北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（一） Word版含答案 15页

‎2020北京卷高考数学押题仿真模拟（一）‎ 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1. 已知集合，，则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎2． 已知复数，则＝‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ 3. ‎ 的展开式中的常数项为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎4. 设，若，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎5. 若角的终边在第一象限,则下列三角函数值中不是的是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎6. 设是非零向量，则“共线”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎7. ‎ ‎（A）-3 （B） （C）3 （D）‎ ‎8. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1）,则该三棱锥的体积为 ‎（A）4‎ ‎（B）2‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎9. 在平行四边形中，，，，若，分别是边，上的点，且满足，则的最小值为 ‎ ‎（A）2 （B）3 （C）4 （D）5‎ ‎10. 已知函数且存在不同的实数x1，x2，x3，使得＝f(x2)＝f(x3)，则x1·x2·x3的取值范围是(　　)‎ ‎（A）(0，2) （B）[0，2] （C） (0，3) （D）[0，3]‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎（11） 函数的最小正周期是_________‎ 答案：‎ ‎（12）圆的圆心到直线的距离为 ‎ 答案：1‎ （13） 设等差数列的前项和为,若则数列的公差为.‎ 答案：-2‎ ‎（14）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；‎ 答案：‎ ‎（15）已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ‎ ① “水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；‎ ②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为4；‎ ③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；‎ ④白色“水滴”图形的面积是.‎ 其中正确的有__________．‎ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.‎ 答案. ①③④‎ ‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 已知满足 ，且求的值及面积 从①②③这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答。‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：（不可以选择②作为补充条件.） ‎ ‎ 选择①作为补充条件. ……………… 2分 ‎ 解答如下：‎ ‎ 因为在中，， ‎ 所以 …………… 4分 ‎ ……………… 6分 ‎ ‎ ‎ . ……………… 8分 在△中，由正弦定理，得. ……………… 11分 ‎ 所以△的面积. ……………… 14分 ‎ 选择③作为补充条件. ……………… 2分 ‎ 解答如下：‎ ‎ 在△中，由，以及正弦定理， ……………… 4分 ‎ 得，解得.‎ ‎ 由，得为锐角，‎ ‎ 所以，且. ……………… 6分 ‎ 因为在中，，‎ 所以 …………… 8分 ‎ ……………… 10分 ‎ ‎ ‎ . ……………… 11分 所以△的面积. ‎ ‎17.(本小题共14分)‎ 如图，在三棱柱中，平面，点为的中点。‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求二面角的大小。‎ ‎（17）解：（Ⅰ）因为平面，平面 所以. ‎ 在△中，,,,‎ 所以.‎ 所以. ‎ 因为, 平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,,‎ 如图,以为原点建立空间直角坐标系. ‎ 则，，.‎ ‎，. ‎ 设平面的法向量为，‎ 则 ‎ 即 令则，,‎ 所以. ‎ 又因为平面的法向量为， ‎ 所以. ‎ 由题知二面角为锐角，所以其大小为. ‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 近年来，随着网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程(单位：万公里)将这些汽车分为组：，，，并整理得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述组无人驾驶汽车中随机抽取了辆作为样本．从样本中行驶里程不小于万公里的无人驾驶汽车中随机抽取辆，其中有辆汽车行驶里程不小于万公里，求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为．若 用分层抽样的方法从上述组无人驾驶汽车中随机抽取辆作为样本，其行驶里程的平均数为；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取辆作为样本，其行驶里程的平均数为．有同学认为，你认为正确吗？说明理由．‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，，所以． ……3分 ‎（Ⅱ）组无人驾驶汽车的数量比为，若使用分层抽样抽取辆汽车，‎ 则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，‎ 行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆．‎ 由题意可知，的所有可能取值为，，．‎ ‎， ， ．‎ 所以的分布列为 所以的数学期望． ……………11分 ‎（Ⅲ）这种说法不正确．理由如下：‎ 由于样本具有随机性，故，是随机变量，受抽样结果影响．‎ 因此有可能更接近，也有可能更接近，‎ 所以不恒成立．‎ 所以这种说法不正确． ……………14分 ‎19．（本小题满分15分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时,（i）求曲线在点处的切线方程;‎ ‎（ii）求函数的单调区间;‎ ‎（Ⅱ）若,求证:.‎ 解19.（本小题满分15分）‎ ‎（Ⅰ）当时,,定义域为 ‎（i）‎ 所以切点坐标为,切线斜率为 所以切线方程为 ‎（ii）令,‎ 所以在上单调递减,且 所以当时,即 所以当时,即 综上所述,的单调递增区间是,单调递减区间是.‎ ‎(Ⅱ)方法一:‎ ‎,即 设 设 所以在小于零恒成立 即在上单调递减 因为 所以,‎ 所以在上必存在一个使得 即 所以当时,,单调递增 当时,,单调递减 所以 因为 所以 令得 因为,所以,‎ 因为,所以恒成立 即恒成立 综上所述,当时, ..............................15‎ 方法二:‎ 定义域 为了证明,即 只需证明,即 令 则 令,得 令,得 所以在上单调递增,在上单调递减 所以 即,则 ‎ 令 因为,所以 所以恒成立 即 所以 综上所述,‎ 即当时, ..............................15‎ ‎20．（本小题满分15分）‎ 已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0，2)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆P的方程；‎ ‎(2)是否存在过点E(0，－4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足·＝？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)设椭圆P的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由题意得b＝2，e＝＝，‎ ‎∴a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，‎ ‎∴c＝2，a＝4，‎ ‎∴椭圆P的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在满足题意的直线l，易知当直线l的斜率不存在时，·<0，不满足题意.‎ 故可设直线l的方程为y＝kx－4，R(x1，y1)，T(x2，y2).‎ ‎∵·＝，∴x1x2＋y1y2＝.‎ 由得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0，‎ 由Δ>0得(－32k)2－64(3＋4k2)>0，解得k2>.①‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16，‎ 故x1x2＋y1y2＝＋－＋16＝，‎ 解得k2＝1.②‎ 由①②解得k＝±1，‎ ‎∴直线l的方程为y＝±x－4.‎ 故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意. ...............15‎ ‎21.（本小题满分15分）‎ 已知项数为的数列满足如下条件：①；②若数列满足其中则称为的“伴随数列”.‎ ‎（I）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；‎ ‎（II）若为的“伴随数列”，证明：；‎ ‎（III）已知数列存在“伴随数列”且求最大值.‎ ‎21.已知项数为的数列满足如下条件：①；②若数列满足其中则称为的“伴随数列”.‎ ‎（I）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；‎ ‎（II）若为的“伴随数列”，证明：；‎ ‎（III）已知数列存在“伴随数列”且求的最大值.‎ 分析：‎ ‎（I）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.‎ ‎（II）利用差比较法判断出的单调性，由此证得结论成立.‎ ‎（III）利用累加法、放缩法求得关于的不等式，由此求得的最大值.‎ 解：（I）不存在.理由如下：因为，所以数列不存在“伴随数列”.‎ ‎（II）因为，‎ 又因为，所以，所以，即，所以成立.‎ ‎（III），都有，因为，，‎ 所以，所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 而，即，‎ 所以，故.‎ 由于，经验证可知.所以的最大值为.............................14‎