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- 2021-06-12 发布
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数学试卷
总分:100分考试时间:90分钟
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的,每小题3分,共36分)
1.设集合,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意,故选A.
点睛:集合的基本运算的关注点:
(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决.
(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
2.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据交集的定义计算即可得到答案.
【详解】因为,,
所以.
故选:B.
【点睛】本题考查集合的交运算,考查基本运算求解能力,属于容易题.
3. “a>0”是“|a|>0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析:本题主要是命题关系的理解,结合|a|>0就是{a|a≠0},利用充要条件的概念与集合的关系即可判断.
解:∵a>0⇒|a|>0,|a|>0⇒a>0或a<0即|a|>0不能推出a>0,
∴a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件
故选A
考点:必要条件.
4.不等式<0的解集为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
略
5.函数的零点是( )
A. B. C. D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】
函数的零点等价于方程的根,求出方程的根即可得到答案.
【详解】函数的零点等价于方程的根,
解得:或,
所以函数的零点是和.
故选:D.
【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,考查对概念的理解,注意函数的零点是一个数.
6.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A. ∀x∈R,|x|+x2<0 B. ∀x∈R,|x|+x2≤0
C. ∃x0∈R,|x0|+<0 D. ∃x0∈R,|x0|+≥0
【答案】C
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题,
则命题,的否定是,
故选
此处有视频,请去附件查看】
7.函数在上是减函数.则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,由一次函数的性质可得要使函数单调递减,则斜率为负数,从而可得答案.
【详解】解:根据题意,函数在上是减函数,
则有,
解可得,
故选B.
【点睛】本题考查函数的单调性的性质以及应用,涉及一次函数的性质,属于基础题.
8.已知函数为奇函数,且当时, ,则 ( )
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
因为是奇函数,所以,故选A.
9.已知则的最小值是 ( )
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合均值不等式的结论即可求得的最小值,注意等号成立的条件.
【详解】由题意可得:
,
当且仅当时等号成立.
即的最小值是.
故选C.
【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.
10.下列各组函数是同一函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
A中的定义域为R, 的定义域为,不是同一函数;
B中 两个函数的对应法则不同,不是同一函数;
C中 的定义域为R,的定义域为,不是同一函数;
D中 ,定义域、对应法则均相同,同一函数,选D.
11.若,,则与的大小关系为 ( )
A. B. C. D. 随x值变化而变化
【答案】A
【解析】
试题分析:因为,,所以,,故,选A.
考点:本题主要考查不等式的性质,比较大小的方法.
点评:简单题,多项式比较大小,往往利用“差比法”---作差、变形、定号.常常用到“配方法”.
12.已知不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},则不等式bx2﹣5x+a>0的解集是( )
A. {x|x<﹣3或x>﹣2} B. {x|x<﹣或x>﹣}
C. {x|﹣<x<﹣} D. {x|﹣3<x<﹣2}
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知,的根为,利用根与系数的关系可求出,即可解出不等式的解.
【详解】由题意可知,的根为, ,解得,,不等式bx2﹣5x+a>0可化为,即,解得,故选C.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次函数的关系,属于中档题.
二、填空题(每小题3分,共12分)
13.若,则 的最小值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可得到 的最小值
详解】由基本不等式可知,当且仅当 时取等号
即 的最小值为
【点睛】本题考查了基本不等式求最值,属于基础题.
14.方程组的解集为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出二元一次方程组的解,然后用列举法表示解集.
【详解】解方程组得:
所以方程的解集为:.
故答案为:.
【点睛】本题考查集合的表示法,注意方程组的解集是单元素的集合,不能把解集错写成.
15.不等式的解集是____ .
【答案】
【解析】
【分析】
利用绝对值的定义化简不等式,求解即可.
【详解】不等式可化为
解得
故答案为
【点睛】本题考查了不等式的解法,考查计算能力,是基础题.
16.若f(x+1)=2x2+1,则f(x)=________.
【答案】f(x)=2x2-4x+3
【解析】
【分析】
令,,从而可得结果.
【详解】令,
,
,故答案为.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求法,属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种:(1)根据实际应用求函数解析式;(2)换元法求函数解析式,利用换元法一定要注意,换元后参数的范围;(3)待定系数法求函数解析式,这种方法适合求已知函数名称的函数解析式;(4)消元法求函数解析式,这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
三、解答题(写出相关步骤和结论,共52分)
17.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)被开方数大于等于0,即可求得答案;
(2)被开方数大于等于0,且分母不等于0,即可求得答案.
【详解】(1)因为,
所以函数的定义域为:.
(2)因为
所以函数的定义域为:.
【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查基本运算求解能力,注意定义域最后要按要求写成区间的形式.
18.判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
【答案】(1)偶函数(2)奇函数
【解析】
【分析】
(1)先求定义域为,再判断与的关系,即可得到答案;
(2)先求定义域为,再判断与的关系,即可得到答案.
【详解】(1)函数定义域为,关于原点对称,
又,
所以函数偶函数.
(2)函数定义域为,关于原点对称,
又,
所以函数为奇函数.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,考查对概念的理解与应用,求解时要先判断函数的定义域是否关于原点对称,再进一步判断与的关系.
19.已知一元二次方程的两根为与,求下列各式的值:
(1);
(2).
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)将式子变形,再利用韦达定理代入求解;
(2)将式子变形,再利用韦达定理代入求解.
【详解】因为一元二次方程的两根为与,
所以.
(1).
(2).
【点睛】本题考查韦达定理的应用,考查基本运算求解能力,属于基础题.
20.定义法证明:函数在上是增函数.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用单调性定义证明的三个步骤:一取值、二作差、三定号,从而证得结论.
【详解】任取且,
因为,
所以,
所以函数在上是增函数.
【点睛】本题考查函数单调性的定义证明,考查推理论证能力,求解时要注意步骤的严谨性与完整性.
21.分段函数已知函数
(1)画函数图像
(2)求;
(3)若,求的取值范围.
【答案】(1)图像见解析(2)16(3)
【解析】
【分析】
(1)作出分段函数中每一段的图象,进而得到函数的图象;
(2)先求的值,再求的值;
(3)不等式等价于或从而得到不等式的解集.
【详解】(1)函数的图象如图所示:
(2)因为,
所以.
(3)不等式等价于或
解得:或,
的取值范围是.
【点睛】本题考查分段函数图象作法、求函数值、解不等式等知识,考查数形结合思想和运算求解能力,属于基础题.