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- 2021-06-12 发布
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第三节 等比数列及其前n项和
[最新考纲] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.
(对应学生用书第99页)
1.等比数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).
(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab.
2.等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:
Sn=
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则apar=a,其中m,n,p,q,s,r∈N*.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)当q≠-1时,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列.
1.“G2=ab”是“a,G,b成等比数列”的必要不充分条件.
2.若q≠0,q≠1,则Sn=k-kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件,此时k=.
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一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.
( )
(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac. ( )
(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列. ( )
(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( )
[答案](1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1.等比数列{an}中,a3=12,a4=18,则a6等于( )
A.27 B.36 C. D.54
C [公比q===,则a6=a4q2=18×=.]
2.在等比数列{an}中,a3=,S3=,则a1,q的值分别为( )
A.6, B.6,-
C.,1 D.,1或6,-
D [由S3=a1+a2+a3=a3(q-2+q-1+1),得
q-2+q-1+1=3,即2q2-q-1=0,
解得q=1或q=-.
当q=1时,a1=;当q=-时,a1=6,
故选D.]
3.7+3与7-3的等比中项为________.
±2 [由G2=(7+3)(7-3)=4得G=±2.]
4.在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为__________.
27,81 [设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×q3,q3=27,∴q=3.
∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]
(对应学生用书第99页)
⊙考点1 等比数列的基本运算
- 9 -
(1)等比数列基本运算的通法是设出首项a1和公比q,通过方程组求出结果,进而解决问题,体现了方程的思想.
(2)在使用等比数列前n项和公式时,应注意判断公比q是不是1,从而选择不同的求和公式.
(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )
A.16 B.8 C.4 D.2
(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
①求{an}的通项公式;
②记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
(1)C [(1)设正数的等比数列{an}的公比为q,
则
解得∴a3=a1q2=4,故选C.]
(2)[解] ①设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
②若an=(-2)n-1,则Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn==2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
把S4表示成S4=a1+a1q+a1q2+a1q3,不需要考虑q是不是1的情况,如本例T(1).
[教师备选例题]
已知等比数列{an}单调递减,若a3=1,a2+a4=,则a1=( )
A.2 B.4 C. D.2
B [设等比数列的公比为q,由题意知0<q<1,
由a3=1,a2+a4=得,
整理得2q2-5q+2=0,
解得q=或q=2(舍去),所以a1==4,故选B.]
1.已知等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a2=2,S6-S4=6a4,则a5=( )
- 9 -
A.4 B.10
C.16 D.32
C [设公比为q(q>0),S6-S4=a5+a6=6a4,因为a2=2,所以2q3+2q4=12q2,即q2+q-6=0,所以q=2或q=-3(舍去),则a5=2×23=16.]
2.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=,则S4=________.
[设等比数列的公比为q,则an=a1qn-1=qn-1.
∵a1=1,S3=,∴a1+a2+a3=1+q+q2=,
即4q2+4q+1=0,∴q=-,
∴S4==.]
3.(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=________.
32 [设{an}的首项为a1,公比为q,则
解得
所以a8=×27=25=32.]
⊙考点2 等比数列的判定与证明
判定等比数列的四种方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0,且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.
(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1,b2,b3;
- 9 -
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
[解](1)由条件可得an+1=an.
将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.
将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.
本例中由bn+1=2bn,不能判定{bn}是等比数列,还要验证b1≠0.
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
[解](1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,故a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan.
由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
于是an=.
(2)由(1)得Sn=1-.
由S5=得1-=,即=.
解得λ=-1.
[教师备选例题]
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
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(2)求数列{an}的通项公式.
[解](1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,
有a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
又
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).
∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),
故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴-=,
故是首项为,公差为的等差数列.
∴=+(n-1)·=,
故an=(3n-1)·2n-2.
⊙考点3 等比数列性质的应用
应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.
(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关Sm,S2m,S3m的问题可利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列求解.
等比数列项的性质
(1)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________.
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=________.
(1)50 (2)31 [(1)因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5.
所以ln a1+ln a2+…+ln a20
=ln(a1a2…a20)
=ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]
=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)
=10ln e5=50ln e=50.
(2)由等比数列的性质,得a3a5=a2a6=64,于是由且an>0,q>1,得a3=4,a5=16,所以
- 9 -
eq lc{
c (avs4alco1(a1q2=4,,a1q4=16,))解得
所以S5==31.]
本例T(2)也可以先求出a1和q,再求S5,但运算量大,易出错.
等比数列前n项和的性质
(1)[一题多解]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________.
(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.
(1) (2)2 [(1)法一:(整体代入法)
因为S6∶S3=1∶2,所以{an}的公比q≠1.
由÷=,得q3=-,
所以==.
法二:(性质法)
由题意知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列.
又=,即S3=2S6,所以2S6,-S6,S9-S6成等比数列.
∴S9-S6=S6,即S9=S6.
∴==.
(2)由题意,得
解得所以q===2.]
对于本例T(2),熟练掌握S偶与S奇的关系为解答本题提供了保障,避免了繁琐的运算.
1.在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,则的值为( )
A.- B.-
C. D.-或
B [设等比数列{an}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,则a9=-,所以==a9=-,故选B.]
- 9 -
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=-1,S4=-5,则S6等于( )
A.-9 B.-21
C.-25 D.-63
B [因为S2=-1≠0,所以q≠-1,由等比数列性质得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即-1×(S6+5)=(-5+1)2,所以S6=-21,故选B.]
⊙考点4 等差数列与等比数列的综合计算
等差数列与等比数列综合计算的策略
(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系,利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时,应“瞄准目标”,灵活应用数列的有关性质,简化运算过程.求解方程中注意合理选择有关公式,正确判断是否需要分类讨论.
(2)一定条件下,等差数列与等比数列之间是可以相互转化的,即{an}为等差数列⇒{a}(a>0且a≠1)为等比数列;{an}为正项等比数列⇒{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.
(1)已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,a5,a4成等差数列,则的值是( )
A. B.
C. D.
(2)(2018·北京高考)设{an}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.
①求{an}的通项公式;
②求e+e+…+e.
(1)A [设等比数列{an}的公比为q,由a3,a5,a4成等差数列可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),由======,故选A.
(2)[解] ①设{an}的公差为d.
因为a2+a3=5ln 2,
所以2a1+3d=5ln 2.
又a1=ln 2,所以d=ln 2.
所以an=a1+(n-1)d=nln 2.
- 9 -
②因为e=eln 2=2,=ean-an-1=eln 2=2,
所以数列{e}是首项为2,公比为2的等比数列.
所以e+e+…+e=2×=2(2n-1)=2n+1-2.
本例T(2)中,解答第②问的关键是证明数列{e}是等比数列.
1.已知{an}为等比数列,数列{bn}满足b1=2,b2=5,且an(bn+1-bn)=an+1,则数列{bn}的前n项和为( )
A.3n+1 B.3n-1
C. D.
C [设等比数列{an}的公比为q,
∵an(bn+1-bn)=an+1,
∴bn+1-bn=q(常数),
即数列{bn}是等差数列,公差为q.
∵b1=2,b2=5,
∴q=3,
∴数列{bn}的前n项和为2n+×3=.
故选C.]
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.
[解](1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.
解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.
(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+(2n-1)=n2.
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