北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（四）（Word版附答案） 13页

1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（四） 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1. 若集合  02  xxA ，集合  12  xxB , 则 BA  （A） R （B）  2, （C）  2,0 （D）  ,2 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 (0, ) 上单调递增的是 （A） ( ) ln | |f x x （B） ( ) 2 xf x  （C） 3( )f x x （D） 2( )f x x  3. 已知数列 na 满足 1 2 3 22 ( 1,2,3, )na a a a a n       ，则 （A） 01 a （B） 01 a （C） 21 aa  （D） 02 a 4. 将 sin(2 )6y x   的图象向左平移 6  个单位，则所得图象的函数解析式为（ ） （A） sin 2y x （B） cos2y x （C） sin(2 )3y x   （D） sin(2 )6y x   5. 已知直线 0x y m   与圆 2 2: 1O x y  相交于 ,A B 两点,且 OAB! 为正三角形,则实数 m 的值为 （A） 3 2 （B） 6 2 （C） 3 2 或 3 2  （D） 6 2 或 6 2  2 6. 设 m 是不为零的实数,则“ 0m  ”是“方程 2 2 1x y m m   表示的曲线为双曲线”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 在 ABC! 中, 1AB AC  , D 是 AC 边的中点,则 BD CD  的取值范围是 （A） 3 1( , )4 4  （B） 1( , )4  （C） 3( ,+ )4   （D） 1 3( )4 4 ， 8. 某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中: ①三棱锥的体积为 1 6 ②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥四个面的面积中最大的是 3 2 所有正确的说法是 （A）① （B）①③ （C）①② （D）②③ 9. 已知函数 )sin( 1)(  xxf （ 0, 2     ）的部分图象如图所示，则 , 的值分别为 （A） 1, 6  （B） 1, 6  （C） 2, 3  （D） 2, 3  10. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2, ,M N 分别是棱 1 1BC C D、 的中点,点 P 在平面 1 1 1 1A B C D 内,点 Q 在线段 1A N 上.若 5PM  ,则 PQ 长度的最小值为 （A） 2 1 （B） 2 （C） 3 5 15  （D） 3 5 5 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 复数 ._____1 2 共轭复数的模长是 i i  答案 2 （12）已知公差为 1 的等差数列{ }na 中, 1 2 4, ,a a a 成等比数列,则{ }na 的前 100 项的和为 ______ . 答案 5050 （13）设抛物线 2: 4C y x 的顶点为 O ,经过抛物线 C 的焦点且垂直于 x 轴的直线和抛物线 C 交于 ,A B 两点,则| | ______OA OB   . 答案 2 （ 14 ） 函 数 2 , 0,( ) (2 ), 0 x xf x x x x      的 最 大 值 为 ______ ; 若 函 数 ( )f x 的 图 象 与 直 线 ( 1)y k x  有且只有一个公共点,则实数 k 的取值范围是 ______ . 答案  ，， 11 （15）已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，给出下列四个结论： ①f(0)＝0； ②若 f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则 f(x)在(－∞，0]上有最大值 1； ③若 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则 f(x)在(－∞，－1]上为减函数； ④若 x＞0 时，f(x)＝x2－x，则 x＜0 时，f(x)＝－x2－x； ⑤若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则满足这样的 f(x)有无数多个； 其中正确结论的为__________. 4 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其 他得 3 分. 答案 ①②④⑤ 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 现在给出三个条件： ① 2a  ；② 4B  ；③ 3c b .试从中选出两个条件，补充 在下面的问题中，使其能够确定 ABC ，并以此为依据，求 ABC 的面积. 在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， ， ,且满足 3sin cos3a C c A ,求 ABC 的面积. （选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分） 解：因为 3sin cos3a C c A ，且 sin sin a c A C  ,所以 3sin sin sin cos3A C C A , 又因为sin 0C  ，所以 3sin cos3A A ，即： 3tan , (0, )3A A   ， 6A  . 若选①②： sin sin a b A B  ,则 2 sin sin6 4 b   ， 2 2b  ； 1 2 3 2 6 2sin sin( ) sin cos cos sin 2 2 2 2 4C A B A B A B          5 1 1 6 2sin 2 2 2 3 12 2 4ABCS ab C        若选①③：因为 2 2 2 2 cosa b c bc A   ,且 3c b 所以 2 2 34 3 2 3 2b b b b     ， 解得： 2, 2 3b c  1 1 1sin 2 2 3 32 2 2ABCS bc A      若选②③： 5 12C A B     , 1 2 3 2 6 2sin sin( ) sin cos cos sin 2 2 2 2 4C A B A B A B          . 而 6 2 4sin 3 1 3sin 22 2 C B     与 3c b 矛盾，所以不能同时选②③. 17. （本小题满分 14 分） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C ， 平 面 1 1A ACC  平 面 ABC , 90ABC   ， 1 130 , , ,BAC A A AC AC E F     分别是 AC，A1B1 的中点. （1）证明： EF BC ； （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. 解：方法一： 6 （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC． 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E  平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC， 所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC． 又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F． 所以BC⊥平面A1EF． 因此EF⊥BC． （2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形． 由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上． 连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）． 不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 3 ，EG= 3 . 由于O为A1G的中点，故 1 15 2 2 AGEO OG   ， 所以 2 2 2 3cos 2 5 EO OG EGEOG EO OG     ． 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 ． 方法二： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 7 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E  平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC． 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz． 不妨设AC=4，则 A1（0，0，2 3 ），B（ 3 ，1，0）， 1( 3,3,2 3)B ， 3 3( , ,2 3)2 2F ，C(0，2，0)． 因此， 3 3( , ,2 3)2 2EF  ， ( 3,1,0)BC   ． 由 0EF BC   得 EF BC ． （2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ． 由（1）可得 1=( 3 1 0) =(0 2 2 3)BC AC  ，， ， ， ， ． 设平面A1BC的法向量为n ( )x y z ， ， ， 由 1 0 0 BC AC       n n ，得 3 0 3 0 x y y z      ， 取n (1 3 1) ， ， ，故 | | 4sin | cos | = 5| | | EFEF EF      ， nn n | ， 因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 3 5 ． 8 （18）（本小题满分 14 分） 在某地区,某项职业的从业者共约 8.5 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种 职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系,依据是否患有职业病,使用 分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统 计图: （Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中 a,b 的值; （Ⅱ）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率; （Ⅲ）某研究机构提出,可以选取常数 * 0 0.5 ( )X n n  N ,若一名从业者该项身体指标检测 值大于 0X ,则判断其患有这种职业病;若检测值小于 0X ,则判断其未患有这种职业病. 从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错 误的概率最小的 0X 的值及相应的概率（只需写出结论）. 解：（Ⅰ）根据分层抽样原则,容量为 100 的样本中,患病者的人数为 3.4100 408.5   人. 1 0.10 0.35 0.25 0.15 0.10 0.05a        , 1 0.10 0.20 0.30 0.40b      . （Ⅱ）指标检测数据为 4 的样本中, 有患病者 40 0.20 8  人,未患病者 60 0.15 9  人. 设事件 A 为“从中随机选择 2 人,其中有患病者”. 则 2 9 2 17 C 9(A) C 34P   , 9 所以 25(A) 1 (A) 34P P   . （Ⅲ）使得判断错误的概率最小的 0 4.5X  . 当 0 4.5X  时,判断错误的概率为 21 100 . 19. （本小题满分 15 分） 已知函数 ( ) cosf x x x a  , aR . （Ⅰ）求曲线 ( )y f x 在点 2x  处的切线的斜率; （Ⅱ）判断方程 ( ) 0f x  （ ( )f x 为 ( )f x 的导数）在区间 (0,1) 内的根的个数,说明理由; （Ⅲ）若函数 ( ) sin cosF x x x x ax   在区间 (0,1) 内有且只有一个极值点,求 a 的取值范围. 解:（Ⅰ） ( ) cos sinf x x x x   . π π( )2 2k f    . （Ⅱ）设 ( ) ( )g x f x , ( ) sin (sin cos ) 2sin cosg x x x x x x x x        . 当 (0,1)x 时, ( ) 0g x  ,则函数 ( )g x 为减函数. 又因为 (0) 1 0g   , (1) cos1 sin1 0g    , 所以有且只有一个 0 (0,1)x  ,使 0( ) 0g x  成立. 所以函数 ( )g x 在区间 (0,1) 内有且只有一个零点.即方程 ( ) 0f x  在区间 (0,1) 内有且只有一 个实数根. （Ⅲ）若函数 ( ) sin cosF x x x x ax   在区间 (0,1) 内有且只有一个极值点,由于 ( ) ( )F x f x  , 即 ( ) cosf x x x a  在区间 (0,1) 内有且只有一个零点 1x ,且 ( )f x 在 1x 两侧异号. 因为当 (0,1)x 时,函数 ( )g x 为减函数,所以在 0(0, )x 上, 0( ) ( ) 0g x g x  ,即 ( ) 0f x  成立,函 数 ( )f x 为增函数; 在 0( ,1)x 上, 0( ) ( ) 0g x g x  ,即 ( ) 0f x  成立,函数 ( )f x 为减函数, 10 则函数 ( )f x 在 0x x 处取得极大值 0( )f x . 当 0( ) 0f x  时,虽然函数 ( )f x 在区间 (0,1) 内有且只有一个零点 0x ,但 ( )f x 在 0x 两侧同号,不 满足 ( )F x 在区间 (0,1) 内有且只有一个极值点的要求. 由于 (1) cos1f a  , (0)f a ,显然 (1) (0)f f . 若函数 ( )f x 在区间 (0,1) 内有且只有一个零点 1x ,且 ( )f x 在 1x 两侧异号,则只需满足: (0) 0, (1) 0, f f    即 0, cos1 0, a a     解得 cos1 0a   . 20．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点 F 是抛物线 C2：y2=2px（p＞0） 的焦点，点（2，4）在抛物线 C2 上． （1）求椭圆 C1 的方程； （2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1 于 A，B 两点，M（0，2），直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点 N，使|AN|=|BN|，求△ABN 的面积的最小 值． 解：（1）∵点（2，4）在抛物线 y2=2px 上， ∴16=4p， 解得 p=4， ∴椭圆的右焦点为 F（2，0）， 11 ∴c=2， ∵椭圆 C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为， ∴=， ∴a=2， ∴b2=a2﹣c2=8﹣4=4， ∴椭圆 C1 的方程为+=1， （2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，消 y 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0， ∴x1+x2=，x1x2=， ∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= ∵M（0，2），直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣， ∴k1•k2=•===﹣， 解得 m=0， ∴直线 l 的方程为 y=kx，线段 AB 的中点为坐标原点， 由弦长公式可得|AB|==， ∵|AN|=|BN|， ∴ON 垂直平分线段 AB， 当 k≠0 时，设直线 ON 的方程为 y=﹣x， 同理可得|ON|==， ∴S△ABN=|ON|•|AB|=8， 当 k=0 时，△ABN 的面积也适合上式， 12 令 t=k2+1，t≥1，0＜≤1， 则 S△ABN=8=8=8， ∴当=时，即 k=±1 时，S△ABN 的最小值为．........................14 21.（本小题满分 14 分） 给定数列 1 2, , , na a a .对 1,2, , 1i n   ，该数列前 i 项 1 2, , , ia a a 的最小值记为 iA ， 后 n i 项 1 2, , ,i i na a a   的最大值记为 iB ，令 i i id B A  . （I）设数列{ }na 为 2,1,6,3, 写出 1 2 3, ,d d d 的值； （II）设 1 2, , , na a a ( 4)n  是等比数列，公比 0 1q  ，且 1 0a  ，证明： 1 2 1, , , nd d d  是等比数列； （III）设 1 2 1, , , nd d d  是公差大于 0 的等差数列，且 1 0d  ，证明： 1 2 1, , , na a a  是等差 数列. 解：（I） 1 4d  ， 2 5d  ， 3 2d  ． ----------------3 分 （II）因为 1 0a  ，公比 0 1q  ， 所以 1 2, , , na a a 是递减数列． 因此，对 1, 2, , 1i n  ， 1,i i i iA a B a   ． ----------------5 分 于是对 1, 2, , 1i n  ， 1i i i i id B A a a    1 1( 1) ia q q   ． ----------------7 分 13 因此 0id  且 1i i d qd   （ 1,2, , 2i n  ）， 即 1 2 1, , , nd d d  是等比数列． ----------------9 分 (III) 设 d 为 1 2 1, , , nd d d  的公差，则 0d  对1 2i n ≤ ≤ ，因为 1i iB B  ， 所以 1 1 1 1i i i i i i i i i iA B d B d B d d B d A             ，即 1i iA A  ------------11 分 又因为 1 1min{ , }i i iA A a  ，所以 1 1i i i ia A A a    ． 从而 1 2 1, , , na a a  是递减数列．因此 i iA a （ 1,2, , 1i n  ）．----------------12 分 又因为 1 1 1 1 1 1+ +B A d a d a   ，所以 1 1 2 1nB a a a     ． 因此 1na B ． 所以 1 2 1n nB B B a    ． i i i i n ia A B d a d     ． 因此对 1,2, , 2i n  都有 1 +1i i i ia a d d d      ， 即 1 2 1, , , na a a  是等差数列． ----------------14 分