2021届高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第1节集合课件新人教A版 31页

第 1 节　集　合 考试要求　 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言 ( 列举法或描述法 ) 描述不同的具体问题； 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 4. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 5. 能使用韦恩 (Venn) 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算 . 知 识 梳 理 1. 元素与集合 互异性 (1) 集合中元素的三个特性：确定性、 _________ 、 _________. (2) 元素与集合的关系是 _______ 或 _________ ，表示符号分别为 ∈ 和 ∉ . (3) 集合的三种表示方法： _________ 、 _________ 、图示法 . 无序性 属于 不属于 列举法 描述法 2. 集合间的基本关系 (1) 子集：若对任意 x ∈ A ，都有 _______ ，则 A ⊆ B 或 B ⊇ A . (2) 真子集：若 A ⊆ B ，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A ，则 _______ 或 B  A . (3) 相等：若 A ⊆ B ，且 _______ ，则 A ＝ B . (4) 空集的性质：  是 _______ 集合的子集，是任何 _______ 集合的真子集 . x ∈ B A  B B ⊆ A 任何 非空 3. 集合的基本运算   集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A ∪ B A ∩ B 若全集为 U ，则集 合 A 的补集为 ∁ U A 图形表示 集合表示 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } ____________________ { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } 4. 集合的运算性质 (1) A ∩ A ＝ A ， A ∩  ＝  ， A ∩ B ＝ B ∩ A . (2) A ∪ A ＝ A ， A ∪  ＝ A ， A ∪ B ＝ B ∪ A . (3) A ∩ ( ∁ U A ) ＝  ， A ∪ ( ∁ U A ) ＝ U ， ∁ U ( ∁ U A ) ＝ A . [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2 n 个，真子集有 2 n － 1 个，非空子集有 2 n － 1 个，非空真子集有 2 n － 2 个 . 2. 子集的传递性： A ⊆ B ， B ⊆ C ⇒ A ⊆ C . 3. 注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集的讨论 . 4. A ⊆ B ⇔ A ∩ B ＝ A ⇔ A ∪ B ＝ B ⇔ ∁ U A ⊇ ∁ U B . 5. ∁ U ( A ∩ B ) ＝ ( ∁ U A ) ∪ ( ∁ U B ) ， ∁ U ( A ∪ B ) ＝ ( ∁ U A ) ∩ ( ∁ U B ). 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 任何一个集合都至少有两个子集 .( 　　 ) (2){ x | y ＝ x 2 ＋ 1} ＝ { y | y ＝ x 2 ＋ 1} ＝ {( x ， y )| y ＝ x 2 ＋ 1}.( 　　 ) (3) 若 { x 2 ， 1} ＝ {0 ， 1} ，则 x ＝ 0 ， 1.( 　　 ) (4) 对于任意两个集合 A ， B ，关系 ( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B ) 恒成立 .( 　　 ) 解析 　 (1) 错误 . 空集只有一个子集 . (2) 错误 .{ x | y ＝ x 2 ＋ 1} ＝ R ， { y | y ＝ x 2 ＋ 1} ＝ [1 ，＋ ∞ ) ， {( x ， y )| y ＝ x 2 ＋ 1} 是抛物线 y ＝ x 2 ＋ 1 上的点集 . (3) 错误 . 当 x ＝ 1 时，不满足集合中元素的互异性 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ A. a ∈ P B.{ a } ∈ P C.{ a } ⊆ P D. a ∉ P 答案　 D 3. ( 老教材必修 1P44A 组 T5 改编 ) 已知集合 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ＝ 1} ， B ＝ {( x ， y )| x ， y ∈ R 且 y ＝ x } ，则 A ∩ B 中元素的个数为 ________. 答案　 2 4. (2019· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知集合 A ＝ { － 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B ＝ { x | x 2 ≤ 1} ，则 A ∩ B ＝ ( 　　 ) A.{ － 1 ， 0 ， 1} B.{0 ， 1} C.{ － 1 ， 1} D.{0 ， 1 ， 2} 解析　 因为 B ＝ { x | x 2 ≤ 1|} ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 1} ，又 A ＝ { － 1 ， 0 ， 1 ， 2} ，所以 A ∩ B ＝ { － 1 ， 0 ， 1}. 答案　 A 5. (2019· 全国 Ⅱ 卷改编 ) 已知集合 A ＝ { x | x 2 － 5 x ＋ 6>0} ， B ＝ { x | x － 1 ≥ 0} ，全集 U ＝ R ，则 A ∩ ( ∁ U B ) ＝ ( 　　 ) A.( － ∞ ， 1) B.( － 2 ， 1) C.( － 3 ，－ 1) D.(3 ，＋ ∞ ) 解析　 由题意 A ＝ { x | x <2 或 x >3}. 又 B ＝ { x | x ≥ 1} ，知 ∁ U B ＝ { x | x <1} ， ∴ A ∩ ( ∁ U B ) ＝ { x | x <1}. 答案　 A 6. (2020· 保定模拟 ) 设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P － Q ＝ { x | x ∈ P ，且 x ∉ Q } ，如果 P ＝ { x |1<2 x <4} ， Q ＝ { y | y ＝ 2 ＋ sin x ， x ∈ R } ，那么 P － Q ＝ ( 　　 ) A.{ x |0< x ≤ 1} B.{ x |0 ≤ x <2} C.{ x |1 ≤ x <2} D.{ x |0< x <1} 解析　 由题意得 P ＝ { x |0< x <2} ， Q ＝ { y |1 ≤ y ≤ 3} ， ∴ P － Q ＝ { x |0< x <1}. 答案　 D 考点一　集合的基本概念 答案　 (1)C 　 (2)(1 ， 2] 规律方法　 1. 研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义 . 2. 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性 . 【训练 1 】 (1) (2018· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知集合 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ≤ 3 ， x ∈ Z ， y ∈ Z } ，则 A 中元素的个数为 ( 　　 ) A.9 B.8 C.5 D.4 (2) 设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k ∈ A ，如果 k － 1 ∉ A ，且 k ＋ 1 ∉ A ，那么称 k 是 A 的一个 “ 孤立元 ”. 给定 S ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8} ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含 “ 孤立元 ” 的集合共有 ________ 个 . 解析　 (1) 由题意知 A ＝ {( － 1 ， 0) ， (0 ， 0) ， (1 ， 0) ， (0 ，－ 1) ， (0 ， 1) ， ( － 1 ，－ 1) ， ( － 1 ， 1) ， (1 ，－ 1) ， (1 ， 1)} ，故集合 A 中共有 9 个元素 . (2) 依题意可知，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含 “ 孤立元 ” 时，这三个元素一定是连续的三个整数 . ∴ 所求的集合为 {1 ， 2 ， 3} ， {2 ， 3 ， 4} ， {3 ， 4 ， 5} ， {4 ， 5 ， 6} ， {5 ， 6 ， 7} ， {6 ， 7 ， 8} ，共 6 个 . 答案　 (1)A 　 (2)6 考点二　集合间的基本关系 【例 2 】 (1) (2019· 广东六校联考 ) 已知集合 A ＝ { － 1 ， 1} ， B ＝ { x | ax ＋ 1 ＝ 0}. 若 B ⊆ A ，则实数 a 的所有可能取值的集合为 ( 　　 ) A.{ － 1} B.{1} C.{ － 1 ， 1} D.{ － 1 ， 0 ， 1} (2) (2020· 长沙长郡中学模拟 ) 已知集合 A ＝ { x | y ＝ log 2 ( x 2 － 3 x － 4)} ， B ＝ { x | x 2 － 3 mx ＋ 2 m 2 <0( m >0)} ，若 B ⊆ A ，则实数 m 的取值范围为 ( 　　 ) A.(4 ，＋ ∞ ) B.[4 ，＋ ∞ ) C.(2 ，＋ ∞ ) D.[2 ，＋ ∞ ) 解析　 (1) 当 B ＝  时， a ＝ 0 ，此时， B ⊆ A . 综上可知，实数 a 所有取值的集合为 { － 1 ， 0 ， 1}. (2) 由 x 2 － 3 x － 4>0 得 x < － 1 或 x >4 ， 所以集合 A ＝ { x | x < － 1 或 x >4}. 由 x 2 － 3 mx ＋ 2 m 2 <0( m >0) 得 m < x <2 m . 又 B ⊆ A ，所以 2 m ≤ － 1( 舍去 ) 或 m ≥ 4. 答案　 (1)D 　 (2)B 规律方法　 1. 若 B ⊆ A ，应分 B ＝ ∅ 和 B ≠ ∅ 两种情况讨论 . 2. 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系 . 解决这类问题常常要合理利用数轴、 Venn 图，化抽象为直观进行求解 . 确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解 . 【训练 2 】 (1) 若集合 M ＝ { x || x | ≤ 1} ， N ＝ { y | y ＝ x 2 ， | x | ≤ 1} ，则 ( 　　 ) A. M ＝ N B. M ⊆ N C. M ∩ N ＝  D. N ⊆ M (2) (2020· 武昌调研 ) 已知集合 A ＝ { x |log 2 ( x － 1)<1} ， B ＝ { x || x － a |<2} ，若 A ⊆ B ，则实数 a 的取值范围为 ( 　　 ) A.(1 ， 3) B.[1 ， 3] C.[1 ，＋ ∞ ) D.( － ∞ ， 3] 解析　 (1) 易知 M ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 1} ， N ＝ { y | y ＝ x 2 ， | x | ≤ 1} ＝ { y |0 ≤ y ≤ 1} ， ∴ N ⊆ M . (2) 由 log 2 ( x － 1)<1 ，得 0< x － 1<2 ，所以 A ＝ (1 ， 3). 由 | x － a |<2 得 a － 2< x < a ＋ 2 ，即 B ＝ ( a － 2 ， a ＋ 2). 所以实数 a 的取值范围为 [1 ， 3]. 答案　 (1)D 　 (2)B 考点三　集合的运算　 多维探究 角度 1 　集合的基本运算 【例 3 － 1 】 (1) (2019· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知集合 U ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7} ， A ＝ {2 ， 3 ， 4 ， 5} ， B ＝ {2 ， 3 ， 6 ， 7} ，则 B ∩ ( ∁ U A ) ＝ ( 　　 ) A.{1 ， 6} B.{1 ， 7} C.{6 ， 7} D.{1 ， 6 ， 7} (2) (2020· 九江模拟 ) 已知全集 U ＝ R ，集合 A ＝ { x | x － 4 ≤ 0} ， B ＝ { x |ln x <2} ，则 ∁ U ( A ∩ B ) ＝ ( 　　 ) A.{ x | x >4} B.{ x | x ≤ 0 或 x >4} C.{ x |0< x ≤ 4} D.{ x | x <4 或 x ≥ e 2 } 解析　 (1) 由题意知 ∁ U A ＝ {1 ， 6 ， 7}. 又 B ＝ {2 ， 3 ， 6 ， 7} ， ∴ B ∩ ( ∁ U A ) ＝ {6 ， 7}. (2) 易知 A ＝ { x | x ≤ 4} ， B ＝ { x |0< x 4}. 答案　 (1)C 　 (2)B 角度 2 　抽象集合的运算 【例 3 － 2 】 设 U 为全集， A ， B 是其两个子集，则 “ 存在集合 C ，使得 A ⊆ C ， B ⊆ ∁ U C ” 是 “ A ∩ B ＝  ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　 由图可知，若 “ 存在集合 C ，使得 A ⊆ C ， B ⊆ ∁ U C ” ，则一定有 “ A ∩ B ＝  ” ；反过来，若 “ A ∩ B ＝  ” ，则一定能找到集合 C ，使 A ⊆ C 且 B ⊆ ∁ U C . 答案 　 C 规律方法　 1. 进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算 . 2. 数形结合思想的应用： (1) 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解； (2) 连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心 . 【训练 3 】 (1) ( 角度 1)(2018· 天津卷 ) 设全集为 R ，集合 A ＝ { x |0< x <2} ， B ＝ { x | x ≥ 1} ，则 A ∩ ( ∁ R B ) ＝ ( 　　 ) A.{ x |0< x ≤ 1} B.{ x |0< x <1} C.{ x |1 ≤ x <2} D.{ x |0< x <2} (2) ( 角度 1) 已知集合 A ＝ { x | x 2 － x ≤ 0} ， B ＝ { x | a － 1 ≤ x < a } ，若 A ∩ B 只有一个元素，则 a ＝ ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.1 或 2 (3) ( 角度 2) 若全集 U ＝ { － 2 ，－ 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， A ＝ { － 2 ， 2} ， B ＝ { x | x 2 － 1 ＝ 0} ，则图中阴影部分所表示的集合为 ( 　　 ) A.{ － 1 ， 0 ， 1} B.{ － 1 ， 0} C.{ － 1 ， 1} D.{0} 解析　 (1) 因为 B ＝ { x | x ≥ 1} ，所以 ∁ R B ＝ { x | x <1} ， 又 A ＝ { x |0< x <2} ，所以 A ∩ ( ∁ R B ) ＝ { x |0< x <1}. (2) 易知 A ＝ [0 ， 1] ，且 A ∩ B 只有一个元素，因此 a － 1 ＝ 1 ，解得 a ＝ 2. (3) B ＝ { x | x 2 － 1 ＝ 0} ＝ { － 1 ， 1} ，阴影部分所表示的集合为 ∁ U ( A ∪ B ). 又 A ∪ B ＝ { － 2 ，－ 1 ， 1 ， 2} ，全集 U ＝ { － 2 ，－ 1 ， 0 ， 1 ， 2} ，所以 ∁ U ( A ∪ B ) ＝ {0}. 答案　 (1)B 　 (2)C 　 (3)D