2020高考数学二轮复习练习：第三部分 回顾4 数列与不等式含解析 8页

回顾 4 数列与不等式 [必记知识] 1．等差数列 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若 p＋q＝m＋n，则 ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列． (4)Sn n ＝d 2n＋ a1－d 2 是关于 n 的一次函数或常数函数，数列 Sn n 也是等差数列． (5)Sn＝n（a1＋an） 2 ＝n（a2＋an－1） 2 ＝n（a3＋an－2） 2 ＝…. (6)若等差数列{an}的项数为偶数 2m(m∈N*)，公差为 d，所有奇数项之和为 S 奇，所有偶 数项之和为 S 偶，则所有项之和 S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1 为中间两项)，S 偶－S 奇＝md，S 偶 S 奇 ＝ am＋1 am . (7)若等差数列{an}的项数为奇数 2m－1(m∈N*)，所有奇数项之和为 S 奇，所有偶数项之和 为 S 偶，则所有项之和 S2m－1＝(2m－1)am(am 为中间项)，S 奇＝mam，S 偶＝(m－1)am，S 奇－S 偶＝ am，S 奇 S 偶 ＝ m m－1 . (8)若 Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则 Sm＋n＝－(m＋n)． 2．等比数列 (1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)． (2)若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)． (3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比数列(m∈N*)． (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比数列(n≥2，且 n∈N*)． (5)若等比数列的项数为 2n(n∈N*)，公比为 q，奇数项之和为 S 奇，偶数项之和为 S 偶，则S 偶 S 奇 ＝q. (6){an}，{bn}成等比数列，则{λan}，{ 1 an }，{anbn}，{an bn }成等比数列(λ≠0，n∈N*)． (7)通项公式 an＝a1qn－1＝a1 q ·qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于 n 的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点． (8)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两 个，它们互为相反数． (9)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为x q ，x，xq；四个数成等比数列，通常设这 四个数分别为 x q3 ，x q ，xq，xq3. an [提醒] (1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{A an }（A an 总有意义）必成等比数列. (2)如果数列{an}成等比数列，且 an＞0，那么数列{logaan}（a＞0 且 a≠1）必成等差数列. (3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数列；数列{an}是常 数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件. (4)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列， 且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数. (5)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由 特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公 共项，从而分析构成什么样的新数列. 3．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解 对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)． 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项 系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ ＜0 三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 4．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是 a＞0， Δ＜0. (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是 a＜0， Δ＜0. 5．分式不等式 f（x） g（x） ＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)； f（x） g（x） ≥0(≤0)⇔ f（x）g（x）≥0（≤0）， g（x）≠0. [提醒] (1)不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出 错. (2)解形如一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解，要注 意分 a＞0，a＜0 进行讨论. (3)应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f(x) g(x) ≤0 直接转化为 f(x)·g(x)≤0， 而忽视 g(x)≠0. 6．利用基本不等式求最值 (1)对于正数 x，y，若积 xy 是定值 p，则当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 p. (2)对于正数 x，y，若和 x＋y 是定值 s，则当 x＝y 时，积 xy 有最大值 1 4s2. (3)已知 a，b，x，y∈R＋，若 ax＋by＝1，则有1 x ＋1 y ＝(ax＋by) 1 x ＋1 y ＝a＋b＋by x ＋ax y ≥a ＋b＋2 ab＝( a＋ b)2. (4)已知 a，b，x，y∈R＋，若a x ＋b y ＝1，则有 x＋y＝(x＋y)· a x ＋b y ＝a＋b＋ay x ＋bx y ≥a＋b＋ 2 ab＝( a＋ b)2. [提醒] 利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：①所 求式中的相关项必须是正数.②求积 xy 的最大值时，要看和 x＋y 是否为定值，求和 x＋y 的最 小值时，要看积 xy 是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧.③当且仅当对 应项相等时，才能取等号.以上三点应特别注意，缺一不可. [必会结论] 1．判断数列单调性的方法 (1)作差比较法：an＋1－an＞0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an＜0⇔数列{an}是递减数列； an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． (2)作商比较法：①当 an＞0 时，则an＋1 an ＞1⇔数列{an}是递增数列；0＜an＋1 an ＜1⇔数列{an} 是递减数列；an＋1 an ＝1⇔数列{an}是常数列．②当 an＜0 时，则an＋1 an ＞1⇔数列{an}是递减数列； 0＜an＋1 an ＜1⇔数列{an}是递增数列；an＋1 an ＝1⇔数列{an}是常数列． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2．数列中项的最值的求法 (1)借用构造法求解：根据数列与函数之间的对应关系，构造函数 f(n)＝an(n∈N*)，利用求 解函数最值的方法进行求解即可，但要注意自变量的取值必须是正整数． (2)利用数列的单调性求解：利用不等式 an＋1≥an(或 an＋1≤an)求出 n 的取值范围，从而确 定数列单调性的变化，进而求出数列中项的最值． (3)转化为关于 n 的不等式组求解：若求数列{an}的最大项，则可转化为求解 an≥an－1， an≥an＋1， 若 求数列{an}的最小项，则可转化为求解 an≤an－1， an≤an＋1， 求出 n 的取值范围之后再确定取得最值的项． 3．求数列通项公式的常用方法 (1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式． (2)已知 Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求 an，用作差法：an＝ S1（n＝1）， Sn－Sn－1（n≥2）. (3)已知 a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求 an，用作商法：an＝ f（1）（n＝1）， f（n） f（n－1） （n≥2）. (4)已知 an＋1－an＝f(n)，求 an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)． (5) 已 知 an＋1 an ＝ f(n) ， 求 an ， 用 累 乘 法 ： an ＝ an an－1 ·an－1 an－2 · … ·a2 a1 · a1 ＝ f(n － 1)·f(n － 2)·…·f(1)·a1(n≥2)． (6)构造等比数列法：若已知数列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠ q 1－p ，设 存在非零常数λ，使得 an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝ q p－1 ，则数列{an＋ q p－1}就是以 a1＋ q p－1 为 首项，p 为公比的等比数列，先求出数列{an＋ q p－1}的通项公式，再求出数列{an}的通项公式 即可． (7)倒数法：若 an＝ man－1 k（an－1＋b）(mkb≠0，n≥2)，对 an＝ man－1 k（an－1＋b） 取倒数，得到 1 an ＝ k m· 1＋ b an－1 ，即 1 an ＝kb m· 1 an－1 ＋k m.令 bn＝ 1 an ，则{bn}可归纳为 bn＋1＝pbn＋q(p≠0，q≠0)型． 4．数列求和的常用方法 (1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即 1＋2＋3 ＋…＋n＝1 2n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝1 6n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈ N*. (2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并 在一起，再运用公式法求和． (3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑 选用倒序相加法进行求和． (4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解． (5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联， 那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有 ① 1 n（n＋1） ＝1 n － 1 n＋1 ； ② 1 n（n＋k） ＝1 k 1 n － 1 n＋k ； ③1 k2 ＜ 1 k2－1 ＝1 2 1 k－1 － 1 k＋1 ， 1 k － 1 k＋1 ＝ 1 （k＋1）k ＜1 k2 ＜ 1 （k－1）k ＝ 1 k－1 －1 k ； ④ 1 n（n＋1）（n＋2） ＝1 2 1 n（n＋1） － 1 （n＋1）（n＋2） . 5．解不等式恒成立问题的常用方法 (1)若所求问题可以化为一元二次不等式，可以考虑使用判别式法求解，利用二次项系数 的正负和判别式进行求解，若二次项系数含参数时，应对参数进行分类讨论． (2)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于零的问题，一般的转化 原理是：在闭区间 D 上，f(x)≥0 恒成立⇔f(x)在区间 D 上的图象在 x 轴上方或 x 轴上；f(x)≤0 ⇔f(x)在区间 D 上的图象在 x 轴下方或 x 轴上． (3)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于常数的问题，即 “f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立问题，通常利用函数最值进行转化，其一般的转化原 理是：f(x)≥a 在闭区间 D 上恒成立⇔f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a 在闭区间 D 上恒成立⇔f(x)max ≤a(x∈D)． (4)分离参数法：将恒成立的不等式 F(x，m)≥0(或≤0)(m 为参数)中的参数 m 单独分离出 来，不等号一侧是不含参数的函数，将问题转化为求函数最值的问题，该方法主要适用于参 数与变量能分离和函数的最值易于求出的题目，其一般转化原理是：当 m 为参数时，g(m)＞f(x) ⇔g(m)＞f(x)max；g(m)＜f(x)⇔g(m)＜f(x)min. [必练习题] 1．已知数列{an}为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a3＝6，S3＝12，则公差 d＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5 3 解析：选 B.在等差数列{an}中，S3＝3（a1＋a3） 2 ＝3（a1＋6） 2 ＝12，解得 a1＝2，又 a3＝ a1＋2d＝2＋2d＝6，解得 d＝2，选 B. 2．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a2＋a4＝6，则 S5 等于( ) A．10 B．12 C．15 D．30 解析：选 C.由等差数列的性质可得 a2＋a4＝a1＋a5，所以 S5＝5（a1＋a5） 2 ＝15，故选 C. 3．已知等比数列{an}的公比为正数，且 a2·a6＝9a4，a2＝1，则 a1 的值为( ) A．3 B．－3 C．－1 3 D．1 3 解析：选 D.设数列{an}的公比为 q，由 a2·a6＝9a4，得 a2·a2q4＝9a2q2，解得 q2＝9，所 以 q＝3 或 q＝－3(舍)，所以 a1＝a2 q ＝1 3.故选 D. 4．已知数列{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则 a1＋a10＝( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7 解析：选 D.设数列{an}的公比为 q.由题意，得 a1q3＋a1q6＝2， a1q4×a1q5＝a1q3×a1q6＝－8， 所 以 a1q3＝－2， a1q6＝4 或 a1q3＝4， a1q6＝－2， 解 得 a1＝1， q3＝－2 或 a1＝－8， q3＝－1 2. 当 a1＝1， q3＝－2 时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；当 a1＝－8， q3＝－1 2 时，a1＋a10＝a1(1 ＋q9)＝(－8)× 1＋ －1 2 3 ＝－7.综上，a1＋a10＝－7.故选 D. 5．下列三个不等式：①x＋1 x ≥2(x≠0)；②c ab>c>0)；③a＋m b＋m >a b(a，b，m>0 且 ab>c>0 得1 a<1 b ，所以c a0 且 a0 恒成立，故③恒成立，所以选 B. 6．若数列{an}的首项为 3，{bn}为等差数列，且 bn＝an＋1－an(n∈N*)，若 b3＝－2，b10＝ 12，则 a8＝( ) A．0 B．3 C．8 D．11 解析：选 B.依题意可设等差数列{bn}的公差为 d，则 b10＝b3＋7d＝－2＋7d＝12，解得 d ＝2，所以 bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8，又 bn＝an＋1－an，则 b7＝a8－a7，b6＝a7－a6，…，b1＝a2 －a1，采用累加法可得，b7＋b6＋…＋b1＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a2－a1)＝a8－a1，又易知 b1＋b2＋…＋b7＝0，则 a8＝a1＝3，故选 B. 7．在各项均不为零的数列{an}中，若 a1＝1，a2＝1 3 ，2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)， 则 a2 018＝( ) A． 1 4 033 B． 1 4 034 C． 1 4 035 D． 1 4 037 解析：选 C.因为 2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)，所以 2 an＋1 ＝ 1 an ＋ 1 an＋2 ，所以 1 an 是等差 数列，其公差 d＝ 1 a2 － 1 a1 ＝2，所以 1 an ＝1＋(n－1)×2＝2n－1，an＝ 1 2n－1 ，所以 a2 018＝ 1 4 035. 8．已知函数 f(x)＝ 2x－1－2，x≥1， 21－x－2，x＜1， 则不等式 f(x－1)≤0 的解集为________． 解析：由题意，得 f(x－1)＝ 2x－2－2，x≥2， 22－x－2，x＜2， 当 x≥2 时，由 2x－2－2≤0，解得 2≤x≤3； 当 x＜2 时，由 22－x－2≤0，解得 1≤x＜2.综上所述，不等式 f(x－1)≤0 的解集为{x|1≤x≤3}． 答案：[1，3] 9．已知数列{an}满足 a1＝3 2 ，an＝ 3nan－1 2an－1＋n－1 (n≥2，n∈N*)，则通项公式 an＝________． 解析：由 an＝ 3nan－1 2an－1＋n－1 ⇒ n an ＝1 3 ·n－1 an－1 ＋2 3 ，令 n an ＝bn，则 bn＝1 3·bn－1＋2 3 ⇒bn－1＝1 3·(bn－ 1－1)，由 a1＝3 2 ，得 b1－1＝－1 3 ，所以{bn－1}是以－1 3 为首项，1 3 为公比的等比数列，所以 bn－1＝－1 3· 1 3 n－1 ，得 an＝ n bn ＝ n·3n 3n－1 . 答案： n·3n 3n－1 10．已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 a1＝1，anan＋1＝3n，则 S2 017＝________． 解析：由 anan＋1＝3n，得 an－1an＝3n－1(n≥2)，所以an＋1 an－1 ＝3(n≥2)，则数列{an}的所有奇数 项和偶数项均构成以 3 为公比的等比数列，又 a1＝1，a1a2＝3，所以 a2＝3，所以 S2 017＝ 1×（1－31 009） 1－3 ＋3×（1－31 008） 1－3 ＝31 009－2. 答案：31 009－2