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  • 2021-05-14 发布

北京理科数学高考试题及答案

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‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分(选择题共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎(1)已知集合A=xx‎<2‎‎,‎B=‎-1,0,1,2,3‎,则AB=‎ ‎(A)‎0, 1‎ (B)‎0, 1, 2‎ (C)‎-1, 0, 1‎ (D)‎-1, 0, 1, 2‎ ‎ ‎(2)若x, y满足‎2x-y≤0,‎x+y≤3,‎x≥0, ‎则2x+y的最大值为 ‎(A)0 (B)3 (C)4 (D)5‎ ‎(3)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为 ‎(A)1 ‎ ‎(B)2‎ ‎(C)3 ‎ ‎(D)4‎ ‎(4)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a‎+‎b|=|a‎-‎b|”的 ‎(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(5)已知x, y‎∈‎R,且x‎>‎y‎>‎0,则 ‎(A)‎1‎x‎-‎1‎y>0‎ (B)‎sinx‎-siny‎>0‎ ‎(C)‎(‎1‎‎2‎‎)‎x-(‎1‎‎2‎‎)‎y<‎0 (D)‎lnx+lny>0‎ 9‎ ‎(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 ‎(A)‎1‎‎6‎ ‎ ‎(B)‎‎1‎‎3‎ ‎(C)‎‎1‎‎2‎ ‎(D)1‎ ‎(7)将函数y=sin‎(2x﹣‎π‎3‎‎)‎图象上的点P(π‎4‎, t )向左平移s(s﹥0) 个单位长度得到点P′.‎ 若P′位于函数y=sin‎2x的图象上,则 ‎(A)t=‎‎1‎‎2‎ ,s的最小值为π‎6‎ (B)t=‎‎3‎‎2‎ ,s的最小值为π‎6‎ ‎ ‎(C)t=‎‎1‎‎2‎ ,s的最小值为π‎3‎ (D)t=‎‎3‎‎2‎ ,s的最小值为π‎3‎ ‎ ‎(8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,‎ 将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过 程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 ‎(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ ‎(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎(9)设a‎∈‎R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=_______________.‎ ‎(10)在‎(1-2x)‎‎6‎的展开式中,x‎2‎的系数为__________________.(用数字作答)‎ ‎(11)在极坐标系中,直线ρcosθ-‎3‎ρsinθ-1=0‎与圆ρ=2‎cosθ交于A, B两点,‎ ‎ 则 AB=____________________.‎ ‎(12)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a‎1‎‎=6‎ ,a‎3‎‎+a‎5‎=0‎,则S‎6‎‎=______________‎.‎ ‎(13)双曲线 x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1 (a>0,b>0)‎的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B 为该双曲线的焦点. 若正方形OABC的边长为2,则a=_______________.‎ ‎(14)设函数fx=‎x‎3‎‎-3x, x≤a,‎‎-2x, x>a.‎ ‎ ①若a=0,则f(x)‎的最大值为____________________;‎ ‎ ②若f(x)‎无最大值,则实数a的取值范围是_________________.‎ 9‎ 三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 在△ABC中,a‎3‎‎+c‎3‎=b‎3‎+‎2‎ac.‎ ‎(Ⅰ)求‎∠B的大小;‎ ‎(Ⅱ)求‎2‎cosA‎+‎cosC的最大值.‎ ‎(16)(本小题13分)‎ A, B, C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时);‎ A班 ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ B班 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C班 ‎3‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎9‎ ‎10.5‎ ‎12‎ ‎13.5‎ ‎(Ⅰ)试估计C班的学生人数;‎ ‎(Ⅱ)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设 所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;‎ ‎(Ⅲ)再从A, B, C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),‎ 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ‎1‎ ,表格中数据的平均数记为 μ‎0‎ ,试判断 ‎ μ‎0‎和μ‎1‎的大小.(结论不要求证明)‎ ‎(17)(本小题14分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD, AB⊥AD, AB=1, AD=2, AC=CD=‎‎5‎.‎ ‎(Ⅰ)求证:PD⊥‎平面PAB; ‎ ‎(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,‎ 求AMAP的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(18)(本小题13分)‎ 设函数fx=xea-x+bx,曲线y=f(x)‎在点‎(2,f(2))‎处的切线方程为y=(e-1)x+4‎.‎ ‎(Ⅰ)求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)‎的单调区间.‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 9‎ 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎3‎‎2‎,Aa,0‎,B‎0,b,O(0,0)‎,△OAB的面积为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P的椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.‎ 求证:‎|AN|∙|BM|‎为定值.‎ ‎(20)(本小题13分)‎ ‎ 设数列A:a‎1‎‎,a‎2‎,⋯,aN(N≥2)‎.如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak‎<‎an,则称n是数列A的一个“G时刻”.记“G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎(Ⅰ)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素;‎ ‎(Ⅱ)证明:若数列A中存在an使得an‎>‎a‎1‎,则G(A)≠∅‎;‎ ‎(Ⅲ)证明:若数列A满足an‎-an-1‎≤1‎(n=2,3, …,N),则G(A)的元素个数不小于aN‎-‎a‎1‎.‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)参考答案 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎(1)C (2)C (3)B (4)D ‎(5)C (6)A (7)A (8)B 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9) (10)‎ ‎(11) (12)‎ ‎(13) (14) ‎ 三、解答题(共6小题,共80分)‎ ‎(15)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)由余弦定理及题设得.‎ 又因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ 9‎ ‎,‎ 因为,所以当时,取得最大值.‎ ‎(16)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)由题意知,抽出的名学生中,来自班的学生有名.根据分层抽样方法,班的学生人数估计为.‎ ‎(Ⅱ)设事件为“甲是现有样本中班的第个人”,,‎ 事件为“乙是现有样本中班的第个人”,,‎ 由题意可知,,;,.‎ ‎,,.‎ 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,‎ 因此 ‎(Ⅲ).‎ ‎(17)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)因为平面平面,,‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以平面.‎ ‎(Ⅱ)取的中点,连结.‎ 因为,所以.‎ 又因为平面,平面平面,‎ 所以平面.‎ 因为平面,所以.‎ 因为,所以.‎ 如图建立空间直角坐标系.由题意得,‎ 9‎ ‎.‎ 设平面的法向量为,则 即 令,则.‎ 所以.‎ 又,所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)设是棱上一点,则存在使得.‎ 因此点.‎ 因为平面,所以平面当且仅当,‎ 即,解得.‎ 所以在棱上存在点使得平面,此时.‎ ‎(18)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,所以.‎ 依题设,即 解得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ 9‎ 由即知,与同号.‎ 令,则.‎ 所以,当时,,在区间上单调递减;‎ 当时,,在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值,‎ 从而.‎ 综上可知,,,故的单调递增区间为.‎ ‎(19)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,‎ 设,则.‎ 当时,直线的方程为.‎ 令,得.从而.‎ 直线的方程为.‎ 令,得.从而.‎ 所以 9‎ ‎.‎ 当时,,‎ 所以.‎ 综上,为定值.‎ ‎(20)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)的元素为和.‎ ‎(Ⅱ)因为存在使得,所以.‎ 记,‎ 则,且对任意正整数.‎ 因此,从而.‎ ‎(Ⅲ)当时,结论成立.‎ 以下设.‎ 由(Ⅱ)知.‎ 设,记.‎ 则.‎ 对,记.‎ 如果,取,则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素,所以.‎ 从而对任意,,特别地,.‎ 对.‎ 因此.‎ 9‎ 所以.‎ 因此的元素个数不小于.‎ 9‎