- 335.50 KB
- 2021-06-12 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第七章 数列、推理与证明
第33课 数列的概念与简单表示法
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
数列的概念
√
1.数列的定义
按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.
2.数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项
间的大小
关系分类
递增数列
an+1>an
其中
n∈N+
递减数列
an+10,即λ<时数列{an}为递增数列,又n∈N+,∴λ<.
∴“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.]
5.在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式an
=__________.
【导学号:62172182】
2n-1 [法一:由an+1=2an+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,验证可知an=2n-1.
法二:由题意知an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1.]
6.数列{an}的首项a1=2,且(n+1)an=nan+1,则a3的值为____________.
6 [由(n+1)an=nan+1得=,所以数列为常数列,则==2,即an=2n,所以a3=2×3=6.]
7.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N+),则an=____________.
【导学号:62172183】
3n [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理,得an=3an-1,由a1=(a1-1),得a1=3,∴=3,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,
∴an=3n.]
8.数列{an}满足a1=2,an=,其前n项积为Tn,则T2 017=____________.
2 [由an=,得an+1=,而a1=2,
则有a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,
故数列{an}是以4为周期的周期数列,且a1a2a3a4=1,
所以T2 017=(a1a2a3a4)504a1=1504×2=2.]
9.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N+),则an=__________.
[由已知得,-=n,所以-=n-1,
-=n-2,…,-=1,所以-=,a1=1,所以=,
所以an=.]
10.(2017·南京模拟)对于数列{an},定义数列{bn}满足:bn=an+1-an(n∈N+),且bn+1-bn=1(n∈N+),a3=1,a4=-1,则a1=____________.
【导学号:62172184】
8 [由bn+1-bn=1(n∈N+)可知,数列{bn}成等差数列,
又b3=a4-a3=-1-1=-2,
∴b3-b2=1,
∴b2=b3-1=-3.
∴a3-a2=-3,
∴a2=3+a3=4.
∴b1=b2-1=-3-1=-4.
∴a2-a1=-4,
∴a1=a2+4=4+4=8.]
二、解答题
11.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
[解] (1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.
(2)令an=150,即n2-7n+6=150,
解得n=16或n=-9(舍去),
即150是这个数列的第16项.
(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍去).
所以从第7项起各项都是正数.
12.已知Sn为正项数列{an} 的前n项和,且满足Sn=a+an(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
[解] (1)由Sn=a+an(n∈N+),可得
a1=a+a1,解得a1=1;
S2=a1+a2=a+a2,解得a2=2;
同理,a3=3,a4=4.
(2)Sn=a+an,①
当n≥2时,Sn-1=a+an-1,②
①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.
由于an+an-1≠0,
所以an-an-1=1,
又由(1)知a1=1,
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20=____________.
[由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan,又因为1×a1=1,2×a2-1×a1=5,所以数列{nan}是首项为1,公差为5的等差数列,则20a20=1+19×5,解得a20=.]
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=3Sn,则an=__________.
[由an+1=3Sn,得an=3Sn-1(n≥2),
两式相减可得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an(n≥2),
∴an+1=4an(n≥2).
∵a1=1,a2=3S1=3≠4a1,
∴数列{an}是从第二项开始的等比数列,
∴an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2).
故an=]
3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)对于n∈N+,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
[解] (1)由n2-5n+4<0,
解得1an知该数列是一个递增数列,
又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N+,所以-<,即得k>-3.
所以实数k的取值范围为(-3,+∞).
4.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
[解] (1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,
解得a2=3a1=3.
由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,
解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题设知a1=1.
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得an=an-1.
于是a1=1,
a2=a1,
a3=a2,
……
an-1=an-2,
an=an-1.
将以上n个等式两端分别相乘,
整理得an=.
显然,当n=1时也满足上式.
综上可知,{an}的通项公式an=.