) B. (8，9] C. [8，9] D. (0，8)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x=y=3，利用f（3）=1即可求得f（9）=2，由f（x）+f（x﹣8）≤2得f[x（x﹣8）]≤f（9），再由单调性得到不等式组，解之即可．‎ ‎【详解】∵f（3）=1，‎ ‎∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2；‎ ‎∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，‎ f（xy）=f（x）+f（y），f（9）=2，‎ ‎∴f（x）+f（x﹣8）≤2⇔f[x（x﹣8）]≤f（9），‎ ‎∴，‎ 解得：8＜x≤9．‎ ‎∴原不等式的解集为：（8，9]．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．‎ ‎10.设函数f（x）=ln（1+|x|）-，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可判断为偶函数且当时单调递增,进而将转化为,即为,从而求解即可 ‎【详解】解：的定义域为，‎ ‎∵,‎ ‎∴​函数为偶函数,且在时,,‎ 而在时是单调递增函数,且在时是单调递增函数,‎ ‎∴函数在上单调递增,‎ ‎∴等价为,即,‎ 两边同时平方可得,即,‎ 解得：,‎ 所求的取值范围是 故选B ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用,考查利用函数性质解不等式,考查运算能力 ‎11.已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：求函数f（x）定义域，及f（﹣x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f′（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinθ＞m﹣1，也就是对任意的都有sinθ＞m﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m的取值范围．‎ 详解：‎ f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x）；‎ f′（x）=ex+e﹣x＞0；‎ ‎∴f（x）在R上单调递增；‎ 由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；‎ ‎∴sinθ＞m﹣1；‎ 即对任意θ∈都有m﹣1＜sinθ成立；‎ ‎∵0＜sinθ≤1；‎ ‎∴m﹣1≤0；‎ ‎∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.‎ ‎12.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=f（x），且在区间[0，2]上f（x）=x，若关于x的方程f（x）=loga|x|有六个不同的根，则a的范围为（　　）‎ A. B. C. D. （2，4）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由得：，当时，函数的图象如图：‎ ‎，再由关于的方程有六个不同的根，则关于 的方程有三个不同的根，可得，解得，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于的不等式，解得即可.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.已知集合，，若，实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合分成和两种情况进行分类讨论，结合列不等式（组），求得的取值范围.‎ ‎【详解】当时，解得，此时满足.‎ 当时，，解得.要使，则需或，即或.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据集合交集运算的结果求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎14.已知函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】（0，2）‎ ‎【解析】‎ 画出函数图像如图所示，得二次函数最高点位 ，常函数 和曲线有三个交点，则位于 轴上方，最高点下方即可.故得．‎ ‎15.函数零点的个数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，转化为两个函数图像交点个数，来判断出零点的个数.‎ ‎【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有个零点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎16.已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是 ‎______________.‎ ‎【答案】[－5,－2].‎ ‎【解析】‎ 分析：求出函数的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论.‎ 详解：由题意得：在[－2,2]上f(x)的值域A为g(x)的值域B的子集. ‎ 易得A＝[－3,3]，B＝[m－1,8＋m]，从而解得－5≤m≤－2.‎ 点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.已知，且.‎ ‎（1）由的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式得,再根据同角三角函数关系求的值；（2）先根据诱导公式化简得,再利用同角三角函数关系化切:,最后将(1)的数值代入化简得结果.‎ 试题解析：解：（1）由，得，‎ 又，则为第三象限角，所以， ‎ 所以. ‎ ‎（2）方法一：，‎ 则 ‎ 方法二：.‎ ‎18.已知集合，函数的定义域为．‎ ‎（1）当时，求、；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ，；(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由可得，由并集定义可得的值，由补集定义可得或，进而由交集的定义计算可得，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：①、当时，有，②当时，有，分别求出的取值范围，进而对其求并集可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，当时，，‎ 有意义，则，得，‎ 则，‎ 又或，则；‎ ‎（2）根据题意，若，则，‎ 分2种情况讨论：‎ ‎①当时，有，解可得，‎ ‎②当时，‎ 若有，必有，解可得，‎ 综上可得：的取值范围是：．‎ ‎【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.‎ ‎19.设函数．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）当时，求的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为.（2）的最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将的系数变为正数，然后利用余弦型函数单调递增区间的求法，求得的单调递增区间.‎ ‎（2）根据余弦型函数值域的求法，求得的最大值和最小值.‎ ‎【详解】依题意.‎ ‎（1）由，解得，所以的单调递增区间为.‎ ‎（1）由于，所以，所以，所以，所以最大值为，最小值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查余弦型函数的单调区间、最值的求法，属于基础题.‎ ‎20.已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出f（x）+（x﹣1）=（1+x），根据函数的单调性求出m的范围即可；（3）问题转化为k=﹣x+1在[2，3]上有解，即g（x）=﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g（x）的值域，从而求出k的范围即可．‎ 解析：‎ ‎（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，‎ ‎∴， ‎ 即，解得或（舍）. ‎ ‎（2）‎ 当时，， ‎ ‎∵当时，恒成立，‎ ‎∴. ‎ ‎（3）由（1）知，，即，即即在上有解， ‎ 在上单调递减 的值域为， ‎ ‎∴ ‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．‎ ‎21.已知定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断函数的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) 减函数，证明见解析；(3) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数的性质令，求解即可．‎ ‎（2）利用函数单调性的定义证明即可．‎ ‎（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．‎ ‎【详解】（1）∵在定义域上是奇函数，‎ 所以，即，∴，‎ 经检验，当时，原函数是奇函数．‎ ‎（2）在上是减函数，证明如下：‎ 由（1）知，‎ 任取，设，‎ 则，‎ ‎∵函数在上是增函数，且，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴函数在上是减函数．‎ ‎（3）因是奇函数，从而不等式等价于，‎ 由（2）知在上是减函数，由上式推得，‎ 即对任意，有恒成立，‎ 由，‎ 令，，则可设，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．‎ ‎22.设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点．已知，‎ ‎（1）若，求函数的准不动点 ‎（2）若函数在区间上不存在准不动点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给的值代入 ‎，结合准不动点的概念建立等式，结合幂的运算性质，求解即可 ‎（2）根据题意得在上无解，再利用换元法进行确定其范围即可 ‎【详解】(Ⅰ)当时，函数，‎ 依题，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数的准不动点为;‎ ‎（2）根据已知，得在上无解，‎ 在上无解，‎ 令，，‎ 在区间上无解，‎ 在区间上无解，‎ 设，‎ 在区间上单调递减，‎ 故，‎ 或，‎ 又上恒成立，‎ 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 设，‎ 在区间上单调递减，‎ 故，‎ ‎，‎ 综上实数的取值范围 ‎【点睛】本题考查根据函数新定义求解具体函数自变量，幂的运算性质，复合函数的定义域，不等式在某区间恒成立问题的转化，换元法的应用，分离参数法的应用，体现了不等式与函数的转化思想，属于难题 ‎ ‎ ‎ ‎