辽宁省丹东市凤城一中2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 21页

www.ks5u.com 数学试题 一、选择题 ‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过可以得到全集中的元素，再通过补集和交集运算求出最后答案.‎ ‎【详解】解：‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．属于简单题.‎ ‎2.函数的零点一定位于区间（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数为单调递增函数，且 ‎ 所以零点一定位于区间，选B ‎3.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）．‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎．∵与的对应法则不同；‎ ‎．与定义域不同；‎ ‎．与定义域不同；‎ ‎．表示同一函数．‎ 故选．‎ ‎4.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过题意，利用函数单调性及奇偶性的定义依次分析四个选项中函数，可得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，，为二次函数，其对称轴为y轴，在其定义域内既偶函数但在上单调递减，不符合题意；‎ 对于B，，在其定义域内既是偶函数但在上单调递减，不符合题意；‎ 对于C，，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增，符合题意；‎ 对于D，，为奇函数，不符合题意；‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．‎ ‎5.已知函数，当时，取得最小值，则等于（）‎ A. -3 B. 2 C. 3 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 配凑成可用基本不等式的形式．计算出最值与取最值时的x值．‎ ‎【详解】‎ 当且仅当即时取等号，‎ 即 ‎【点睛】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可．‎ ‎6.三个数，，的大小关系为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由指数函数的性质可得：，‎ 由对数运算的性质可得：，‎ 据此可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎7.设定义域为函数有两个单调区间，则，，满足（ ）‎ A. 且 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次函数图象及单调性数形结合得出结论．‎ 详解】∵f（x）＝ax2+b|x|+c（a≠0）‎ 不妨设a＞0，作出图象如下 结合图象可得当对称轴0时满足题意．‎ 同理，当a<0，当对称轴0时满足题意．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合可以帮助我们形象直观的解决问题，是基础题 ‎8.已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据 及的单调性，‎ 知且.‎ 又在区间上的最大值为，‎ 由图象知，．故，易得.‎ ‎9.当时，，则的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时，显然不成立，则 当时，，此时对数，解得 根据对数的图像和性质可知，要使在时恒成立，则有 故选C ‎10.已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使命题成立需满足，利用函数的单调性，可求最值，即可得到实数m的取值范围．‎ ‎【详解】要使命题成立需满足函数f（x）＝lg（x2+1）在[0，3]上是增函数，‎ 所以f（x1）min＝f（0）＝0，‎ 函数g（x）＝（）x﹣m在[1，2]上是减函数，‎ 所以g（x2）min＝g（2）m，‎ ‎∴0m，即m．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数最值的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，要使命题成立需满足，是解题的关键，属于中档题．‎ 二、多选题 ‎11.给出下列4个命题：①命题“若且，则”为假命题；②命题，，则是，；③“”是“”的充分不必要条件；④若，则，其中所有正确命题是（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据不等式性质进行判断．‎ ‎②根据全称命题的否定进行判断，‎ ‎③由充分必要条件判断；‎ ‎④构造函数，判断单调性进行判断．‎ ‎【详解】①,若且，则利用不等式性质得为真命题，故①错误，‎ ‎②，命题，，则是 ，故②错误 ‎③，，则 ；反之，，则或 故 “”是“”的充分不必要条件，③正确；‎ ‎④，令，则函数为增函数，若，则，即，故④正确， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及复合命题真假的判断、四种命题、充分必要条件的判断等知识点，构造函数判断④是关键．‎ ‎12.已知等式，成立，那么下列结论：①；②；③；④；⑤．其中可能成立的是（ ）‎ A. ①② B. ①②⑤ C. ③④ D. ④⑤‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算性质结合log2m＝log3n，m，n∈（0，+∞）成立得到m与n的关系，则答案可求．‎ ‎【详解】当m＝n＝1时，有log2m＝log3n，故①成立；‎ 当 时，有log2m＝log3n=-2 ，故②成立；‎ 当m＝4，n＝9时，有log2m＝log3n=2，此时，故⑤成立．‎ ‎∴可能成立的是①②⑤．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查对数的运算性质，注意分类讨论的应用，是基础题 ‎13.已知函数的图象如图所示，根据图象有下列三个命题：① 函数在定义域上是单调递增函数；② 函数在定义域上不是单调递增函数，但有单调递增区间；③ 函数的单调递增区间是，．其中所有正确的命题是（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象，判断函数的单调性以及函数的单调区间，推出结果即可．‎ ‎【详解】由题意以及函数的图象可知：①函数f（x）在定义域上不是单调递增函数；所以①‎ 不正确；‎ ‎②函数f（x）在定义域上不是单调递增函数，但有单调递增区间；正确；‎ ‎③函数f（x）的单调递增区间是（a，b），（b，c）．所以③正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象的应用，函数的单调性的判断，单调区间的求法，命题的真假的判断，是基本知识的考查，属基础题．‎ 二、填空题 ‎14.若且，则______，；则______．‎ ‎【答案】 (1). (2). 100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化指数式为对数式，代入2求得m值; 由5lgx＝25得lgx＝2，从而求得x值；‎ ‎【详解】2，‎ ‎∴，‎ ‎∴m2＝10，m（m＞0）．‎ 由5lgx＝25，得lgx＝2，∴x＝100；‎ 故答案为：100；．‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．‎ ‎15.若函数的定义域是，则函数的定义域是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 首先要使有意义，则，‎ 其次，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 综上．‎ 点睛：对于抽象函数定义域的求解 ‎(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；‎ ‎(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．‎ ‎16.若，，为的三边且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的形状为______．‎ ‎【答案】等腰三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知△＝b2﹣4ac＝0，即可推出4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝0，通过整理可推出（b﹣a）（c﹣a）＝0，且c≠b，即可推出三角形为等腰三角形．‎ ‎【详解】∵x的方程有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=0，且c﹣b≠0，即c≠b．‎ ‎∴8（b﹣a）2﹣8（c﹣b）（a﹣b）＝0，‎ 则（b﹣a）（b﹣a+c﹣b）＝0，‎ ‎∴（b﹣a）（c﹣a）＝0，‎ ‎∴b﹣a＝0或c﹣a＝0，‎ ‎∴b＝a，或c＝a．‎ ‎∴此三角形为等腰三角形．‎ 故答案为：等腰三角形 ‎【点睛】本题主要二次方程根的判别式，关键在于根据题意推出（b﹣a）2﹣（c﹣b）（a﹣b）＝0，然后进行正确的整理．‎ ‎17.函数的定义域为D，若对于任意，，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则_________；___________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由令可求得再令可得，由，令，求得，可得，利用非减函数的定义可得，，，故，从而可得结果.‎ ‎【详解】依题意知，，，‎ 由，令得；‎ 因为，令，‎ ‎，，令，‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数在上为非减函数，‎ ‎，，故，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的解析式以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎ 三、解答题（本大题共6个题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎18.，非空集合，集合．‎ ‎（1）时，求；‎ ‎（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（∁UB）∩A＝[，）；（2）a或 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先求出集合A、B，再求出∁UB，借助数轴求出，（∁UB）∩A．‎ ‎（2）由题意可知A⊆B，B＝{x|a＜x＜a2+2}，借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a的范围．‎ ‎【详解】（1）对于集合A，（x）（x）＜0，解得，x，所以A＝（，），‎ 当a时，‎ 对于集合B：（x﹣）（x﹣）＜0，解得＜x，所以B＝（，），‎ 所以∁UB＝（﹣∞，]∪[，+∞），‎ 所以（∁UB）∩A＝[，）；‎ ‎（2）若是的必要条件，可知A⊆B．‎ 由a2+2＞a，得 B＝{x|a＜x＜a2+2}．‎ 故，解得：a或 综上所述a的取值范围为a或 ‎【点睛】本题考查集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想．‎ ‎19.已知直线与轴的交点为，二次函数的图象过点，且满足 ．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数的最小值为3，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件先求出，设，列方程求解即可 ‎（2）可根据题意换元，转化为二次函数，讨论定义域与对称轴的位置关系求最小值得实数的值 ‎【详解】（1）根据题意得，设 则 ‎ 由则 整理得 ‎ ‎∴；‎ ‎（2）由题意令 ‎ 则 ‎ 当，即时，单调递增，最小值为 ，解得 ‎ 当，即时，单调递减，最小值为 ，解得 当，即，先减后增，最小值为 ，不合题意 综上：或 ‎【点睛】本题考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，二次函数求最值，分类讨论是关键，是中档题 ‎20.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．‎ ‎（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？‎ ‎（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．‎ ‎【答案】（1）40元；（2）销售至少达10.2万件，每件定价30元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；‎ ‎（2）依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，等价于x＞25时，‎ ax有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．‎ ‎【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得（8）x≥25×8，‎ 整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．‎ 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．‎ ‎（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，‎ 等价于x＞25时，ax有解．‎ 由于x≥2 10，当且仅当，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2．‎ 当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．‎ ‎【点睛】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义.‎ ‎21.已知函数是上的偶函数．‎ ‎（1）求值；‎ ‎（2）解的不等式的解集；‎ ‎（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a＝1；（2）（﹣2，2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的奇偶性求出a的值即可；‎ ‎（2）设2x＝t，则不等式即为，再解关于x的不等式即可；‎ ‎（3）问题转化为m在（0，+∞）恒成立，设t＝2x，（t＞1），则m在t＞1恒成立，从而求出m的范围即可．‎ ‎【详解】（1）∵f（x）为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，‎ ‎∴f（﹣x）﹣f（x）＝0恒成立，‎ ‎∴，恒成立，‎ 即恒成立，‎ ‎，‎ ‎∵a＞0，∴a＝1，∴a＝1；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 设2x＝t，则不等式即为，‎ ‎∴，‎ 所以原不等式解集为（﹣2，2）；‎ ‎（3）f（x）＝2x+2﹣x﹣1，‎ mf（x）≥2﹣x﹣m，‎ 即m在（0，+∞）恒成立，‎ 设t＝2x，（t＞1），则m在t＞1恒成立，‎ 又y在t＞1单调递减，得 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性求参数，考查函数单调性的运用和函数恒成立问题的解法，属于中档题．‎ ‎22.已知函数，函数．‎ ‎⑴若的定义域为，求实数的取值范围；‎ ‎⑵当时，求函数的最小值；‎ ‎⑶是否存在非负实数、，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．‎ ‎【答案】⑴；⑵；⑶存在满足题意．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对问题⑴，根据题目条件首先要对实数的取值进行分类讨论，再结合极端不等式恒成立即可求出函数的定义域为时实数的取值范围；对于问题⑵，根据二次函数的单调性并结合对参数的分类讨论，即可求得函数的最小值；对问题⑶，根据二次函数的单调性以及函数与方程的思想即可知道存在符合题意的实数、的值．‎ 试题解析：⑴定义域为．‎ 所以对一切成立． ……………………1分 当时，不可能对一切成立． ……………………2分 所以，即解得．‎ 综上． ……………………4分 ‎⑵，‎ 令，‎ 所以……………………5分 当时，． ……………………6分 当时，． ……………………7分 当时，． ……………………8分 所以……………………9分 ‎⑶在上是增函数，‎ 若存在非负实数、满足题意，则，………………………………10分 即、是方程的两非负实根，且，‎ 所以．‎ 即存在满足题意………………………………12分．‎ 考点：1、函数的定义域、值域；2、函数的单调性；3分段函数；4、函数与方程及分类讨论的思想．‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于函数的定义域、值域、函数的单调性、分段函数、函数与方程及分类讨论的思想方法方面的综合性问题，属于难题．解决本题的基本思路及切入点是，对问题⑴，根据题目条件首先要对实数的取值进行分类讨论，再结合极端不等式恒成立即可求出函数的定义域为时实数的取值范围；对于问题⑵，根据二次函数的单调性并结合对参数的分类讨论，即可求得函数的最小值；对问题⑶，根据二次函数的单调性以及函数与方程的思想即可知道存在符合题意的实数、的值．‎ ‎23.已知和是函数的两个零点.‎ ‎（1）求实数值；‎ ‎（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得 ，即可解得实数的值；‎ ‎（2）由已知可得 ，所以在上恒成立可化为，化为，令，则 ，‎ 由此可求实数的取值范围；‎ ‎（3）记h（t）=t2-（3k+1）t+（2k+1），得到关于k的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】（1），j即 .‎ ‎（2）由已知可得，‎ 所以在上恒成立可化为，‎ 化为，令，则，‎ 因，故，‎ 记，因为，故， ‎ 所以的取值范围是． ‎ ‎（3）原方程可化为，‎ 令则 有两个不等实根且或,‎ 记 ，‎ 则或，‎ 两不等式组解集分别为与,‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立以及求函数的最值问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．‎ ‎ ‎