浙江专用2020高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语函数与导数不等式第4讲不等式专题强化训练 7页

第4讲 不等式 专题强化训练 ‎1．(2019·金华十校联考)不等式(m－2)(m＋3)＜0的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2‎ C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3‎ 解析：选A.由(m－2)(m＋3)＜0得－3＜m＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m＜2，‎ 则不等式(m－2)(m＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集，‎ 则满足条件是－3＜m＜0.‎ 故选A.‎ ‎2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．－ D. 解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋x(a－1)－1＝0的两个根，所以－1×＝－，所以a＝－2，故选B.‎ ‎3．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 解析：选C.因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，‎ 所以x＋3y＝1，‎ 所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，‎ 当且仅当＝，‎ 即x＝，y＝时，取等号．‎ ‎4．若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A. B. - 7 -‎ C. D. 解析：选B.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1，2)、B(2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，即两条平行直线间的距离的最小值是，故选B.‎ ‎5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为(　　)‎ A．2 B. C．1 D. 解析：选B.f(x)＝＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝⇒x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6⇒a＝，故选B.‎ ‎6．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)‎ C．[－4，20] D．[－4，20)‎ 解析：选B.不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1，3]，‎ 假设的解集为空集，则不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x<－1或x>3}的子集，因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图象的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0⇒a<－4，则使的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.‎ - 7 -‎ ‎7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x，y满足约束条件，若不等式2x－y＋m2≥0恒成立，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．[－，]‎ B．(－∞，－]∪[，＋∞)‎ C．[－，]‎ D．(－∞，－]∪[，＋∞)‎ 解析：选D.作出约束条件所对应的可行域(如图中阴影部分)，令z＝－2x＋y，当直线经过点A(－4，－1)时，z取得最大值，‎ 即zmax＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.‎ 所以m2≥7，即实数m的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)，故选D.‎ ‎8．已知b>a>0，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是(　　)‎ A．log3a>0 B．3a－b< C．log2a＋log2b<－2 D．3≥6‎ 解析：选C.对于A，由log3a>0可得log3a>log31，‎ 所以a>1，又b>a>0，a＋b＝1，所以a<1，两者矛盾，所以A不正确；‎ 对于B，由3a－b<可得3a－b<3－1，‎ 所以a－b<－1，可得a＋1a>0，a＋b＝1矛盾，所以B不正确；‎ 对于C，由log2a＋log2b<－2可得log2(ab)<－2＝log2，‎ 所以ab<，又b>a>0，a＋b＝1>2，‎ 所以ab<，两者一致，‎ 所以C正确；‎ 对于D，因为b>a>0，a＋b＝1，‎ 所以3>3×2＝6，所以D不正确．故选C.‎ ‎9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中)已知x，y∈R，(　　)‎ A．若|x－y2|＋|x2＋y|≤1，则(x＋)2＋(y－)2≤ - 7 -‎ B．若|x－y2|＋|x2－y|≤1，则(x－)2＋(y－)2≤ C．若|x＋y2|＋|x2－y|≤1，则(x＋)2＋(y＋)2≤ D．若|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，则(x－)2＋(y＋)2≤ 解析：选B.对于A，|x－y2|＋|x2＋y|≤1，由(x＋)2＋(y－)2≤化简得x2＋x＋y2－y≤1，二者没有对应关系；对于B，由(x2－y)＋(y2－x)≤|x2－y|＋|y2－x|＝|x－y2|＋|x2－y|≤1，‎ 所以x2－x＋y2－y≤1，即(x－)2＋(y－)2≤，命题成立；对于C，|x＋y2|＋|x2－y|≤1，由(x＋)2＋(y＋)2≤化简得x2＋x＋y2＋y≤1，二者没有对应关系；对于D，|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，化简(x－)2＋(y＋)2≤得x2－x＋y2＋y≤1，二者没有对应关系．故选B.‎ ‎10．若关于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞)‎ C．(－∞，3] D．[3，＋∞)‎ 解析：选A.关于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在x∈(－∞，1]上恒成立，‎ 等价于a(x－1)≥x3－3x2＋2＝(x－1)(x2－2x－2)，‎ 当x＝1时，1－3－a＋a＋2＝0≤0成立，‎ 当x＜1时，x－1＜0，‎ 即a≤x2－2x－2，‎ 因为y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3≥－3恒成立，‎ 所以a≤－3，故选A.‎ ‎11．(2019·温州市高三高考模拟)若关于x的不等式|x|＋|x＋a|＜b的解集为(－2，1)，则实数对(a，b)＝________．‎ 解析：因为不等式|x|＋|x＋a|＜b的解集为(－2，1)，‎ 所以，解得a＝1，b＝3.‎ 答案：(1，3)‎ ‎12．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则＋的最小值是________，的最大值为________．‎ 解析：实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则xy＝2，‎ 则＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝2，y＝1时取等号，‎ - 7 -‎ 故＋的最小值是2，‎ ＝＝＝≤＝，当且仅当x－y＝，即x－y＝2时取等号，‎ 故的最大值为，故答案为2，.‎ 答案：2　 ‎13．(2019·兰州市高考实战模拟)若变量x，y满足约束条件，则z＝2x·‎ 的最大值为________．‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z＝2x·＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4，0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax＝24－0＝16.‎ 答案：16‎ ‎14．已知函数f(x)＝，则关于x的不等式f(f(x))≤3的解集为________．‎ 解析：令f(t)≤3，若t≤0，则2－t－1≤3，2－t≤4，解得－2≤t≤0；若t>0，则－t2＋t≤3，t2－t＋3≥0，解得t>0，所以t≥－2，即原不等式等价于或，解得x≤2.‎ 答案：(－∞，2]‎ ‎15．(2019·宁波市九校联考)已知f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a(x＞0)的最小值为，则实数a＝________．‎ 解析：f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a≥|(x＋－a)－(x－－a)|＋2x－2a ‎＝||＋2x－2a - 7 -‎ ‎＝＋2x－2a ‎≥2－2a ‎＝4－2a.‎ 当且仅当＝2x，即x＝1时，上式等号成立．‎ 由4－2a＝，解得a＝.‎ 答案： ‎16．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)若|x2＋|x－a|＋3a|≤2对x∈[－1，1]恒成立，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：|x2＋|x－a|＋3a|≤2化为－2－x2≤|x－a|＋3a≤2－x2，画出图象，可知，其几何意义为顶点为(a，3a)的V字型在x∈[－1，1]时，始终夹在y＝－2－x2，y＝2－x2之间，如图1，图2所示，‎ 为两种临界状态，首先就是图1 的临界状态，此时V字形右边边界y＝x＋2a与y＝－2－x2相切，联立直线方程和抛物线方程可得x2＋x＋2a＋2＝0，此时Δ＝0⇒1－4(2a＋2)＝0⇒a＝－，而图2的临界状态显然a＝0，‎ 综上得，实数a的取值范围为.‎ 答案： ‎17．(2019·温州模拟)已知a，b，c∈R，若|acos2x＋bsin x＋c|≤1对x∈R成立，则|asin x＋b|的最大值为________．‎ 解析：由题意，设t＝sin x，t∈[－1，1]，则|at2－bt－a－c|≤1恒成立，‎ 不妨设t＝1，则|b＋c|≤1；t＝0，则|a＋c|≤1，t＝－1，则|b－c|≤1，‎ 若a，b同号，则|asin x＋b|的最大值为 ‎|a＋b|＝|a＋c＋b－c|≤|a＋c|＋|b－c|≤2；‎ - 7 -‎ 若a，b异号，则|asin x＋b|的最大值为 ‎|a－b|＝|a＋c－b－c|≤|a＋c|＋|b＋c|≤2；‎ 综上所述，|asin x＋b|的最大值为2，‎ 故答案为2.‎ 答案：2‎ ‎18．(2019·丽水市第二次教学质量检测)已知函数f(x)＝(a≠0)．‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)若当x∈[0，1]时，不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)要使函数有意义，需4－|ax－2|≥0，即 ‎|ax－2|≤4，|ax－2|≤4⇔－4≤ax－2≤4⇔－2≤ax≤6.‎ 当a>0时，函数f(x)的定义域为{x|－≤x≤}；‎ 当a<0时，函数f(x)的定义域为{x|≤x≤－}．‎ ‎(2)f(x)≥1⇔|ax－2|≤3，记g(x)＝|ax－2|，因为x∈[0，1]，‎ 所以需且只需⇔⇔－1≤a≤5，‎ 又a≠0，所以－1≤a≤5且a≠0.‎ ‎19．(2019·丽水市高考数学模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f(x)>1；‎ ‎(2)对任意的b∈(0，1)，当x∈(1，2)时，f(x)>恒成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝>1⇔x2＋1<|x＋1|⇔或⇔0⇔|x＋a|>b(x＋)⇔x＋a>b(x＋)或x＋a<－b(x＋)⇔a>(b－1)x＋或a<－[(b＋1)x＋]对任意x∈(1，2)恒成立．‎ 所以a≥2b－1或a≤－(b＋2)对任意b∈(0，1)恒成立．‎ 所以a≥1或a≤－.‎ - 7 -‎