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- 2021-06-12 发布
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2019年下期衡阳市八中高一五科联赛
数学试题
考试范围:集合及其运算、函数及其性质、三角函数的图像与性质
一、 选择题:本大题共12小题,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合要求的.
1.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.若,则则的值等于( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域是,值域为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.函数,则的图象大致是( )
A. B. C. D.
11
7.用二分法找函数在区间上的零点近似值,取区间中点,则下一个存在零点的区间为( )
A. B. C. D.
8.关于函数,下列说法正确的是( )
A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增
C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为
9.设偶函数在上为减函数,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
10.如果函数对任意的实数,都有,且当时, ,那么函数在的最大值与最小值之差为( )
A. B. C. D.
11.已知函数,若在区间上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.设是定义在R上的偶函数,对任意的,都有,且当时, ,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11
一、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设扇形的周长为,面积为,则扇形的圆心角的弧度数是 ;
14.当时,幂函数为减函数,则实数的值为__________;
15.某教室一天的温度(单位:℃)随时间(单位:)变化近似地满足函数关系:
,则该天教室的最大温差为__________℃;
16.下列说法正确的是___________.
①任意,都有; ②函数 有三个零点;
③的最大值为; ④函数为偶函数;
⑤不等式在上恒成立, 则实数的取值范围为.
三、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)设全集,集合.
(1)求;
(2)若集合,且,求的取值范围.
18.(本小题满分12分)
⑴已知,若为第二象限角,且,求的值;
⑵已知,求的值.
19. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,证明: 为偶函数;
(2)若在上单调递增,求实数的取值范围;
11
(3)若,求实数的取值范围,使在上恒成立.
20.(本小题满分12分)
将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
(1)写出函数的解析式;
(2)求函数数的单调递增区间和对称中心;
(3)求实数和正整数,使得在上恰有个零点.
21.(本小题满分12分)
某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品,根据银行预测,甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为,其中为常数且.设对乙种产品投入奖金百万元,其中.
(1)当时,如何进行投资才能使得总收益最大;(总收益)
(2)银行为了吸储,考虑到投资人的收益,无论投资人奖金如何分配,要使得总收益不低于,求的取值范围.
22.(本小题满分12分)
定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为的上界.已知函数.
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否有上界,请说明理由;
(2)若,函数在是以为上界的有界函数,求实数的取值范围;
(3)已知为正整数,当时,是否存在整数,使得对任意的,不等式恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
11
2017年下期衡阳市八中高一五科联赛
数学试题
命题人:刘亮生、赵永益 审题人:唐志军
考试范围:集合及运算、函数及其性质、三角函数图像与性质
一、 选择题:本大题共12小题,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合要求的.
1.已知集合,集合,则
A. B. C. D.
【答案】A
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
3.已知,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
4.若,则则的值等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
5.已知函数的定义域是,值域为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
6.函数,则的图象大致是( )
11
A. B. C. D.
【答案】B
7.用二分法找函数在区间上的零点近似值,取区间中点,则下一个存在零点的区间为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
8.关于函数,下列说法正确的是( )
A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增
C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为
【答案】C
9.设偶函数在上为减函数,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
10.如果函数对任意的实数,都有,且当时, ,那么函数在的最大值与最小值之差为( )
A. B. C. D.
【答案】C
11.已知函数,若在区间上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
12.设是定义在R上的偶函数,对任意的,都有,且当时,
11
,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
A
C
C
B
B
C
A
C
C
C
二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共20分.
13.设扇形的周长为,面积为,则扇形的圆心角的弧度数是 。
【答案】
14.当时,幂函数为减函数,则实数的值为__________.
【答案】
15.某教室一天的温度(单位:℃)随时间(单位:)变化近似地满足函数关系:
,则该天教室的最大温差为__________℃.
【答案】
16.下列说法正确的是___________.
①任意,都有; ②函数 有三个零点;
③的最大值为; ④函数为偶函数;
⑤不等式在上恒成立, 则实数的取值范围为.
【答案】②③⑤
三、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设全集,集合.
(1)求;
(2)若集合,且,求的取值范围.
11
【答案】(1)由得,解得,
∴。。
又∴
(2)由题意得∴,解得.
∴实数的取值范围为。
18.⑴已知,若为第二象限角,且,求的值;
⑵已知,求的值.
【答案】(1)
.
,,又因为为第二象限角,所以,.
(2)因为,
所以
.
19.已知函数.
(1)当时,证明: 为偶函数;
11
(2)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)若,求实数的取值范围,使在上恒成立.
【答案】(1)当时, ,定义域关于原点对称,
而,说明为偶函数;
(2)在上任取、,且,
则,
因为,函数为增函数,得, ,
而在上单调递增,得, ,
于是必须恒成立,即对任意的恒成立,;
(3)由(1)、(2)知函数在上递减,在上递增,
其最小值,且,
设,则, 于是不等式恒成立,等价于,即恒成立,而,仅当,即时取最大值,故
20.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
(Ⅰ)写出函数的解析式;
(Ⅱ)求函数数的单调递增区间与对称中心的坐标;
(Ⅲ)求实数和正整数,使得在上恰有个零点.
【答案】:解:(Ⅰ) ;
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(Ⅱ)
(Ⅲ)问题可转化为研究直线与曲线的交点情况.
在上的草图为:
当或时,直线与曲线没有交点;
当或时,直线与曲线 上有1个交点,由函数的周期性可知,此时;
当时,直线与曲线 上有2个交点,由函数的周期性可知,直线直线与曲线 上总有偶数个交点;
当时,直线与曲线 上有3个交点,由函数的周期性及图象可知,此时.
综上所述,当, 或, ,或时, 在上恰有个零点.
21.某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品,根据银行预测,甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为,其中为常数且.设对乙种产品投入奖金百万元,其中.
(1)当时,如何进行投资才能使得总收益最大;(总收益)
(2)银行为了吸储,考虑到投资人的收益,无论投资人奖金如何分配,要使得总收益不低于,求的取值范围.
【答案】(1)当时,
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令,则,其图象的对称轴
当时,总收益有最大值,此时.
即甲种产品投资百万元,乙种产品投资百万元时,总收益最大
(2)由题意知恒成立,
即恒成立,令,设,则
则,其图象的对称轴为,①当,即时,可得,则,
②当,即时,可得恒成立,
综上可得.∴实数的取值范围是.
22.定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为的上界.已知函数.
(I)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否有上界,请说明理由;
(II)若,函数在是以为上界的有界函数,求实数的取值范围;
(III)已知为正整数,当时,是否存在整数,使得对任意的,不等式恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】:解:(I)当时,,
易知在上单调递减,∴.∴在上的值域为.∴不存在常数,使得成立,∴在上没有上界.
(II) 由题意知,在上恒成立.令,
11
∴题意等价于在上恒成立.在上恒成立..设 易知在上递减.
令,有
∴在上递增.∴,.∴实数的取值范围是.
(III)当时,,∴题意等价于对任意的恒成立.∵当为正奇数时,;当为正偶数时,,
∴.∴当,即时,不存在满足题意的;
当,即时,存在满足题意的,且.
∵为正整数,∴.此时,,∵为整数,∴.
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