2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（理）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（理）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 函数f(x)=|sinx+cosx|‎的最小正周期是（ ）‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.π D.‎‎2π ‎2. 正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，P，Q，R分别是AB，AD，B‎1‎C‎1‎的中点．那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是‎(‎        ‎‎)‎ A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 ‎3. 函数y=‎3‎x‎2‎-1(x≤0)‎的反函数是（ ）‎ A.y=‎(x+1‎‎)‎‎3‎(x≥-1)‎ B.‎y=-‎(x+1‎‎)‎‎3‎(x≥-1)‎ C.y=‎(x+1‎‎)‎‎3‎(x≥0)‎ D.‎y=-‎(x+1‎‎)‎‎3‎(x≥0)‎ ‎4. 已知函数y=tanωx在‎(-π‎2‎，π‎2‎)‎上是减函数，则（ ）‎ A.‎0<ω≤1‎ B.‎-1≤ω<0‎ C.ω≥1‎ D.‎ω≤-1‎ ‎5. 设a、b、c、d∈R，若a+bic+di为实数，则（ ）‎ A.bc+ad≠0‎ B.bc-ad≠0‎ C.bc-ad=0‎ D.‎bc+ad=0‎ ‎6. 已知双曲线x‎2‎‎6‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎的焦点为F‎1‎、F‎2‎，点M在双曲线上且MF‎1‎⊥x轴，则F‎1‎到直线F‎2‎M的距离为（ ）‎ A.‎3‎‎6‎‎5‎ B.‎5‎‎6‎‎6‎ C.‎6‎‎5‎ D.‎‎5‎‎6‎ ‎7. 锐角三角形的内角A、B满足tanA-‎1‎sin2A=tanB，则有（ ）‎ A.sin2A-cosB=0‎ B.sin2A+cosB=0‎ C.sin2A-sinB=0‎ D.‎sin2A+sinB=0‎ ‎8. 已知点A(‎3‎, 1)‎，B(0, 0)C(‎3‎, 0)‎．设‎∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC‎→‎‎=λCE‎→‎，其中λ等于（ ）‎ A.‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎-3‎ D.‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎9. 已知集合M={x|-4≤x≤7}‎，N={x|x‎2‎-x-6>0}‎，则M∩N为（ ）‎ A.‎{x|-4≤x<-2或33}‎ D.‎‎{x|x<-2或x≥3}‎ ‎10. 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v‎→‎‎=(4, -3)‎（即点P的运动方向与v‎→‎相同，且每秒移动的距离为‎|v‎→‎|‎个单位．设开始时点P的坐标为‎(-10, 10)‎，则‎5‎秒后点P的坐标为（         ）‎ A.‎(-2, 4)‎ B.‎(-30, 25)‎ C.‎(10, -5)‎ D.‎‎(5, -10)‎ ‎11. 如果a‎1‎，a‎2‎，…，a‎8‎为各项都大于零的等差数列，公差d≠0‎，则（ ）‎ A.a‎1‎a‎8‎‎>‎a‎4‎a‎5‎ B.a‎1‎a‎8‎‎<‎a‎4‎a‎5‎ C.a‎1‎‎+a‎8‎>a‎4‎+‎a‎5‎ D.‎a‎1‎a‎8‎‎=‎a‎4‎a‎5‎ ‎12. 将半径都为‎1‎的‎4‎个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为(        )‎ A.‎3‎‎+2‎‎6‎‎3‎ B.‎2+‎‎2‎‎6‎‎3‎ C.‎4+‎‎2‎‎6‎‎3‎ D.‎‎4‎3‎+2‎‎6‎‎3‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. 圆心为‎(1, 2)‎且与直线‎5x-12y-7=0‎相切的圆的方程为________．‎ ‎14. 设a为第四象限的角，若sin3asina‎=‎‎13‎‎5‎，则tan2a=‎________．‎ ‎15. 在由数字‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎所组成的没有重复数字的四位数中，不能被‎5‎整除的数共有________个．‎ ‎16. 下面是关于三棱锥的四个命题：‎ ‎①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．‎ 其中，真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）‎ 三、解答题（共6小题，17~20、22每题12分，21题14分，满分74分）‎ ‎17. 设函数f(x)=‎2‎‎|x+1|-|x-1|‎，求使f(x)≥2‎‎2‎的取值范围．‎ ‎ 6 / 6‎ ‎18. 已知‎{an}‎是各项均为正数的等差数列，lga‎1‎、lga‎2‎、lga‎4‎成等差数列．又bn‎=‎‎1‎a‎2‎n，n=1‎，‎2‎，‎3‎，…．‎ ‎(I)‎证明‎{bn}‎为等比数列；‎ ‎(II)‎如果无穷等比数列‎{bn}‎各项的和S=‎‎1‎‎3‎，求数列‎{an}‎的首项a‎1‎和公差d．‎ ‎（注：无穷数列各项的和即当n→∞‎时数列前项和的极限）‎ ‎19. 一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经验，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为‎0.6‎，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛结束．设全局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数（不计甲负乙的局数），求ξ的概率分布和数学期望（精确到‎0.0001‎）．‎ ‎20. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥‎底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．‎ ‎（1）求证：EF⊥‎面PAB；‎ ‎（2）若AB=‎2‎BC，求AC与面AEF所成的角．‎ ‎21. P，Q，M，N四点都在椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF‎→‎与FQ‎→‎共线，MF‎→‎与FN‎→‎共线，且PF‎→‎‎⋅MF‎→‎=0‎．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．‎ ‎22. 已知a≥0‎，函数f(x)=(x‎2‎-2ax)‎ex．‎ ‎(I)‎当x为何值时，f(x)‎取得最小值？证明你的结论；‎ ‎(II)‎设f(x)‎在‎[-1, 1]‎上是单调函数，求a的取值范围．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（理）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.D ‎3.B ‎4.B ‎5.C ‎6.C ‎7.A ‎8.C ‎9.A ‎10.C ‎11.B ‎12.C 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=4‎ ‎14.‎‎-‎‎3‎‎4‎ ‎15.‎‎192‎ ‎16.①，④‎ 三、解答题（共6小题，17~20、22每题12分，21题14分，满分74分）‎ ‎17.解：由于y=‎‎2‎x是增函数，f(x)≥2‎‎2‎等价于‎|x+1|-|x-1|≥‎‎3‎‎2‎①‎ ‎(1)‎当x≥1‎时，‎|x+1|-|x-1|=2‎，∴ ①式恒成立．‎ ‎(2)‎当‎-10‎，则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,‎1‎‎2‎，‎1‎‎2‎)‎，EF‎→‎‎=(0,‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)，PB‎→‎=(2a,1,-1)，AB‎→‎=(2a,0,0)，EF‎→‎⋅PB‎→‎=0‎，∴ EF⊥PB，AB‎→‎‎⋅EF‎→‎=0‎，∴ ‎AB⊥EF 又PB⊂‎平面PAB，AB⊂‎平面PAB，PB∩AB=B，∴ EF⊥⊂‎平面PAB ‎（2）解：由AB=‎2‎BC，得a=‎‎2‎‎2‎，‎ 可得AC‎→‎‎=(‎2‎,-1,0)，PB‎→‎=(‎2‎,1,-1)‎ cos⟨AC‎→‎，PB‎→‎>=‎|AC‎→‎|⋅|PB‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎6‎‎，‎ 则异面直线AC，PB所成的角为arccos‎3‎‎6‎，‎ AF‎→‎‎=(‎2‎‎2‎,-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎‎，∴ AF‎→‎‎⋅PB‎→‎=0，AF⊥PB，‎ 又PB⊥EF，AF为平面AEF内两条相交直线，‎ ‎∴ PB⊥‎平面AEF，∴ AC与平面AEF所成的角为π‎2‎‎-arccos‎3‎‎6‎(=arcsin‎3‎‎6‎)‎，‎ 即AC与平面AEF所成的角为arcsin‎3‎‎6‎．‎ ‎21.解：∵ PF‎→‎‎⋅MF‎→‎=0⇒PF‎→‎⊥‎MF‎→‎．即MN⊥PQ．‎ ‎ 6 / 6‎ 当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．‎ 不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，‎ ‎∵ ‎F(0, 1)‎ ‎∴ MN的方程为：y=1‎，PQ的方程为：‎x=0‎ 分别代入椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎中得：‎|MN|=‎‎2‎，‎|PQ|=2‎‎2‎．‎ S四边形PMQN‎=‎1‎‎2‎|MN|⋅|PQ|=‎1‎‎2‎×‎2‎×2‎2‎=2‎ 当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，‎ 设MN的方程为y=kx+1(k≠0)‎，‎ 代入椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎中得：‎(k‎2‎+2)x‎2‎+2kx-1=0‎，‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎2kk‎2‎‎+2‎，‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=-‎‎1‎k‎2‎‎+2‎ ‎∴ ‎‎|MN|=‎(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎(1+k‎2‎)[(‎2kk‎2‎‎+2‎‎)‎‎2‎+‎4‎k‎2‎‎+2‎]‎=‎‎2‎2‎(1+k‎2‎)‎k‎2‎‎+2‎ 同理可得：‎|PQ|=‎‎2‎2‎(1+k‎2‎)‎‎2k‎2‎+1‎，‎ S四边形PMQN‎=‎1‎‎2‎|MN|⋅|PQ|=2×‎2k‎4‎+4k‎2‎+2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎=2(1-k‎2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎)=2(1-‎1‎‎2(k‎2‎+1/k‎2‎)+5‎)≥‎‎16‎‎9‎ ‎（当且仅当k‎2‎‎=‎‎1‎k‎2‎即k=±1‎时，取等号）．‎ 又S四边形PMQN‎=2(1-k‎2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎)<2‎，∴ 此时‎16‎‎9‎‎≤S四边形PMQN<2‎．‎ 综上可知：‎(S四边形PMQN‎)‎max=2‎，‎(S四边形PMQN‎)‎min=‎‎16‎‎9‎．‎ ‎22.解：‎(1)‎令f‎'‎‎(x)=0‎即‎[x‎2‎-2(a-1)x-2a]ex=0‎∴ ‎x‎2‎‎-2(a-1)x-2a=0‎ ‎∵ ‎△=[2(a-1)‎]‎‎2‎+8a=4(a‎2‎+1)>0‎∴ x‎1‎‎=a-1-‎a‎2‎‎+1‎，‎x‎2‎‎=a-1+‎a‎2‎‎-1‎ 又∵ 当x∈(-∞, a-1-a‎2‎‎+1‎)‎时，f‎'‎‎(x)>0‎；‎ 当x∈(a-1-a‎2‎‎+1‎, a-1+a‎2‎‎+1‎)‎时，f‎'‎‎(x)<0‎；‎ 当x∈(a-1+a‎2‎‎+1‎, +∞)‎时，f‎'‎‎(x)>0‎．‎ 列表如下：‎ ‎ ‎x ‎ ‎‎(-∞, a-1-a‎2‎‎+1‎)‎ ‎ ‎a-1-‎a‎2‎‎+1‎ ‎(a-1-a‎2‎‎+1‎, a-1+a‎2‎‎+1‎)‎‎ ‎ ‎ ‎a-1+‎a‎2‎‎+1‎ ‎ ‎‎(a-1+a‎2‎‎+1‎, +∞)‎ ‎ ‎f'(x)‎ ‎+‎ ‎ ‎‎0‎ ‎-‎ ‎ ‎‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎f(x)‎ ‎↗‎ ‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴ x‎1‎，x‎2‎分别为f(x)‎的极大值与极小值点．‎ 又∵ limx→-∞‎f(x)=0‎；当x→+∞‎时，f(x)→+∞‎．‎ 而f(a-1+a‎2‎‎+1‎)=2(1-a‎2‎‎+1‎)ea-1+‎a‎2‎‎+1‎<0‎．‎ ‎∴ 当x=a-1+‎a‎2‎‎+1‎时，f(x)‎取得最小值．‎ ‎(2)f(x)‎在‎[-1, 1]‎上单调，则f‎'‎‎(x)≥0‎（或‎≤0‎）在‎[-1, 1]‎上恒成立．‎ ‎ 6 / 6‎ 而f‎'‎‎(x)=[x‎2‎-2(a-1)x-2a]‎ex，令g(x)=x‎2‎-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)‎]‎‎2‎-(a‎2‎+1)‎．‎ ‎∴ f‎'‎‎(x)≥0‎（或‎≤0‎）即g(x)≥0‎（或‎≤0‎）．‎ 当g(x)≥0‎在‎[-1, 1]‎上恒成立时，有 ‎①当‎-1≤a-1≤1‎即‎0≤a≤2‎时，g(x‎)‎min=g(a-1)=-(a‎2‎+1)≥0‎（舍）；‎ ‎②当a-1>1‎即a≥2‎时，g(x‎)‎min=g(1)=3-4a≥0‎∴ a≤‎‎3‎‎4‎（舍）．‎ 当g(x)≤0‎在‎[-1, 1]‎上恒成立时，有 ‎①当‎-1≤a-1≤0‎即‎0≤a≤1‎时，g(x‎)‎max=g(1)=3-4a≤0‎，∴ ‎3‎‎4‎‎≤a≤1‎；‎ ‎②当‎02‎时，g(x‎)‎max=g(-1)=-1≤0‎，∴ a>2‎．‎ 故a∈[‎3‎‎4‎, +∞)‎．‎ ‎ 6 / 6‎