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  • 2021-06-12 发布

2021高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和教学案文北师大版

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第三节 等比数列及其前n项和 ‎[最新考纲] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.‎ ‎(对应学生用书第99页)‎ ‎1.等比数列的有关概念 ‎(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).‎ ‎(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab.‎ ‎2.等比数列的通项公式与前n项和公式 ‎(1)通项公式:an=a1qn-1.‎ ‎(2)前n项和公式:‎ Sn= ‎3.等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).‎ ‎(2)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则apar=a,其中m,n,p,q,s,r∈N*.‎ ‎(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列.‎ ‎(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.‎ ‎(5)当q≠-1时,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列.‎ ‎1.“G2=ab”是“a,G,b成等比数列”的必要不充分条件.‎ ‎2.若q≠0,q≠1,则Sn=k-kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件,此时k=.‎ - 9 -‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.‎ ‎ (  )‎ ‎(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac. (  )‎ ‎(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列. (  )‎ ‎(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(  )‎ ‎[答案](1)× (2)× (3)× (4)×‎ 二、教材改编 ‎1.等比数列{an}中,a3=12,a4=18,则a6等于(  )‎ A.27    B.36    C.    D.54‎ C [公比q===,则a6=a4q2=18×=.]‎ ‎2.在等比数列{an}中,a3=,S3=,则a1,q的值分别为(  )‎ A.6, B.6,- C.,1 D.,1或6,- D [由S3=a1+a2+a3=a3(q-2+q-1+1),得 q-2+q-1+1=3,即2q2-q-1=0,‎ 解得q=1或q=-.‎ 当q=1时,a1=;当q=-时,a1=6,‎ 故选D.]‎ ‎3.7+3与7-3的等比中项为________.‎ ‎±2 [由G2=(7+3)(7-3)=4得G=±2.]‎ ‎4.在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为__________.‎ ‎27,81 [设该数列的公比为q,由题意知,‎ ‎243=9×q3,q3=27,∴q=3.‎ ‎∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]‎ ‎(对应学生用书第99页)‎ ‎⊙考点1 等比数列的基本运算 - 9 -‎ ‎(1)等比数列基本运算的通法是设出首项a1和公比q,通过方程组求出结果,进而解决问题,体现了方程的思想.‎ ‎(2)在使用等比数列前n项和公式时,应注意判断公比q是不是1,从而选择不同的求和公式.‎ ‎(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(  )‎ A.16    B.8    C.4    D.2‎ ‎(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.‎ ‎①求{an}的通项公式;‎ ‎②记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.‎ ‎(1)C [(1)设正数的等比数列{an}的公比为q,‎ 则 解得∴a3=a1q2=4,故选C.]‎ ‎(2)[解] ①设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.‎ 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.‎ 故an=(-2)n-1或an=2n-1.‎ ‎②若an=(-2)n-1,则Sn=.‎ 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.‎ 若an=2n-1,则Sn==2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.‎ 综上,m=6.‎ ‎ 把S4表示成S4=a1+a1q+a1q2+a1q3,不需要考虑q是不是1的情况,如本例T(1).‎ ‎[教师备选例题]‎ 已知等比数列{an}单调递减,若a3=1,a2+a4=,则a1=(  )‎ A.2   B.4   C.   D.2 B [设等比数列的公比为q,由题意知0<q<1,‎ 由a3=1,a2+a4=得,‎ 整理得2q2-5q+2=0,‎ 解得q=或q=2(舍去),所以a1==4,故选B.]‎ ‎ 1.已知等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a2=2,S6-S4=6a4,则a5=(  )‎ - 9 -‎ A.4 B.10 ‎ C.16 D.32‎ C [设公比为q(q>0),S6-S4=a5+a6=6a4,因为a2=2,所以2q3+2q4=12q2,即q2+q-6=0,所以q=2或q=-3(舍去),则a5=2×23=16.]‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=,则S4=________.‎  [设等比数列的公比为q,则an=a1qn-1=qn-1.‎ ‎∵a1=1,S3=,∴a1+a2+a3=1+q+q2=,‎ 即4q2+4q+1=0,∴q=-,‎ ‎∴S4==.]‎ ‎3.(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=________.‎ ‎32 [设{an}的首项为a1,公比为q,则 解得 所以a8=×27=25=32.]‎ ‎⊙考点2 等比数列的判定与证明 ‎ 判定等比数列的四种方法 ‎(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列.‎ ‎(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0,且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.‎ ‎(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.‎ ‎(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.‎ ‎ (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.‎ ‎(1)求b1,b2,b3;‎ - 9 -‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ ‎[解](1)由条件可得an+1=an.‎ 将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.‎ 将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.‎ 从而b1=1,b2=2,b3=4.‎ ‎(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ 由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ ‎(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.‎ ‎ 本例中由bn+1=2bn,不能判定{bn}是等比数列,还要验证b1≠0.‎ ‎ (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ ‎[解](1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1,‎ 故λ≠1,a1=,故a1≠0.‎ 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,‎ 即an+1(λ-1)=λan.‎ 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.‎ 因此{an}是首项为,公比为的等比数列,‎ 于是an=.‎ ‎(2)由(1)得Sn=1-.‎ 由S5=得1-=,即=.‎ 解得λ=-1.‎ ‎[教师备选例题]‎ 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.‎ ‎(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;‎ - 9 -‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎[解](1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,‎ 有a1+a2=S2=4a1+2.‎ ‎∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.‎ 又 ‎①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),‎ ‎∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).‎ ‎∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),‎ 故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,‎ ‎∴-=,‎ 故是首项为,公差为的等差数列.‎ ‎∴=+(n-1)·=,‎ 故an=(3n-1)·2n-2.‎ ‎⊙考点3 等比数列性质的应用 ‎ 应用等比数列性质的两个关注点 ‎(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.‎ ‎(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关Sm,S2m,S3m的问题可利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列求解.‎ ‎ 等比数列项的性质 ‎(1)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________.‎ ‎(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=________.‎ ‎(1)50 (2)31 [(1)因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5.‎ 所以ln a1+ln a2+…+ln a20‎ ‎=ln(a1a2…a20)‎ ‎=ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]‎ ‎=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)‎ ‎=10ln e5=50ln e=50.‎ ‎(2)由等比数列的性质,得a3a5=a2a6=64,于是由且an>0,q>1,得a3=4,a5=16,所以 - 9 -‎ eq lc{ c (avs4alco1(a1q2=4,,a1q4=16,))解得 所以S5==31.]‎ ‎ 本例T(2)也可以先求出a1和q,再求S5,但运算量大,易出错.‎ ‎ 等比数列前n项和的性质 ‎(1)[一题多解]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________.‎ ‎(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.‎ ‎(1) (2)2 [(1)法一:(整体代入法)‎ 因为S6∶S3=1∶2,所以{an}的公比q≠1.‎ 由÷=,得q3=-,‎ 所以==.‎ 法二:(性质法)‎ 由题意知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列.‎ 又=,即S3=2S6,所以2S6,-S6,S9-S6成等比数列.‎ ‎∴S9-S6=S6,即S9=S6.‎ ‎∴==.‎ ‎(2)由题意,得 解得所以q===2.]‎ ‎ 对于本例T(2),熟练掌握S偶与S奇的关系为解答本题提供了保障,避免了繁琐的运算.‎ ‎ 1.在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,则的值为(  )‎ A.- B.- C. D.-或 B [设等比数列{an}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,则a9=-,所以==a9=-,故选B.]‎ - 9 -‎ ‎2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=-1,S4=-5,则S6等于(  )‎ A.-9 B.-21 ‎ C.-25 D.-63‎ B [因为S2=-1≠0,所以q≠-1,由等比数列性质得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即-1×(S6+5)=(-5+1)2,所以S6=-21,故选B.]‎ ‎⊙考点4 等差数列与等比数列的综合计算 ‎ 等差数列与等比数列综合计算的策略 ‎(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系,利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时,应“瞄准目标”,灵活应用数列的有关性质,简化运算过程.求解方程中注意合理选择有关公式,正确判断是否需要分类讨论.‎ ‎(2)一定条件下,等差数列与等比数列之间是可以相互转化的,即{an}为等差数列⇒{a}(a>0且a≠1)为等比数列;{an}为正项等比数列⇒{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.‎ ‎(1)已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,a5,a4成等差数列,则的值是(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)(2018·北京高考)设{an}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.‎ ‎①求{an}的通项公式;‎ ‎②求e+e+…+e.‎ ‎(1)A [设等比数列{an}的公比为q,由a3,a5,a4成等差数列可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),由======,故选A.‎ ‎(2)[解] ①设{an}的公差为d.‎ 因为a2+a3=5ln 2,‎ 所以2a1+3d=5ln 2.‎ 又a1=ln 2,所以d=ln 2.‎ 所以an=a1+(n-1)d=nln 2.‎ - 9 -‎ ‎②因为e=eln 2=2,=ean-an-1=eln 2=2,‎ 所以数列{e}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ 所以e+e+…+e=2×=2(2n-1)=2n+1-2.‎ ‎ 本例T(2)中,解答第②问的关键是证明数列{e}是等比数列.‎ ‎ 1.已知{an}为等比数列,数列{bn}满足b1=2,b2=5,且an(bn+1-bn)=an+1,则数列{bn}的前n项和为(  )‎ A.3n+1 B.3n-1‎ C. D. C [设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵an(bn+1-bn)=an+1,‎ ‎∴bn+1-bn=q(常数),‎ 即数列{bn}是等差数列,公差为q.‎ ‎∵b1=2,b2=5,‎ ‎∴q=3,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为2n+×3=.‎ 故选C.]‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.‎ ‎[解](1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.‎ 解得q=-2(舍去)或q=4.‎ 因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.‎ ‎(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+(2n-1)=n2.‎ - 9 -‎